7.1.2 两条直线垂直 课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

课前准备 草稿纸、笔、直尺、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 同学们，我们知道在平面内，两条直线可以有多种位置关系。从最一般的相交，到一种特殊而有趣的情形——互相垂直。今天，就让我们深入探索这两条直线垂直的奥秘，看看它们如何在相交中展现出独特的数学美。 7.1.2 两条直线垂直 学习目标 学习重点 理解垂线的概念，会用三角尺或者量角器过一点作已知直线的垂线或垂线段； 掌握垂直的概念，能根据垂直求出角的度数； 掌握垂线的性质，并会运用所学知识进行简单的推理； 掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离，掌握垂线段最短的性质，解决简单的实际问题。 理解垂线的有关概念、性质及画法； 掌握点到直线的距离和垂线段的概念，并应用它们解决实际问题. 回顾旧知 问题一：如图1， （1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角有怎样的关系？ （2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？ A C B D O 图 1 问题二：如图2，当∠AOC = 90°时，∠BOD, ∠AOD,∠BOC等于多少度？为什么？ A B C D O 图 2 探究新知 在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化. α a b α a b α a b α a b α a b α a b α a b 当α=90°时，a与b互相垂直. 记作 a⟂b. 垂直是相交的一种特殊情况. α a b 重要概念 一般的，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，我们说a与b互相垂直.记作 “a ⟂b” . A B C O D 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.如图，记作AB⟂CD，垂足为O. A B C O D 重要概念 由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直. A B C O D 如图，如果直线AB、CD相交于点O，∠AOD = 90°，那么AB⟂CD. 符号语言表示为： 所以 AB⟂CD . 因为∠AOD = 90°， 反过来，如果AB⟂CD，垂足为O，那么∠AOD = 90°. 因为 AB⟂CD ， 所以∠AOD = 90°. 数学应用 如图，AB⟂CD，垂足为O，∠COF = 56°，求∠AOE的度数. O ? 56° F E D C B A O 解：因为AB⟂CD （已知） 所以∠COB = 90°（垂直的定义） 所以∠FOB = ∠COB - ∠COF =90°-56° = 34° 所以∠AOE =∠FOB = 34°（对顶角相等） 知识巩固 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⟂AB，∠1 = 55°，求∠EOD的度数. A C E B D O 1 ( 解：因为AB⟂CD （已知） 所以∠EOB = 90°（垂直的定义） 因为∠1 = 55°（已知） 所以∠BOD = ∠1 = 55°（对顶角相等） 所以∠EOD = ∠EOB + ∠BOD = 90°+55° = 145° 探索新知 在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，例如图中窗户上互相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线。你能再举出其他例子吗？ 接下来我们研究互相垂直的两条直线的性质。 探索新知 探究 如图，用三角尺或者量角器画已知直线l的垂线. （1）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ （2）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ l A 一条 你发现了什么？ l B 一条 探索新知 可以发现，经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.由此得到关于垂线的基本事实： A 一条 l B 一条 l 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 数学应用 例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 审题归类 解题方法 解答 验证 画射线或者线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 画垂线的步骤：放、靠、移、画. 数学思考 思考：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 探索新知 探究：如图，P是直线 l 外一点，PO⟂l，垂足为O，我们称PO为点P到直线 l 的垂线段。A是直线 l 上除点O外一点，连接PA.测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？ l P O A 结论： 线段PO的长度比线段PA的长度短. 重要概念 可以发现，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. O l A P 赞扬 补 充 疑 问 发言 简单说成，垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗？ 垂线段最短 m 赞扬 补 充 疑 问 发言 课堂检测 1.如图，在三角形ABC中，过点B画边AC的垂线，下列画法正确的是（ ） A C B D 课堂检测 2.如图，点P，Q分别代表连个村庄，直线 l 代表两个村庄之间的一条公路，根据居民出行的需要，计划在公路 l 上的某处设置一个公交车站。 （1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路 l 上画出车站的位置（用点M表示），依据是什么？ （2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路 l 上画出车站的位置（用点N表示），依据是什么？ P. ·Q l 归纳小结 垂 线 定义 性质 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 性质2：垂线段最短. 课后作业 必做题：P6 练习第1、2、3； 选做题：P8 复习巩固第2、3、4、5. $