第7章 一元一次不等式与不等式组（易错点讲义）2025-2026学年沪科版数学七年级下册

第7章 一元一次不等式与不等式组 易错点解析 总 错 汇 点 易 易错点1. 不等式基本性质3应用时忘记变号 易错点2. 去分母时漏乘不含分母的项 易错点3. 移项时未改变项的符号 易错点4. 不等式组解集在数轴上表示时方向错误 易错点5. 混淆不等式组“同大取大”等解集口诀 易错点6. 忽略不等式中隐含的非负条件（如绝对值、偶次根式） 易错点7. 用数轴表示解集时未区分实心点与空心圈 易错点8. 解含参数不等式时忘记分类讨论参数取值范围 析- 错 解 点 易 易错点1：不等式基本性质3应用时忘记变号 例题：解不等式：-2x > 6 答案：x < -3 解析：根据不等式基本性质3，不等式两边同时除以同一个负数（-2），不等号方向必须改变。原不等式两边同时除以-2，得x < -3。常见错误是直接除以-2后不等号方向不变，得到x > -3，这是对性质3理解不透彻导致的。 避错指南： 应用不等式性质3时（两边乘除负数），务必牢记“两变”： ①乘除负数；②不等号方向改变。可在步骤旁标注“变号”提醒自己，也可通过代入特殊值检验结果是否合理（如例题中x=-4时，-2×(-4)=8>6成立，符合x<-3）。 即时小练： 1. 解不等式：-3x ≥ 12 答案：x ≤ -4 解析：两边同时除以-3，不等号方向改变，得x ≤ -4。 2. 解不等式： < 5 答案：x > -10 解析：两边同时乘-2，不等号方向改变，得x > -10。 3. 解不等式：-0.5x - 1 < 3 答案：x > -8 解析：移项得-0.5x < 4，两边乘-2（变号）得x > -8。 易错点2：去分母时漏乘不含分母的项 例题：解方程： 答案：x=-1 解析：两边同乘6时，-1需乘6，即3(x+1) - 6×1 = 2(2x-1)，去括号得3x+3 -6=4x-2，移项得3x-4x=-2-3+6，-x=1，x=-1。常见错误是漏乘不含分母的项“-1”，导致方程变为3(x+1)-1=2(2x-1)，进而解得错误结果。 避错指南： 去分母时，将方程两边每一项（包括常数项）都乘最简公分母。可先在不含分母的项下方标注公分母，如例题中“-1”下方写“×6”，确保无遗漏。去分母后检查各分母是否已消除，常数项是否乘公分母。 即时小练： 1. 解方程： 答案：x=-4 解析：，乘6得2(2x-1)+6=3x→4x-2+6=3x→x=-4。 2. 解方程： 答案：x=-3 解析：乘6得2x -3(x-1)=6→2x-3x+3=6→-x=3→x=-3。 3. 解方程： 答案：y=3 解析：乘15得30 -3(y+2)=5y→30-3y-6=5y→24=8y→y=3。 易错点3：移项时未改变项的符号 例题：解不等式：3x - 5 > 2x + 1 答案：x > 6 解析：移项时，将2x移到左边变为-2x，-5移到右边变为+5，得3x -2x >1 +5，即x>6。常见错误是移项不变号，写成3x +2x >1 -5或3x -2x >1 -5，导致结果错误。 避错指南： 移项实质是等式（不等式）性质1的应用，移项要变号（+变-，-变+）。可将移项步骤拆解为“两边加（减）同一个数”，如将2x移到左边，即两边同时减2x，避免直接“搬家”忘记变号。移项后检查所有移动的项是否已变号。 即时小练 1. 解方程：5x - 8 = 3x + 2 答案：x=5 解析：移项得5x-3x=2+8→2x=10→x=5。 2. 解不等式：4x + 7 ≤ 6x - 3 答案：x ≥ 5 解析：移项得7+3 ≤6x-4x→10≤2x→x≥5。 3. 解不等式：1 - 2x > 3x + 6 答案：x < -1 解析：移项得1-6 >3x+2x→-5>5x→x<-1。 易错点4：不等式组解集在数轴上表示时方向错误 例题：不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为． 避错指南： 牢记“大于向右，小于向左；含等号实心，不含等号空心”。画数轴前先确定解集符号（>、<、≥、≤），再对应方向和圆点类型。可先在数轴上方标注“>→右”“<→左”提醒自己，画完后将特殊值代入检验（如x=0是否在解集内）。 即时小练： 1．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析： 由①，得， 由②，得， 所以不等式组的解集是：． 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选A． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴符合题意的数轴为D项， 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：D 解析：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示为： 易错点5：混淆不等式组“同大取大”等解集口诀 例题：解不等式组 ，并写出其解集。 答案： 解析：解第一个不等式 ，得 ；解第二个不等式 ，得 ，即 。两个不等式的解集分别为 和 ，属于“大小小大中间找”的情况，所以不等式组的解集为 。若混淆口诀，如错用“同大取大”，会错误得到 ；错用“同小取小”，会得到 ，均不符合题意。 避错指南： 准确记忆并理解不等式组解集的四种口诀：①同大取大（两个解集都是大于号，取较大的数）；②同小取小（两个解集都是小于号，取较小的数）；③大小小大中间找（大于小的数且小于大的数，取中间范围）；④大大小小无解了（大于大的数且小于小的数，无解）。解题时先分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，结合口诀确定最终解集。 即时小练： 1. 解不等式组 ，解集为______。 答案： 解析：解 得 ；解 得 。属于“大小小大中间找”，解集为 。 2. 解不等式组 ，解集为______。 答案： 解析：解 得 ；解 得 。同大取大，解集为 。 3. 解不等式组 ，解集为______。 答案：无解 解析：解 得 ；解 得 。大大小小无解了，所以不等式组无解。 易错点6：忽略不等式中隐含的非负条件（如绝对值、偶次根式） 例题：若 ，则 的取值范围是______。 答案： 解析：因为偶次根式 中被开方数 ，绝对值 ，所以 ，。它们的和为 0，只能是 且，即 ，，所以 。若忽略隐含的非负条件，可能错误认为存在其他解。 避错指南： 在涉及绝对值、偶次根式（如平方根、四次方根等）的不等式中，要牢记：绝对值具有非负性，即 ；偶次根式的被开方数非负，且根式的值非负，即 （ 为偶数，）。解题时先确定这些式子的取值范围，再结合不等式进行求解。 即时小练： 1. 若 ，则 ______。 答案：3 解析：因为 ，，所以它们的和小于等于 0 时，只能都等于 0，即 ，，。 2. 若 ，则 的取值范围是______。 答案： 解析：，，和大于 0 则至少有一个式子大于 0。若 ，则 ，此时需 ，即 ，。 3. 若 ，则 的取值范围是______。 答案：无解 解析：因为 ，，它们的和不可能小于 0，所以无解。 易错点7：用数轴表示解集时未区分实心点与空心圈 例题：一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：不等式的解集为，在数轴上表示正确的是： 避错指南： · 明确不等号含义：“”“”表示包含端点值，用实心点；“”“”表示不包含端点值，用空心圈。 · 画方向时遵循“大于向右，小于向左”的原则，与数轴上数字增大方向一致。 · 表示解集前先化简不等式，确保端点值和方向判断准确。 即时小练： 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：∵， ∴在数轴上表示为： 2．不等式的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 答案:B 解析：不等式，解得， A、解集为，不满足题意要求； B、解集为，满足题意要求； C、解集为，不满足题意要求； D、解集为，不满足题意要求； 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：， ， 解得：， 把解集在数轴上表示为： ． 易错点8：解含参数不等式时忘记分类讨论参数取值范围 例题：若关于 的不等式 的解集是 ，求 的值。 答案： 解析：解不等式 ，移项得 。由于解集是 ，不等号方向改变，说明系数 （不等式两边除以负数，不等号方向改变）。此时不等式两边同时除以 （），得 。已知解集为 ，所以 ，解得 ，符合 的条件。 避错指南： · 当未知数系数含参数（如 ）时，若系数正负未知，需分三种情况讨论：参数 > 0、参数 = 0、参数 < 0。 · 参数 = 0 时，不等式变为常数不等式（如 ），需判断是否成立（解集为全体实数或无解）。 · 参数不为0时，注意不等号方向是否需要改变（除以负数变方向，正数不变）。 · 结合题目条件（如解集范围、整数解个数等），排除不符合题意的参数取值。 。 即时小练： 1. 若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围。 答案： 解析：解不等式 得 。已知解集为 ，不等号方向改变，说明两边除以了负数，即 。 2. 已知关于 的不等式 的解集为 ，求 的取值范围。 答案： 解析：解集 中不等号方向改变，说明系数 ，解得 。 3. 当 为何值时，关于 的不等式 的解集为全体实数？ 答案： 解析：分情况讨论：① 时，解集为 ，不是全体实数；② 时，不等式变为 ，即 ，恒成立，解集为全体实数；③ 时，解集为 ，不是全体实数。综上，。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 一元一次不等式与不等式组 易错点解析 总 错 汇 点 易 易错点1. 不等式基本性质3应用时忘记变号 易错点2. 去分母时漏乘不含分母的项 易错点3. 移项时未改变项的符号 易错点4. 不等式组解集在数轴上表示时方向错误 易错点5. 混淆不等式组“同大取大”等解集口诀 易错点6. 忽略不等式中隐含的非负条件（如绝对值、偶次根式） 易错点7. 用数轴表示解集时未区分实心点与空心圈 易错点8. 解含参数不等式时忘记分类讨论参数取值范围 析- 错 解 点 易 易错点1：不等式基本性质3应用时忘记变号 例题：解不等式：-2x > 6 避错指南： 应用不等式性质3时（两边乘除负数），务必牢记“两变”： ①乘除负数；②不等号方向改变。可在步骤旁标注“变号”提醒自己，也可通过代入特殊值检验结果是否合理（如例题中x=-4时，-2×(-4)=8>6成立，符合x<-3）。 即时小练： 1. 解不等式：-3x ≥ 12 2. 解不等式： < 5 3. 解不等式：-0.5x - 1 < 3 易错点2：去分母时漏乘不含分母的项 例题：解方程： 避错指南： 去分母时，将方程两边每一项（包括常数项）都乘最简公分母。可先在不含分母的项下方标注公分母，如例题中“-1”下方写“×6”，确保无遗漏。去分母后检查各分母是否已消除，常数项是否乘公分母。 即时小练： 1. 解方程： 2. 解方程： 3. 解方程： 易错点3：移项时未改变项的符号 例题：解不等式：3x - 5 > 2x + 1 避错指南： 移项实质是等式（不等式）性质1的应用，移项要变号（+变-，-变+）。可将移项步骤拆解为“两边加（减）同一个数”，如将2x移到左边，即两边同时减2x，避免直接“搬家”忘记变号。移项后检查所有移动的项是否已变号。 即时小练 1. 解方程：5x - 8 = 3x + 2 2. 解不等式：4x + 7 ≤ 6x - 3 3. 解不等式：1 - 2x > 3x + 6 易错点4：不等式组解集在数轴上表示时方向错误 例题：不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 避错指南： 牢记“大于向右，小于向左；含等号实心，不含等号空心”。画数轴前先确定解集符号（>、<、≥、≤），再对应方向和圆点类型。可先在数轴上方标注“>→右”“<→左”提醒自己，画完后将特殊值代入检验（如x=0是否在解集内）。 即时小练： 1．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 易错点5：混淆不等式组“同大取大”等解集口诀 例题：解不等式组 ，并写出其解集。 避错指南： 准确记忆并理解不等式组解集的四种口诀：①同大取大（两个解集都是大于号，取较大的数）；②同小取小（两个解集都是小于号，取较小的数）；③大小小大中间找（大于小的数且小于大的数，取中间范围）；④大大小小无解了（大于大的数且小于小的数，无解）。解题时先分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，结合口诀确定最终解集。 即时小练： 1. 解不等式组 ，解集为______。 2. 解不等式组 ，解集为______。 3. 解不等式组 ，解集为______。 易错点6：忽略不等式中隐含的非负条件（如绝对值、偶次根式） 例题：若 ，则 的取值范围是______。 避错指南： 在涉及绝对值、偶次根式（如平方根、四次方根等）的不等式中，要牢记：绝对值具有非负性，即 ；偶次根式的被开方数非负，且根式的值非负，即 （ 为偶数，）。解题时先确定这些式子的取值范围，再结合不等式进行求解。 即时小练： 1. 若 ，则 ______。 2. 若 ，则 的取值范围是______。 3. 若 ，则 的取值范围是______。 易错点7：用数轴表示解集时未区分实心点与空心圈 例题：一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 避错指南： · 明确不等号含义：“”“”表示包含端点值，用实心点；“”“”表示不包含端点值，用空心圈。 · 画方向时遵循“大于向右，小于向左”的原则，与数轴上数字增大方向一致。 · 表示解集前先化简不等式，确保端点值和方向判断准确。 即时小练： 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点8：解含参数不等式时忘记分类讨论参数取值范围 例题：若关于 的不等式 的解集是 ，求 的值。 避错指南： · 当未知数系数含参数（如 ）时，若系数正负未知，需分三种情况讨论：参数 > 0、参数 = 0、参数 < 0。 · 参数 = 0 时，不等式变为常数不等式（如 ），需判断是否成立（解集为全体实数或无解）。 · 参数不为0时，注意不等号方向是否需要改变（除以负数变方向，正数不变）。 · 结合题目条件（如解集范围、整数解个数等），排除不符合题意的参数取值。 。 即时小练： 1. 若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围。 2. 已知关于 的不等式 的解集为 ，求 的取值范围。 3. 当 为何值时，关于 的不等式 的解集为全体实数？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $