8.1.1 平方根 课件--2025-2026学年人教版数学七年级下册

人教版数学7年级下册培优精做课件 8.1.1 平方根 第八章　实数 授课教师： Home . 班 级： 9年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月7日 2026年3月7日星期六12时25分45秒 2026年3月7日星期六12时25分46秒 知识与技能目标：学生能够准确理解平方根、算术平方根的概念，明确二者的区别与联系；熟练掌握平方根的表示方法和性质，能正确求出一个非负数的平方根；能运用平方根的知识解决简单的实际问题和数学问题。 过程与方法目标：通过观察、分析、归纳、类比等活动，培养学生的自主探究能力和逻辑思维能力；经历从实际问题抽象出数学概念的过程，提高学生的数学建模能力和应用意识。 情感态度与价值观目标：在探究活动中，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神；让学生体会数学与生活的紧密联系，感受数学的严谨性和科学性。 学习目标 学校要举行美术作品比赛，小优裁出了一块面积为 25 dm2 的正方形的画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 分析：∵( )2 = 25 ∴这个正方形画布的边长应取 dm. 5 5 情境导入 情境导入视频 问题 3：因为正方形边长的平方等于这个正方形的面积，所以我们很容易就能得到此处的边长为 2 m，那么如果已知一个数的平方，应该怎么求这个数呢? 这个数是唯一的吗? 请大家带着问题进行探究. 问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少? 问题 2：填写下表： x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 3或－3 探究点1：平方根的概念 思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么? 思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点? 都有两个值，且这两个值互为相反数 x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 探究点1：平方根的概念 求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 例如：(±3)2 = 9， 3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根.　 根据所学内容回答“导入新课”问题3. 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根. (根据开平方求这个数，这个数并不唯一) 【知识要点】 探究点1：平方根的概念 – 1 + 1 + 2 – 2 + 3 – 3 1 4 9 – 1 + 1 + 2 – 2 + 3 – 3 1 4 9 平方 开平方 比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？ 互为逆运算 【合作探究】 探究点1：平方根的概念 平方与开平方互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根 总结 互为逆运算 平方运算 开平方运算 探究点1：平方根的概念 例1 分别求下列各数的平方根： 解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64， 所以 64 的平方根是 ±8； (1) 64； (2) 因为 = ， (2) (3) 0.01. 所以 的平方根是 (3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是0.1. 探究点1：平方根的概念 1. 分别求下列各数的平方根： (1) (2) 1.44 (3) 121 【练一练】 (2) 因为 ( ±1.2 )2 = 1.44， 所以 1.44 的平方根是 ±1.2. 解：(1) 因为 = ， 所以 的平方根是 . (3) 因为 ( ±11)2 = 121，所以 121 的平方根是11. 探究点1：平方根的概念 2. 判断对错: (1) 8 是 64 的平方根； ( ) (2) －8 是 64 的平方根； ( ) (3) ±8 是 64 的平方根； ( ) (4) 一个数的平方等于81，则这个数是 9. ( ) √ √ √ × 探究点1：平方根的概念 – 1 +1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 平方 –1 + 1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 开平方 32 = 9 (-3)2 = 9 02 = 0 (±3)2 = 9 02 = 0 思考1：观察以上内容你有什么发现? 探究点2：平方根的性质 思考3：0 的平方根是多少? 思考2：1，4，9， 的平方根是多少?它们有什么特点？ 思考4：－1，－4，－9，－ 的平方根是多少? 没有平方根 0 ±1，±2，±3，± 有两个平方根，且互为相反数 【想一想】 探究点2：平方根的性质 性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数； 性质2：0 的平方根是 0； 性质3：负数没有平方根. 概念 追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢? 探究点2：平方根的性质 正数 a 的正的平方根记为“ ”， 读作“根号 a ”， a 叫作被开方数； 正数 a 的负的平方根记为“－ ”， 读作“负根号 a ” a 的平方根可记为 0 的平方根记为 只有当 a ≥ 0 时 才有意义. 而当a ＜ 0 时 无意义. 探究点2：平方根的性质 x2 = a 平方根号 被开方数 读作：正、负根号 a (a≥0) (a≥0) x 是非负数 a 的平方根 根指数为 2，省略不写 2 x = x2 = a 探究点2：平方根的性质 例2 下列各数有平方根吗? 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2. 解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根， ± = ±0.6； (2) 因为 －5 是负数，所以 －5 没有平方根； (3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根， ± = ± = ±4. 探究点2：平方根的性质 3. m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( ) A. 4 B. 2 C. －2 D. － B 分析： 因为 m－1 和 3－2m是某正数的两个不同的平方根， 则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0， 解得 m＝2. 方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 【练一练】 探究点2：平方根的性质 4. 求下列式子中 x 的值. (1) x2 = 49 (2) 4x² = 9 解：(1) x = ± ±7 . (2) x² = ， x = ± = ±. 探究点2：平方根的性质 平方根 平方根的概念(根据互逆关系求平方根) 平方根的性质 平方根的表示方法 中考考法 1.16的平方根是(　C　) A. 4 B. －4 C. ±4 D. ±8 C 2. 下列说法正确的是(　D　) A. 任何非负数都有两个平方根 B. 一个正数的平方根仍然是正数 C. 只有正数才有平方根 D. 负数没有平方根 D 随堂练习 3. 教材P41例2变式求下列各数（式）的平方根： (1)1 ；(2)0.0001；(3)(－2)2.　 解：(1)∵1 ＝ ，(± )2＝ ， ∴1 的平方根为± . 解：(1)因为1 ＝ ，(± )2＝ ， 所以1 的平方根为± . (2)因为(±0.01)2＝0.0001， 所以0.0001的平方根是±0.01. (3)因为(±2)2＝4＝(－2)2， 所以(－2)2的平方根是±2. 随堂练习 4. 求下列各式中x的值：± ＝± . 解：整理81x2－49＝0，得x2＝ ， 开平方得x＝± ＝± . (2)49(x2＋1)＝50. 解：(2)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ ， ∴开平方得x＝± ＝± . 解：整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ ， 开平方得x＝± ＝± . (1)81x2－49＝0； 随堂练习 5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求 这个数. 解：由于一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a －4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a ＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 解：由于这个正数的两个平方根分别是2a＋1和 a－4，则有2a＋1＋a－4＝0， 即3a－3＝0，解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 随堂练习 返回 ±9 1. [天津月考]因为(±9)2＝81，所以81的平方根是________. 中考考法 27 返回 2. B 中考考法 返回 3. C 中考考法 返回 4. C 下列说法不正确的是(　　) A．6是36的平方根 B．－6是36的平方根 C．36的平方根是6 D．36的平方根是±6 中考考法 返回 5. (16分)求下列各数的平方根： 解：因为(±11)2＝121， 所以121的平方根是±11. 因为(±0.09)2＝0.008 1， 所以0.008 1的平方根是±0.09. 因为(±100)2＝104，所以104的平方根是±100. 中考考法 返回 6. (16分)求下列各式中x的值： (1)x2＝49；　　　　　　(2)9x2＝25；   (3)x2－143＝1; (4)(x＋3)2－64＝0. 解：x＝±7. x2－143＝1，x2＝144，x＝±12. (x＋3)2－64＝0，(x＋3)2＝64，x＋3＝±8，x＝5或x＝－11. 中考考法 返回 7. 0 －1 中考考法 返回 8. D 下列数中没有平方根的是(　　) A．0　　B．2　　C．(－2)2　　D．－|－2| 中考考法 返回 9. D 下列说法正确的是(　　) A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数 C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根 中考考法 35 返回 10. A 若一个数的平方根等于它本身，则这个数是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．4 中考考法 36 11. (16分)[教材P41例2变式]下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根；如果没有，说明理由． 中考考法 37 因为－42＝－16是负数， 所以－42没有平方根． 返回 中考考法 2022-06-13T16:46:46.4513001+08:00 Lavf58.32.104 “的平方根是±”用式子表示为(　　) A．＝± B．±＝± C．＝ D．－＝－ 若x的平方等于5，则x等于(　　) A． B．25 C．± D．±25 因为＝，所以的平方根是±. (1)121；　 (2)0.008 1；　 (3)；　 (4)104. 9x2＝25，x2＝，x＝±. － (1)若一个正数的一个平方根为，则它的另一个平方根为________； (2)若一个正数的两个平方根分别为a，b，则a＋b＝________，＝________. 解：因为0.25是正数， 所以0.25有两个平方根，±＝±0.5. 因为是正数， 所以有两个平方根，±＝±. (1)0.25; (2)； (3)(－7)2; (4)－42. 解：因为(－7)2＝49是正数， 所以(－7)2有两个平方根，±＝±＝±7. $