精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一下学期2月阶段检测数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一下学期2月阶段性检测数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值4 D. 最小值4 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数且，若对，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 偶函数在区间上单调递增，则有（ ） A. B. C. D. 8. 定义：表示中的较大者．若函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列判断正确的是（ ） A. B. 是定义域上的减函数 C. 是不等式成立的充分不必要条件 D. 幂函数的图象都过点(1，1) 10. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 的图象的对称中心为 B. 函数的最小正周期为 C. 在上存在单调递减区间 D. 有最大值2和最小值-2 11. 已知，用表示不超过的最大整数．若函数，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 方程只有一个实数根 三、填空题 12. 求值__________. 13. 设常数，，设，若函数恰有三个零点，则的取值范围是________． 14. 若直角坐标平面内两点，满足条件：①，都在函数的图像上；②，关于原点对称.则称是关于函数的一个“伙伴点组”（点组和点组看作同一个“伙伴点组”），则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是：__________.（填写所有正确的序号） ①②③④ 四、解答题 15. 解下列不等式： （1）； （2）. 16. 如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为． （1）求的值； （2）若，，求的值． 17. 铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）. （参考数据，） 18. 已知函数. （1）若，解不等式； （2）已知函数在上是奇函数或偶函数，求满足条件的所有实数，并请说明理由. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知定义在上的函数的图象关于点对称． （1）求的值； （2）设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②用定义证明在区间上单调递增，并求在上的值域； ③在题干条件下，当时，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一下学期2月阶段性检测数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知确定集合中元素，然后由交集定义计算． 【详解】由题意，又， ∴， 故选：C． 2. 函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值4 D. 最小值4 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值. 故选：D 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AC，再结合单调性在BD中进行选择. 【详解】因为函数为非奇非偶函数，为奇函数，故AC不满足题意； 因为为常数函数，在不是增函数，故B不满足题意； 设，则，则为偶函数， 当时，，则在上为增函数，故D满足题意. 故选：D 4. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用指数函数和对数函数的性质比较的大小，再利用函数的单调性判断. 【详解】因为， 所以， 又因为函数在上递增， 所以， 故选：D 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合同角公式求出即可得解. 【详解】由，得，解得， 由，得，则，于是， 解得，所以. 故选：C 6. 已知函数且，若对，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的对称轴，再分和两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象列出不等式，即可得解. 【详解】的对称轴为，，， 当时，作出函数的图象，如图所示： 由，得，所以， 因为对，与至少有一个为正数， 所以，解得； 当时，作出函数的图象，如图所示： 若，即时， 则函数在上单调递减， 则当时，， 所以当时，符合题意； 若，即时，则函数的对称轴在轴左侧， 因为对，与至少有一个为正数， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 7. 偶函数在区间上单调递增，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质f（﹣x）＝f（x），得到f（﹣1）＝f（1），f（﹣π）＝f（π），再根据f（x）在[0，4]上单调递增，从而可以确定大小关系 【详解】∵f（x）是偶函数 ∴f（﹣x）＝f（x） ∴f（﹣1）＝f（1），f（﹣π）＝f（π） ∴f（x）在[0，4]上单调递增，且1π ∴f（π）＞f（）＞f（1） ∴f（﹣π）＞f（）＞f（﹣1） 故选C． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，以及利用单调性比较函数值大小，属于基础题 8. 定义：表示中的较大者．若函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先令求出交点，根据交点结合已知定义分段讨论得出解析式，再利用函数在区间上的值域为讨论得出的取值范围． 【详解】令，解得或1， 当时，，； 当时，，； 当时，，． 所以， 函数在上单调递增，在上单调递减，，，， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 当时，函数在上的值域为， 为保证在上的值域仍为，需在上满足，即。 故， 则的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 9. 下列判断正确的是（ ） A. B. 是定义域上的减函数 C. 是不等式成立的充分不必要条件 D. 幂函数的图象都过点(1，1) 【答案】CD 【解析】 【分析】 由空集定义知错误；由单调性定义知错误；解分式不等式求得的解集，由推出关系知正确；由幂函数的性质知正确. 【详解】对于，是不含任何元素的集合，不是的元素，错误； 对于，令，，则，不符合减函数定义；在和上单调递减，不能说在定义域上是减函数，错误； 对于，由得：或，，， 是不等式成立的充分不必要条件，正确； 对于，幂函数为，其图象必过点，正确. 故选：. 10. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 的图象的对称中心为 B. 函数的最小正周期为 C. 在上存在单调递减区间 D. 有最大值2和最小值-2 【答案】AB 【解析】 【分析】运用诱导公式和正弦的二倍角公式化简，，利用正弦函数的性质逐一判断可得选项. 【详解】解：函数 且， 由得，即， 所以，， 对于A，令，得，所以的图象的对称中心为，故A正确； 对于B，因为，，所以最小正周期，故B正确； 对于C，令，得，所以在上不存在单调递减区间，故C不正确； 对于D，因为，，所以，所以， 所以函数不存在最大值，不存在最小值，故D不正确； 故选：AB. 11. 已知，用表示不超过的最大整数．若函数，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 方程只有一个实数根 【答案】BD 【解析】 【分析】借助函数奇偶性定义判断选项A；通过列举作出函数及的图象判断选项B；举特例判断选项C；通过函数的取值分类讨论判断选项D. 【详解】由题知，函数的定义域为， ， 所以函数为偶函数， 由得 ， 所以函数是偶函数.故A错误； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 所以函数的图象如图所示： 由的解析式及图象可知： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，因为， 所以是的一个周期，所以函数的值域是，故B正确； 由， ， 所以， 所以函数的图象不关于直线对称.故C错误； 对于方程， 当时，，，此时方程有一个实数根； 当时，，，此时方程没有实数根； 当时，，，此时方程没有实数根； 所以方程只有一个实数根，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 求值__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式以及指对数的运算法则计算可得. 【详解】 故答案为： 13. 设常数，，设，若函数恰有三个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式画出大致图象，问题化为与有三个交点，数形结合求参数范围. 【详解】由题设，又函数恰有三个零点， 所以与有三个交点，而的大致图象如下， 由图及已知，，即参数取值范围为. 故答案为： 14. 若直角坐标平面内两点，满足条件：①，都在函数的图像上；②，关于原点对称.则称是关于函数的一个“伙伴点组”（点组和点组看作同一个“伙伴点组”），则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是：__________.（填写所有正确的序号） ①②③④ 【答案】② 【解析】 【分析】根据“伙伴点组”的定义可知，只需要利用图象，作出函数在时关于原点对称的图象，利用对称图象与时图象的交点个数，即为“伙伴点组”的个数，根据条件进行判断即可. 【详解】①函数 关于原点对称的函数为，即， 在上作出两个函数的图象如图， 由图象可知两个函数在上的交点个数只有一个，所以函数的“伙伴点组”有 1 个，不满足条件； ②函数关于原点对称的函数为，即， 在上作出两个函数的图象如图， 由图象可知两个函数在上的交点个数恰有两个，所以函数的“伙伴点组”有 2个，满足条件； ③函数关于原点对称的函数为，即， 在上作出两个函数的图象如图， 由图象可知两个函数在上的交点个数有 0 个，所以函数的“伙伴点组”有 0 个，不满足条件； ④函数关于原点对称的函数为，即， 在上作出两个函数的图象如图， 由图象可知两个函数在上的交点个数有 0 个，所以函数的“伙伴点组”有 0 个，不满足条件； 故答案为：② 四、解答题 15. 解下列不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法，直接求解即可； （2）根据分式不等式的解法，等价于，再求解即可. 【详解】（1）由可得： ， 解得：或， 故解集为： （2）由化简为：， 即，等价于， 解得，故解集为. 16. 如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可. （2）利用两角和的正弦公式处理即可. 【小问1详解】 由题得，，， 所以 【小问2详解】 由题得，，，所以， 所以 17. 铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）. （参考数据，） 【答案】（1） 由所给数据可知，函数应该为减函数，故③为增增函数，不合题意； 又，，，不是常数，故①不符合题意； 故选②. （2）（i）（ii）分钟 【解析】 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为定值排除①③, 代入数据②中求参数得函数解析式； （2）（i）根据指数函数的性质可知稳定在；（ii）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【小问1详解】 由所给数据可知，函数应该为减函数，故③为增增函数，不合题意；又，，，不是常数，故①不符合题意；故选②. 则，解得， 所以. 【小问2详解】 （i）由可知，且无限趋近， 所以由题意室温为. （ii）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 18. 已知函数. （1）若，解不等式； （2）已知函数在上是奇函数或偶函数，求满足条件的所有实数，并请说明理由. 【答案】（1） （2）当时，是上的偶函数 【解析】 【分析】（1）当时，对去绝对值，再分段解不等式即可求解； （2）求出的表达式，可计算，若具有奇偶性由可得或，再讨论或时的奇偶性即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，，解得：， 当时，不成立， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 则，， 若存在实数，使得在上是奇函数或偶函数，必有， 解得：或， 当时，， 此时对于恒成立，所以时是偶函数， 当时， 因为，， 此时，，所以非奇非偶函数， 综上所述：当时，是上的偶函数. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知定义在上的函数的图象关于点对称． （1）求的值； （2）设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②用定义证明在区间上单调递增，并求在上的值域； ③在题干条件下，当时，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①函数的定义域为， 又，则 ， 所以的对称中心为； ②任取，且， 则， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. 所以在上单调递增，又， 所以在上的值域为. ③ 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性计算可得； （2）①根据对称性的定义证明即可；②利用单调性定义证明，再根据所得单调性结合定义域求值域即可；③记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论的值域，分，，三种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为的图象关于点对称， 所以， 令，得. 【小问2详解】 ①略 ②略 ③由于对任意，总存在，使得成立， 于是问题转化为在上的值域是在上的值域的子集， 记在区间上的值域为，则 因为的图象关于点对称，当时，， 当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增， ∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， ∴满足题意； 当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出两函数的值域，再利用两函数值域的包含关系即可得到不等式组，解出即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $