6.3.1平面向量基本定理【8个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.3.1·平面向量基本定理】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 1．平面向量的基本定理 【知识点的认识】 1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使． 2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 2．用平面向量的基底表示平面向量 【知识点的认识】 1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使． 2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 【解题方法点拨】 ﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为． ﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：基底的概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1.基底定义：平面内两个不共线的向量，可作为表示该平面内所有向量的一组基底 2.基底性质： 基底不唯一，只要不共线即可 基底中不能有零向量（零向量与任意向量共线） 同一平面内，基底选定后，向量的表示唯一 3.正交基底：若，则称其为正交基底（如直角坐标系的单位向量） 解题思路 1.判断一组向量能否作为基底：只需验证它们是否不共线 2.辨析概念时，紧扣“不共线”“非零”“表示唯一”三个关键词 3.若题目给出多组向量，逐一判断是否共线，排除共线的选项 名师点睛 基底的核心是“不共线”，与模长、夹角无关 零向量绝对不能作为基底，这是高频易错点 正交基底只是基底的特殊形式，不是基底的必要条件 （2026高一·全国·专题练习）如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ）经典例题1例题 A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【答案】C 【详解】选项A中，由平面向量基本定理知与共面，所以A项不正确； 选项B中，由平面向量基本定理知实数有且仅有一对，所以B项不正确； 选项C中，根据基底的定义知，不共线，若，则，所以C正确； 选项D中，由平面向量基本定理知实数一定存在，所以D项不正确． （23-24高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ）经典例题2例题 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可知，非零、不共线的一组向量可作为平面向量的基底，由此即可选出答案. 【详解】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误， 故选：A. （25-26高一下·全国·课堂例题），是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ）小试牛刀1 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C （24-25高一下·北京石景山·期末）已知平面向量，满足，，且与的夹角为．小试牛刀2 (1)求以及； (2)若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义求出的值，再运用向量数量积的运算律计算即可； （2）根据平面的基底概念可得与共线，再利用向量共线的充要条件即可求得λ的值. 【详解】（1）， 则， 故． （2）因为向量与不能作为平面向量的一组基底， 所以与共线． 则存在实数k，使得， 又因为与不共线，所以，解得， 所以实数的值为． 【多选题】（24-25高一下·全国·周测）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ）小试牛刀3 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【分析】根据向量基底的定义逐一分析即可判断. 【详解】对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由，可得， 所以和共线，故不能作为基底，故错误； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确. 故选：. 【题型2：用基底表示向量】 【练方法】 知识梳理 1.平面向量基本定理：若是同一平面内的一组基底，则对该平面内任意向量，存在唯一一对实数，使得 2.表示方法： 利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，将分解到方向上 利用向量线性运算，将表示为的线性组合 解题思路 1.明确基底，确定目标向量 2.利用向量加减法，将逐步分解为基底向量的和差 3.结合数乘运算，将分线段向量表示为基底向量的倍数 4.整理得到的形式，确定系数 名师点睛 优先选择图形中已知长度和夹角的向量作为基底，简化计算 分解向量时，先画分解图，再进行代数运算，避免方向错误 若向量用坐标表示，可直接用坐标运算，本质仍是基底表示（为基底） （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，.经典例题1例题 【答案】, 【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算用基底表示向量. 【详解】依题意，，则， 在中，，， ； . （25-26高一下·全国·课后作业）已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点．经典例题2例题 (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． 【答案】(1)， (2)向量与向量方向相同，且的长度为长度的． 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求解， （2）根据，即可根据数乘运算的性质求解. 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ． 为的中点，， ． 为上靠近B的三等分点，， ． （2）由（1）知， 向量与向量方向相同，且的长度为长度的． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D在线段上，，设，．用和表示向量，．小试牛刀1 【答案】， 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意，点A是的中点，则，因此， 由点在线段上，，得， 所以． （2025·湖南永州·模拟预测）在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知结合向量加减、数乘的几何意义，用表示出即可. 【详解】如图，由题意知，因为，所以. 故选：D （2025·湖南长沙·二模）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D．= −+. 【答案】D 【分析】以为基底，根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】如图 则. 故选：D 【题型3：向量共线/三点共线】 【练方法】 知识梳理 1.向量共线定理：向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得 2.三点共线：三点共线的充要条件是存在实数，使得，或存在实数，使得（为平面内任意一点） 3.基底视角：若，，则 解题思路 1.向量共线： 若用基底表示，验证 若用几何形式表示，证明存在使得 2.三点共线： 计算和，证明它们共线且有公共点 或用系数和为1的形式：且 名师点睛 三点共线的“系数和为1”是高考高频考点，可快速判断 共线向量的基底表示中，对应系数成比例，这是判断共线的重要方法 证明共线时，必须强调“有公共点”，否则两向量平行但不共线 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ）经典例题1例题 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用三点共线满足的向量关系求解即可. 【详解】因为，，， 选项A，，， 若，，三点共线，则，即， 解得，故该选项正确； 选项B，，， 若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 选项C，，，若，，三点共线， 则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项D，， ，若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 故选：A. （25-26高一下·全国·课堂例题）（1）设，是不共线的两个非零向量.若，，，求证：，，三点共线；经典例题2例题 （2）设，是两个不共线向量，已知，，，若有，，三点共线，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用向量加减运算可得，结合三点共线的判定即可得到结论； （2）根据三点共线可得存在实数使，结合向量的加减运算求解即可. 【详解】（1）证明：因为， ， 所以与共线，又它们有公共点，所以，，三点共线. （2）， 因为，，三点共线，所以，共线， 所以存在实数使，所以， 所以解得. （25-26高一下·全国·课后作业）（1）设，是两个不共线的向量，已知，，，试判断，，三点是否共线；小试牛刀1 （2）设，是两个不共线的向量，在四边形中，，，，证明：四边形为平行四边形． 【答案】（1）三点共线；（2）证明见解析； 【分析】（1）根据向量的线性运算可推出与共线．结合与有公共点，即可得结论； （2）根据向量的线性运算可推出，进而可证明结论. 【详解】（1）， 又，， 又与有公共点，故，，三点共线． （2）证明：， 又在四边形中，，，，四点不共线，则， ∴四边形是平行四边形． （25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ）小试牛刀2 A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【分析】求出即可得解. 【详解】由题可得， 又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线. 故选：C （24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量、的表达式，由题意可知存在，使得，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为、、三点共线，所以存在，使得， 即， 因为、是平面内的一组基底，所以，解得，． 故选：D． 【题型3：用基底证明平行/点共线的问题】 【练方法】 知识梳理 1.平行证明：两直线平行对应向量共线且无公共点 2.共线证明：三点共线对应向量共线且有公共点 3.核心工具：向量共线定理、平面向量基本定理 解题思路 1.平行证明： 取两直线上的方向向量，用基底表示 证明方向向量共线（系数成比例） 说明两直线无公共点，得出平行结论 2.共线证明： 取三点对应的向量，用基底表示 证明其中两个向量共线且有公共点 得出三点共线结论 名师点睛 用基底法证明几何问题，可避免复杂的几何辅助线，步骤更清晰 证明平行时，需注意“方向向量共线”且“无公共点”，缺一不可 优先选择图形中已知的边作为基底，简化向量表示 （23-24高一下·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是的中点，，．经典例题1例题 (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算即可求解； （2）由平面向量线性运算得出，且有公共点，即可证明． 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以，， 又， 所以． （2）证明：由（1）得，， ， 所以，且有公共点， 所以三点共线． （24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设.经典例题2例题 (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. （25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，.小试牛刀1 (1)试用，表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）用，表示向量、，从而得到，即可得证. 【详解】（1）根据题意可作出下图    ∵，∴，∴， ∴. （2）因为，所以， 所以， 由，所以， 所以， 所以，所以， 所以, （23-24高一上·辽宁·期末）已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．小试牛刀2 (1)若点O满足，证明：． (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用依次表示，再结合向量共线定理证明即可； (2)由(1) ，结合结论可得，再利用基本不等式求的最小值． 【详解】（1）由题可知， 因为点E为AD的中点，所以． 由，则，即， ， 又 所以，又三点不共线， 所以． （2）因为M，N，E三点共线， 所以可设，又，， 所以 又， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，时，等号成立．所以的最小值是． （23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.小试牛刀3    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可. （2）先求得，然后利用共线向量基本定理即可证明. 【详解】（1） . （2）因为， 且由（1）知，所以， 所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线. 【B·能力提升题型】 【题型1：利用平面向量基本定理求参数的值】 【练方法】 知识梳理 1.核心：向量在基底下的表示唯一，若，则必有且 2.常见场景：已知向量线性组合等于另一向量，求组合系数 解题思路 1.将所有向量用同一组基底表示 2.代入已知等式，整理为的形式 3.由基底不共线，得且，列方程组求解参数 名师点睛 基底不共线是“系数相等”的前提，若基底共线，结论不成立 若向量用坐标表示，可直接用坐标相等列方程，本质是基底法的特例 注意零向量的特殊性，可表示为任意向量的线性组合 （25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.经典例题1例题 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又 ，所以，解得m，t． 故答案为：． （24-25高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________．经典例题2例题 【答案】3 【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值. 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在中，M是的中点，且，与相交于点E，设，，，试求x，y的值．小试牛刀1 【答案】， 【分析】由，，三点共线可得，故存在实数使，由，，三点共线可得，存在实数使，由平面向量基本定理列方程求，由此可得结论. 【详解】由题意得，， 由，，三点共线可知，存在实数使． 由，，三点共线可知，存在实数使． 所以， 由于，不共线，所以 解得，，所以． 所以，． （25-26高一下·全国·课后作业）如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据共线定理，结合向量的线性运算，即可列方程组求解. 【详解】，P，C三点共线，故设，同理可设， 由题可知 ， 又 ， 所以可得，解得， 故，所以，． 故答案为：； （2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 【题型2：平面向量共线定理的推论】 【练方法】 知识梳理 1.推论：若，则共线 解题思路 1.识别三点共线条件，用系数和为1的形式表示 2.代入已知向量表达式，列方程求解参数 3.利用推论快速判断共线，或由共线反推系数关系 名师点睛 推论是判断三点共线的“金钥匙”，在选择填空题中可秒杀 若已知三点共线，可直接设系数和为1，减少变量个数 （25-26高一下·全国·课后作业）在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，．经典例题1例题 (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解； （2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解. 【详解】（1）设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； （2）由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． （2025高一·全国·专题练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点，，，求证：．经典例题2例题 【答案】证明见解析 【分析】解法一，利用表示，再根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理的唯一性得出关系； 解法二，利用表示，再根据三点共线得出系数和为1即可求证. 【详解】解法1：设，， 因为，， 所以，， 因为的重心，则， 因为三点共线，则存在，使得，即， 即， 所以，整理得，即， 两边同除以得． 解法2： 因为，， 所以，， 因为为的重心，所以， 因为三点共线，所以，得． 【点睛】 （2025高三·全国·专题练习）已知是直线上不同的三点，点在直线外，若，则______．小试牛刀1 【答案】2 【分析】根据已知等式，结合向量的线性运算，化简得，而三点共线，可得，解得，再代回到条件中，可得，即可得到的值. 【详解】由题意，是直线上不同的三点，点在直线外，即，如图．    则， 即， 从而， 得，解得． 将代回原式得， 则，即， 所以． 故答案为：2. （24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点.小试牛刀2 (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）表达出，根据三点共线，得到，求出； （3）在（1）基础上，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）N为的中点，故， ， 故； （2）， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； （3）由（1）知，，， 又，，，故， ， ， ， 则. （24-25高一下·内蒙古乌海·期中）如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____小试牛刀3 【答案】 【分析】先根据相似三角形求出点P在线段上的具体位置，再根据平面向量的加减法几何运算，用平面向量基底表示出目标向量即可. 【详解】 如图所示，作中点，连接，是得三等分点，则， 在中点为中点，点为中点，所以， 所以，因为，可得， 所以， 由， 故答案为：. 【题型3：平面向量基本定理求数量积】 【练方法】 1.数量积计算：若，，则 2.基底选择：优先选择模长和夹角已知的向量作为基底，简化计算 解题思路 1.选基底：选择已知模长和夹角的不共线向量作为基底 2.表向量：将待求数量积的两个向量用基底表示 3.代公式：代入数量积展开式，利用已知的基底模长和夹角计算 4.求结果：化简得到数量积的值 名师点睛 基底法是解决几何图形中数量积的通用方法，无需建立坐标系 若，则，展开式更简洁 优先利用图形性质（如等边三角形、正方形）简化基底的模长和夹角 （25-26高三上·天津西青·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.经典例题1例题 【答案】 /0.5 2 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. （25-26高三上·湖南长沙·月考）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 故选：B. （25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，在中，为线段上一点，且.小试牛刀1 (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）应用平面向量的减法，再结合平面向量基本定理求出参数； （2）应用平面向量的数量积及数量积运算律计算求解. 【详解】（1）若，则， 即， 故. （2）若，则， 即， 所以 . （25-26高三上·天津·期末）在中，，点，满足，，与交于小试牛刀2 点．记，用和表示___________；若为的中点，，，则___________． 【答案】 ； . 【分析】设，利用三点共线，求出，结合线性运算求解可得空一；以为基底表示出相关向量，结合已知求得，代入目标式可得空二. 【详解】因为，所以为的中点，所以， 又，所以，所以， 设，则，即， 因为三点共线，所以，得，所以， 整理得， 所以. 因为，，， 所以， ， 因为，所以， 整理得①， 因为，， 所以，整理得②， 联立①②解得 因为， ， 所以 . 故答案为：；. （25-26高三上·天津南开·期末）如图，在等腰梯形中，，E是的中点，连接，相交于点F，连接，若，则______；______．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用向量的基底法设，，然后用，表示，，再根据向量数量积运算律即可得到答案. 【详解】： 设，， 等腰梯形性质得，又因为， 所以，① 又因为，② 由①②代入得， ，③ 由题目，得，， 因此， ： 已知，，， 故 ，，， 设，， 因为， 因此，， 所以， 又， 可以得， 解得，， 所以， 又， 所以，（4） 由③④代入得, , , , , 所以. 故答案为：， 【题型4：平面向量基本定理求参数范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心：将参数表示为向量的线性组合，利用向量的模、夹角等约束求范围 2.常见场景：，求、等的范围 解题思路 1.利用向量线性运算，将用已知条件表示 2.将目标函数（如）表示为单参数函数 3.利用基本不等式、三角函数值域或函数单调性求范围 名师点睛 优先用共线定理或系数和为1的条件消元，将双参数问题转化为单参数问题 注意参数的几何意义，避免最值超出可行域 若涉及模长，用展开，转化为数量积计算 （23-24高一下·四川广安·月考）已知．求：经典例题1例题 (1)； (2)． (3)如图，，点在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求的取值范围． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用数量积的运算律计算得解. （3）利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理列式求解. 【详解】（1）由，得，即， 则，所以. （2）由（1）得. （3）由点在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动， 得存在，使 ，而， 则，则，由，得， 所以实数的取值范围为. （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，A，B，P是圆O上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆O外一点Q，若，求的取值范围．经典例题2例题 【答案】 【分析】设，可得，设，可得，根据平面向量基本定理可得，，由此可求结论. 【详解】设，可得， 设， ，B，Q三点共线，， 则 ，则，， ． 因此，的取值范围是． 【多选题】（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ）小试牛刀1 A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，当是线段的中点时，， 所以，所以A正确. 对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于. 延长与直线交于点，则，. 所以，所以，所以点的轨迹为线段. 当点与重合时，. 当点与重合时，. 所以.所以B不正确. 对于C，当为定值2时，. 令，可得三点共线. 分别取线段的中点，记为，所以，即. 连接交于点，则. 所以点的轨迹是线段，所以C正确. 对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以. 所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确. 故选：ACD. （25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．小试牛刀2    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； （25-26高一上·北京·期末）已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________．小试牛刀3 ①对于任意； ②存在，使得； ③时，是等腰直角三角形； ④的最大值是． 【答案】②③④ 【分析】利用向量的线性运算和三角形外接圆的性质，结合均值不等式和正弦定理等的相关知识，对每个说法逐一分析. 【详解】因为为的外接圆圆心， 所以（为外接圆半径）， 又，所以， 即， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 展开并整理得：， 对于①，当时，，此时或， 因此存在，故①错误； 对于②④，因为 所以（当且仅当时取得等号）， 所以， 解得，或， 又为锐角，所以O与B在的同侧，所以， 所以存在，使得，故②正确，④正确； 对于③，当时， 代入中可得：， 此时是等腰直角三角形，故③正确； 故答案为：②③④ 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中， ，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算求解． 【详解】 . 故选：B 3．（24-25高二下·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形、三角形重心等性质结合平面向量的线性运算即可得所求. 【详解】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共线定理，结合为的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值, 【详解】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得. 故选：C. 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 6．（25-26高三上·全国·月考）如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用向量的线性运算求出和，再利用向量的数量积公式即可求出答案. 【详解】由题意得，， ， 所以， 因为，，， 所以，，， 所以. 故选：A. 7．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）在平行四边形 中， 分别是 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量加减、数乘的定义用表示出即可求解. 【详解】如下图，结合题设易知，， 则 ， ，则，， 所以.      故选：A 8．（25-26高三上·北京·开学考试）已知，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，令有，即关于的一元二次方程有解，利用判别式即可求解. 【详解】由题意有 ， 即， 令，则，所以， 化简整理得：，即关于的一元二次方程有解， 所以，即， 所以. 故选：A 二、多选题 9．（2026高一下·全国·专题练习）已知是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】延长交于点，由重心性质可得，结合向量的线性运算，则有，即. 【详解】因为点是的重心，延长交于点，则为中点， 所以. 因为，所以. 故选：AC. 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【分析】根据基底向量的定义逐项分析即可得解. 【详解】因为，所以与共线，不能作为基，故A正确； 因为，所以和共线，不能作为基，故B正确； 设存在实数使得，则，无解， 所以和不共线，能作为基，故C错误； 设存在实数使得，则，无解， 所以和不共线，能作为基，故D错误； 故选：AB 三、填空题 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知中，，，对角线，交于点，则__________，__________． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算和平行四边形的性质计算即得. 【详解】如图： 故答案为： ； . 12．（2026高一下·全国·专题练习）如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.75 【分析】由向量共线定理可得，进而可得，结合向量的线性运算可得，比较系数即可求解. 【详解】三点共线，且为的中点， 存在实数使， ， ， 因为，即， ， 即，解得. 故答案为：. 13．（2026高一·全国·专题练习）在▱ABCD中，,,,M为BC的中点，则(用表示)为________. 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和题设条件，利用向量的线性运算即可将用表示. 【详解】法一：　如图所示，在中，设交于点，则平分和， 因，则，即为的中点， 又为的中点，则， 于是，. 法二： . 故答案为：. 14．（25-26高一上·北京·期末），点在边上，，设，，则，则____，______. 【答案】 【分析】利用平面向量的减法可得出、的值. 【详解】因为，所以， 解得， 又因为，所以，. 故答案为：；. 15．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________. 【答案】 【分析】利用向量法，结合向量的线性运算和三点共线的性质，即可求解. 【详解】 由已知可得：， 所以，设，则， 因为，所以，即， 因为三点共线，所以， 即，所以， 把代入可得： ， 即，所以， 故答案为： 16．（24-25高三上·福建厦门·月考）在中，为的重心，满足，则__________. 【答案】0 【分析】连接并延长交与点，由重心定义得到点的位置以及的数量关系，然后用表示出，得到的值，即可求得结果. 【详解】连接并延长交与点， ∵为的重心，∴为中点，且， ， ∴，即， ∴. 故答案为：0. 17．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，已知，如果，则__________________． 【答案】18 【分析】过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点，得到四边形ODCE平行四边形，结合平面向量的基本定理，即可求解． 【详解】如图所示， 过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点， 所以四边形ODCE是平行四边形，则， 因为向量与和的夹角分别为和， 即，则， 在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 又由，可得， 又因为，所以， 所以． 故答案为：18． 四、解答题 18．（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， (1)用，表示向量，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)， ． (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）利用与共线，可得存在实数m，使得，进而计算可得，进而计算可求实数的值． 【详解】（1）为中点， ，． ． （2）， ． 与共线， ∴存在实数m，使得， 即， 即． ，不共线，， 解得． 19．（25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，然后用表示，根据三点共线求出的值； （2）根据，用表示，再将条件与代入，根据三点共线求出的关系，结合基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以 ① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② （1）因为，即 设，代入①则有，因为E，P，F三点共线，     所以，解得，所以. （2）由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 20．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三点共线、得，用表示出，根据向量共线可得，进而求得即可求解； （2）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由三点共线，且，可知， 在等腰梯形中，由，， 可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得， 所以. （2）由（1）知，又， 则， 分别过作的垂线，垂足分别为，    因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.3.1·平面向量基本定理】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 1．平面向量的基本定理 【知识点的认识】 1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使． 2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 2．用平面向量的基底表示平面向量 【知识点的认识】 1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使． 2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 【解题方法点拨】 ﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为． ﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：基底的概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1.基底定义：平面内两个不共线的向量，可作为表示该平面内所有向量的一组基底 2.基底性质： 基底不唯一，只要不共线即可 基底中不能有零向量（零向量与任意向量共线） 同一平面内，基底选定后，向量的表示唯一 3.正交基底：若，则称其为正交基底（如直角坐标系的单位向量） 解题思路 1.判断一组向量能否作为基底：只需验证它们是否不共线 2.辨析概念时，紧扣“不共线”“非零”“表示唯一”三个关键词 3.若题目给出多组向量，逐一判断是否共线，排除共线的选项 名师点睛 基底的核心是“不共线”，与模长、夹角无关 零向量绝对不能作为基底，这是高频易错点 正交基底只是基底的特殊形式，不是基底的必要条件 （2026高一·全国·专题练习）如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ）经典例题1例题 A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 （23-24高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ）经典例题2例题 A．， B．， C．， D．， （25-26高一下·全国·课堂例题），是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ）小试牛刀1 A．和 B．和 C．和 D．和 （24-25高一下·北京石景山·期末）已知平面向量，满足，，且与的夹角为．小试牛刀2 (1)求以及； (2)若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值． 【多选题】（24-25高一下·全国·周测）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ）小试牛刀3 A．和 B．和 C．和 D．和 【题型2：用基底表示向量】 【练方法】 知识梳理 1.平面向量基本定理：若是同一平面内的一组基底，则对该平面内任意向量，存在唯一一对实数，使得 2.表示方法： 利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，将分解到方向上 利用向量线性运算，将表示为的线性组合 解题思路 1.明确基底，确定目标向量 2.利用向量加减法，将逐步分解为基底向量的和差 3.结合数乘运算，将分线段向量表示为基底向量的倍数 4.整理得到的形式，确定系数 名师点睛 优先选择图形中已知长度和夹角的向量作为基底，简化计算 分解向量时，先画分解图，再进行代数运算，避免方向错误 若向量用坐标表示，可直接用坐标运算，本质仍是基底表示（为基底） （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，.经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课后作业）已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点．经典例题2例题 (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D在线段上，，设，．用和表示向量，．小试牛刀1 （2025·湖南永州·模拟预测）在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·湖南长沙·二模）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D．= −+. 【题型3：向量共线/三点共线】 【练方法】 知识梳理 1.向量共线定理：向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得 2.三点共线：三点共线的充要条件是存在实数，使得，或存在实数，使得（为平面内任意一点） 3.基底视角：若，，则 解题思路 1.向量共线： 若用基底表示，验证 若用几何形式表示，证明存在使得 2.三点共线： 计算和，证明它们共线且有公共点 或用系数和为1的形式：且 名师点睛 三点共线的“系数和为1”是高考高频考点，可快速判断 共线向量的基底表示中，对应系数成比例，这是判断共线的重要方法 证明共线时，必须强调“有公共点”，否则两向量平行但不共线 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ）经典例题1例题 A．，， B．，， C．，， D．，， （25-26高一下·全国·课堂例题）（1）设，是不共线的两个非零向量.若，，，求证：，，三点共线；经典例题2例题 （2）设，是两个不共线向量，已知，，，若有，，三点共线，求的值. （25-26高一下·全国·课后作业）（1）设，是两个不共线的向量，已知，，，试判断，，三点是否共线；小试牛刀1 （2）设，是两个不共线的向量，在四边形中，，，，证明：四边形为平行四边形． （25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ）小试牛刀2 A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 （24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：用基底证明平行/点共线的问题】 【练方法】 知识梳理 1.平行证明：两直线平行对应向量共线且无公共点 2.共线证明：三点共线对应向量共线且有公共点 3.核心工具：向量共线定理、平面向量基本定理 解题思路 1.平行证明： 取两直线上的方向向量，用基底表示 证明方向向量共线（系数成比例） 说明两直线无公共点，得出平行结论 2.共线证明： 取三点对应的向量，用基底表示 证明其中两个向量共线且有公共点 得出三点共线结论 名师点睛 用基底法证明几何问题，可避免复杂的几何辅助线，步骤更清晰 证明平行时，需注意“方向向量共线”且“无公共点”，缺一不可 优先选择图形中已知的边作为基底，简化向量表示 （23-24高一下·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是的中点，，．经典例题1例题 (1)用表示； (2)求证：三点共线． （24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设.经典例题2例题 (1)用表示； (2)证明：三点共线. （25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，.小试牛刀1 (1)试用，表示向量； (2)求证：. （23-24高一上·辽宁·期末）已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．小试牛刀2 (1)若点O满足，证明：． (2)求的最小值． （23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.小试牛刀3    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 【B·能力提升题型】 【题型1：利用平面向量基本定理求参数的值】 【练方法】 知识梳理 1.核心：向量在基底下的表示唯一，若，则必有且 2.常见场景：已知向量线性组合等于另一向量，求组合系数 解题思路 1.将所有向量用同一组基底表示 2.代入已知等式，整理为的形式 3.由基底不共线，得且，列方程组求解参数 名师点睛 基底不共线是“系数相等”的前提，若基底共线，结论不成立 若向量用坐标表示，可直接用坐标相等列方程，本质是基底法的特例 注意零向量的特殊性，可表示为任意向量的线性组合 （25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.经典例题1例题 （24-25高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________．经典例题2例题 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在中，M是的中点，且，与相交于点E，设，，，试求x，y的值．小试牛刀1 （25-26高一下·全国·课后作业）如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________．小试牛刀2 （2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：平面向量共线定理的推论】 【练方法】 知识梳理 1.推论：若，则共线 解题思路 1.识别三点共线条件，用系数和为1的形式表示 2.代入已知向量表达式，列方程求解参数 3.利用推论快速判断共线，或由共线反推系数关系 名师点睛 推论是判断三点共线的“金钥匙”，在选择填空题中可秒杀 若已知三点共线，可直接设系数和为1，减少变量个数 （25-26高一下·全国·课后作业）在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，．经典例题1例题 (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． （2025高一·全国·专题练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点，，，求证：．经典例题2例题 （2025高三·全国·专题练习）已知是直线上不同的三点，点在直线外，若，则______．小试牛刀1 （24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点.小试牛刀2 (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. （24-25高一下·内蒙古乌海·期中）如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____小试牛刀3 【题型3：平面向量基本定理求数量积】 【练方法】 1.数量积计算：若，，则 2.基底选择：优先选择模长和夹角已知的向量作为基底，简化计算 解题思路 1.选基底：选择已知模长和夹角的不共线向量作为基底 2.表向量：将待求数量积的两个向量用基底表示 3.代公式：代入数量积展开式，利用已知的基底模长和夹角计算 4.求结果：化简得到数量积的值 名师点睛 基底法是解决几何图形中数量积的通用方法，无需建立坐标系 若，则，展开式更简洁 优先利用图形性质（如等边三角形、正方形）简化基底的模长和夹角 （25-26高三上·天津西青·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.经典例题1例题 （25-26高三上·湖南长沙·月考）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，在中，为线段上一点，且.小试牛刀1 (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. （25-26高三上·天津·期末）在中，，点，满足，，与交于小试牛刀2 点．记，用和表示___________；若为的中点，，，则___________． （25-26高三上·天津南开·期末）如图，在等腰梯形中，，E是的中点，连接，相交于点F，连接，若，则______；______．小试牛刀3 【题型4：平面向量基本定理求参数范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心：将参数表示为向量的线性组合，利用向量的模、夹角等约束求范围 2.常见场景：，求、等的范围 解题思路 1.利用向量线性运算，将用已知条件表示 2.将目标函数（如）表示为单参数函数 3.利用基本不等式、三角函数值域或函数单调性求范围 名师点睛 优先用共线定理或系数和为1的条件消元，将双参数问题转化为单参数问题 注意参数的几何意义，避免最值超出可行域 若涉及模长，用展开，转化为数量积计算 （23-24高一下·四川广安·月考）已知．求：经典例题1例题 (1)； (2)． (3)如图，，点在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求的取值范围． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，A，B，P是圆O上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆O外一点Q，若，求的取值范围．经典例题2例题 【多选题】（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ）小试牛刀1 A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 （25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．小试牛刀2    （25-26高一上·北京·期末）已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________．小试牛刀3 ①对于任意； ②存在，使得； ③时，是等腰直角三角形； ④的最大值是． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中， ，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26高三上·全国·月考）如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）在平行四边形 中， 分别是 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·北京·开学考试）已知，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高一下·全国·专题练习）已知是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 三、填空题 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知中，，，对角线，交于点，则__________，__________． 12．（2026高一下·全国·专题练习）如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______. 13．（2026高一·全国·专题练习）在▱ABCD中，,,,M为BC的中点，则(用表示)为________. 14．（25-26高一上·北京·期末），点在边上，，设，，则，则____，______. 15．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________. 16．（24-25高三上·福建厦门·月考）在中，为的重心，满足，则__________. 17．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，已知，如果，则__________________． 四、解答题 18．（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， (1)用，表示向量，； (2)若，求实数的值． 19．（25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 20．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $