精品解析：山东临沂市河东区2025-2026学年七年级上学期期末数学试题B

2025-2026学年度上学期期末学业水平质量调研试题 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与2 C. 2与 D. 2与 3. 下列问题中两个变量之间的关系不是反比例的是（ ） A. 某人参加赛跑时，时间t与跑步平均速度v之间的关系 B. 长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系 C. 圆的面积S与它的半径r之间的关系 D. 三角形的面积一定时，它的一边长y与这条边上的高x之间的关系 4. 下列现象对应的数学原理描述错误的是（ ） A. 流星划过夜空留下光迹——点动成线 B. 清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C. 长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D. 铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 单项式的系数是 B. 单项式的系数为1，次数为0 C. 多项式的次数是6 D. 是整式 6. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 7. 如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 用1套积木可拼8个正方体模型或24个长方体模型，2个正方体模型与6个长方体模型组成一个组合造型．现用42套积木拼搭，列出方程，则代表的实际意义是（ ） A. 拼正方体模型的积木套数 B. 拼长方体模型的积木套数 C. 正方体模型的总个数 D. 长方体模型的总个数 9. 如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，点为线段的三等分点，求线段的长为（ ） A. 8或13 B. 3或8 C. 3或18 D. 13或18 10. 1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如图所示，图中的数字为正方形编号，其中标注1，2的正方形边长分别为，．当时，第10个正方形的面积是（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 第Ⅱ卷 （非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 为践行“双碳”目标，2026年某城市新增光伏装机容量达280万千瓦，280万千瓦用科学记数法表示为__________千瓦． 12. 如图，把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，这样做蕴含的数学道理是___________． 13. 若与互为相反数，与互为倒数，则的值是__________． 14. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简__________． 15. 已知关于的方程有整数解，则非负整数的值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 化简求值：，其中，满足． 19. 教学楼走廊主通道线段长为米．为筹备校园科技文化节，延长至点，使，用于布置“科技发明展”展区；延长至点，使，用于布置“科普手抄报区”． （1）请按上述要求补全图形； （2）用含的代数式表示文化节展区整体（）的长度； （3）若为的中点，且从到的距离为5米，求走廊主通道的实际长度． 20. 临沂五洲湖有一圈环湖步道，甲同学从步道起点顺时针步行1小时还有千米才绕完一圈，乙同学按逆时针步行绕完一圈只用了48分钟，已知乙同学的步行速度是甲同学的倍，求五洲湖环湖步道的总路程是多少？ 21. 如图，已知线段． （1）【探究新知】 ①在上取1个点，图中共有__________条线段； ②在上取2个点，图中共有__________条线段； ③在上取3个点，图中共有__________条线段； （2）【归纳结论】 在上取个点，共有条线段，试写出与的关系式：__________； （3）实际应用】 鲁南高铁与京沪高铁、济青高铁、青盐铁路共同构成山东省内的高铁环线，其中最先开通的日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站依次是：日照西→厉家寨→莒南北→临沂北→费县北蒙山→泗水南→曲阜东，那么要为这趟列车制作的车票一共有__________种． 22 小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． （1）若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； （2）小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； （3）在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 23. 嘉琪在商场买了一块机械手表，爱钻研的嘉琪发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． （1）已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； （2）在某个时刻，分针指向表盘上的数字“4”．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示．完成填空； ①时分针和时针夹角的度数_________； ②作射线，使，此时的度数_________； （3）如图4．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末学业水平质量调研试题 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，熟记概念是解题的关键，根据有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数是无理数，逐个判断即可. 【详解】解： 在，0，，，（两个1之间依次多一个2）中， 是分数，是有理数， 0是整数，是有理数， 是有限小数，可化为分数，是有理数， 是无理数，是无限不循环小数，是无理数， ∴ 有理数的个数为3个. 2. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与2 C. 2与 D. 2与 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义，两个数只有符号不同且和为0，分别计算各选项的值并判断． 【详解】解：A：，，∵与2符号不同，且，∴互为相反数，故此选项符合题意； B、，2=2，∵相同的数，不是相反数，故此选项不符合题意； C、2与，不是相反数，故此选项不符合题意； D、2与，∵，不是相反数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列问题中两个变量之间的关系不是反比例的是（ ） A. 某人参加赛跑时，时间t与跑步平均速度v之间的关系 B. 长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系 C. 圆的面积S与它的半径r之间的关系 D. 三角形的面积一定时，它的一边长y与这条边上的高x之间的关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个变量乘积为定值时，二者成反比例关系，据此逐一判定各选项即可． 【详解】解：选项A，路程为，可得，时间和平均速度乘积为定值，是反比例关系，不符合题意； 选项B，长方形面积一定，长方形面积满足，即，与乘积为定值，是反比例关系，不符合题意； 选项C，圆的面积公式为，与的乘积不是定值，因此与不是反比例关系，符合题意； 选项D，三角形面积一定，三角形面积满足，整理得，与乘积为定值，是反比例关系，不符合题意． 4. 下列现象对应的数学原理描述错误的是（ ） A. 流星划过夜空留下光迹——点动成线 B. 清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C. 长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D. 铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点动成线，线动成面，面动成体，理解和掌握点动成线，线动成面，面动成体是解决本题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定． 【详解】解：A．流星划过夜空留下光迹，反映的是“点动成线”，本选项正确，故不符合题意； B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面，反映的是“线动成面”，本选项正确，故不符合题意； C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体，反映的是“面动成体”，本选项正确，故不符合题意； D．铅笔在纸上写字留下笔画，反映的是点动成线，本选项错误，故符合题意； 故选：D． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 单项式的系数是 B. 单项式的系数为1，次数为0 C. 多项式的次数是6 D. 是整式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数以及整式的定义，需根据单项式的系数和次数、多项式的次数以及整式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、单项式 的系数为，而非，则A错误； B、单项式的次数为1，而非0，则B错误； C、多项式 即 ，各项次数分别为3和4，最高次为4，次数为4，而非6，则C错误； D、 为多项式，属于整式，则D正确， 故选：D． 6. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式变形时除数不能为0的前提条件是解题的关键． 根据等式的两条性质，逐一判断每个选项的变形是否满足乘除变形时除数不为0的前提条件，从而找出错误的变形． 【详解】解：∵若，等式两边同时乘，等式仍成立， ∴选项A：，故A项正确，不符合题意； ∵，即恒不为0， ∴若，两边同除以得，故B项正确，不符合题意； ∵若，当时，，此时和无意义， ∴选项C的变形不恒成立，故C项错误，符合题意， ∵隐含， ∴两边同乘得，故D项正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角的计算，把两个角重合的部分的那个角标为，用减去的度数求出的度数，再用减去的度数即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 用1套积木可拼8个正方体模型或24个长方体模型，2个正方体模型与6个长方体模型组成一个组合造型．现用42套积木拼搭，列出方程，则代表的实际意义是（ ） A. 拼正方体模型的积木套数 B. 拼长方体模型的积木套数 C. 正方体模型的总个数 D. 长方体模型的总个数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，方程左边表示2倍的长方体模型总个数，右边表示6倍的正方体模型总个数，结合组合造型所需数量关系，可推断x代表拼长方体模型的积木套数 【详解】解：设x为拼长方体模型的积木套数，则拼正方体模型的积木套数为， 每套积木拼长方体模型24个， 长方体模型总个数为 每套积木拼正方体模型8个， 正方体模型总个数为， 每个组合造型需2个正方体模型和6个长方体模型， 则为使正方体和长方体数量匹配组合比例，需满足：长方体模型总个数正方体模型总个数， 即 代表拼长方体模型的积木套数， 故选：B 9. 如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，点为线段的三等分点，求线段的长为（ ） A. 8或13 B. 3或8 C. 3或18 D. 13或18 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查线段中点的性质，线段和差的数量关系；根据是的中点，可得的值，根据点N为线段的三等分点分两种情况求解得的值，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点为线段的三等分点，线段， ∴当点N靠近点C的三等分点时，， ∴， 当点N靠近点B的三等分点时，， ∴，  故选：A ． 10. 1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如图所示，图中的数字为正方形编号，其中标注1，2的正方形边长分别为，．当时，第10个正方形的面积是（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式加减运算的应用．利用正方形的边长特点，用代数式表达出相关正方形的边长求解即可． 【详解】解：由题意可得：标注1，2的正方形边长分别为，， 标注3的正方形边长为：标注1正方形边长标注2正方形边长， 标注4的正方形边长为：标注3正方形边长标注2正方形边长， 标注5的正方形边长为：标注4正方形边长标注2正方形边长， 标注6的正方形边长为：标注5正方形边长标注2正方形边长标注1正方形边长， 标注7的正方形边长：标注6正方形边长标注1正方形边长， 标注10的正方形边长：标注7正方形边长标注1正方形边长标注3正方形边长， ∴第10个正方形的面积是：， 故选：C． 第Ⅱ卷 （非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 为践行“双碳”目标，2026年某城市新增光伏装机容量达280万千瓦，280万千瓦用科学记数法表示为__________千瓦． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．将280万千瓦转换为千瓦，由于1万，因此280万千瓦千瓦千瓦，再根据科学记数法的规则，将数字部分调整为1到10之间，指数相加. 【详解】解：280万千瓦千瓦千瓦， 故答案为： 12. 如图，把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，这样做蕴含的数学道理是___________． 【答案】两点之间线段最短 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，利用“两点之间线段最短”解释即可． 【详解】解：把弯曲的河道改直道，能够缩短航程，这样做蕴含的数学道理是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 13. 若与互为相反数，与互为倒数，则值是__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了相反数，倒数的定义，代数式求值，由a与b互为相反数，得，由c与d互为倒数，得．代入表达式计算即可． 【详解】解：与b互为相反数， ． 与d互为倒数， ． ． 故答案为：0 14. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，合并同类项等知识点，理解绝对值的性质是关键，根据数轴上的位置得，进而得，，然后求出绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 已知关于的方程有整数解，则非负整数的值是__________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，通过求解方程得到x的表达式，根据x为整数且k为非负整数，确定k的可能值． 【详解】解：， 移项得，即． 当时，． 由于x为整数，故为整数，即整除2．又k为非负整数， 故为1或2，解得或． 当时，即不符合题意， 故k的值为0或1， 故答案为：0或1． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的法则． （1）先进行同分母分数的加减，再进行异分母分数的加减； （2）先进行乘方运算，再按照有理数四则混合运算法则进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1； （2）分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 分母化为整数得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 18. 化简求值：，其中，满足． 【答案】，29． 【解析】 【分析】本题考查整式的化简与求值，解题的关键在于正确处理括号运算顺序，并利用平方与绝对值的非负性确定未知数的具体取值，最后代入计算．涉及括号的展开、合并同类项以及代数运算．同时给出的条件利用了平方和绝对值的非负性，可解出的具体数值，从而代入化简后的代数式进行计算．解题思路为：先化简原代数式，再根据条件求出的值，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， ． 由题意可知：，， 即，， 原式 ． 19. 教学楼的走廊主通道线段长为米．为筹备校园科技文化节，延长至点，使，用于布置“科技发明展”展区；延长至点，使，用于布置“科普手抄报区”． （1）请按上述要求补全图形； （2）用含的代数式表示文化节展区整体（）的长度； （3）若为的中点，且从到的距离为5米，求走廊主通道的实际长度． 【答案】（1）详见解析 （2）（米）； （3）走廊主通道的实际长度为米 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出图形，即可求解； （2）先求出，，再代入，即可求解； （3）根据E是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为补全的图形； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴（米）； 【小问3详解】 解：如图， ∵为的中点，且从到的距离为5米， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 【点睛】本题主要考查了线段的和与差，有关线段中点的计算，合并同类项，作线段，一元一次方程等知识点，根据题意，准确画出图形是解题的关键． 20. 临沂五洲湖有一圈环湖步道，甲同学从步道起点顺时针步行1小时还有千米才绕完一圈，乙同学按逆时针步行绕完一圈只用了48分钟，已知乙同学的步行速度是甲同学的倍，求五洲湖环湖步道的总路程是多少？ 【答案】五洲湖环湖步道的总路程是千米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设甲的速度为，则乙的速度为，根据甲同学从步道起点顺时针步行1小时还有千米才绕完一圈，乙同学按逆时针步行绕完一圈只用了48分钟列出方程求出x的值，再求路程即可． 【详解】解：设甲的速度为，则乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， 则五洲湖环湖步道的总路程是（千米）， 答：五洲湖环湖步道的总路程是千米． 21. 如图，已知线段． （1）【探究新知】 ①在上取1个点，图中共有__________条线段； ②在上取2个点，图中共有__________条线段； ③上取3个点，图中共有__________条线段； （2）【归纳结论】 在上取个点，共有条线段，试写出与的关系式：__________； （3）【实际应用】 鲁南高铁与京沪高铁、济青高铁、青盐铁路共同构成山东省内高铁环线，其中最先开通的日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站依次是：日照西→厉家寨→莒南北→临沂北→费县北蒙山→泗水南→曲阜东，那么要为这趟列车制作的车票一共有__________种． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的应用，有理数的运算及应用，图形类规律等知识点，找到规律是解决此题的关键， （1）根据要求作图依次查出线段的数量即可得解； （2）由（1）的线段数量与线段上取点个数，观察即可找到规律； （3）将站点看作取点个数，根据（2）的规律结合车票有往返之分解答即可． 【小问1详解】 解：①如图， 在上取1个点，图中有共条线段， ②如图， 在上取2个点，图中有共条线段， ③如图， 在上取3个点，图中有共条线段， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：由（1）知，可发现在上取个点，线段总数共有条线段， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站， ∴可以将日照和曲阜看作一条线段上的两个端点，在这条线段上取了6个点， ∴由（2）结论知，线段总数为， ∵车票有往返之分， ∴为这趟列车制作的车票一共有种， 故答案为：． 22. 小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． （1）若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； （2）小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； （3）在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】（1）100 （2）6 （3）方式二 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设游乐项目折扣为a折，用方式二付款160元，据此列出方程并解方程即可； （3）分别计算出两种方式费用，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 【小问2详解】 解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． 【小问3详解】 解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 23. 嘉琪在商场买了一块机械手表，爱钻研的嘉琪发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． （1）已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； （2）在某个时刻，分针指向表盘上的数字“4”．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示．完成填空； ①时分针和时针夹角的度数_________； ②作射线，使，此时的度数_________； （3）如图4．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【答案】（1）； （2）①；②或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由中点的含义可得，结合，可得，再利用线段的和差可得答案； （2）①分针的速度为每分钟；时针的速度为每分钟，20分钟时针走的路程为， 再进一步列式计算即可；②如图，作射线，使，结合角的和差与平角的含义可得答案； （3）设经过时间为t分钟，而时针与分针得速度差为，可得，结合是的角平分线，可得，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵B是中点， ∴ ， ∴； ∵； ∴ ； ∴； ∴， ∴即的长度为； 【小问2详解】 ①分针的速度为每分钟；时针的速度为每分钟， 20分钟时针走的路程为，即时针从6点到分走的路程为， ∵每个大格是，6时和4时相隔两个大格，则 ∴时分针和时针夹角的度数： ，即时分针和时针夹角的度数为； 故答案为：； ②如图；作射线，使 当在如图位置处时，则：； 当在如图位置处时，则：； 故答案为：或； 【小问3详解】 设经过时间为t分钟，而时针与分针的速度差为， ∴ ， ∵是的角平分线， ∴， ∴或， 解得或． ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 【点睛】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解题意是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $