第2章一元二次方程单元综合测试卷 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

第2章一元二次方程单元综合测试卷 一、单选题（每题3分.共计30分） 1.将一元二次方程3r=-2x+4 化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别 是() A.3,-3,4 B.3,2,2 C.3,2,-2 D.3,2,±2 2.关于x的方程m-2引2-5x-1=0是一元二次方程，那么m的值为《) A.2 B.-2 C.±2 D.+3 3.下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是() A.-2x+3=0B.r-3x+2=0 C.r2-2x-3=0 D.r+3r-2=0 4.已知x=3是一元二次方程2r-3mr+9=0 的一个解，则m的值为() A.-3 B.0 C.3或-3 D.3 5.如果”和是一元二次方程2×-8x-5=0的两个实数根，那么以下结论正确的是 () A.+=8 B.+6=-4 C.= 5 2 D. 2 6.某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品182台，设二、三月份平 均每月增长率为x,根据题意，可列出方程为() A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x+50(1+x2=182 C.50+50(1+x)2=182 D.50(1+x+50(1+x2-182 7.用配方法解一元二次方程”+8x-5=0,得到+)=P,则p的值为（) A.-5 B.5 C.-21 D.21 8.定义一种运算“☆”为：a☆6=(+1(b+,则x☆x+刊=0的解是《) 试卷第1页，共3页 A.t-0 B.x=-1 C.=0,5=-1 D.x=-山，出=-2 9.已知实数x满足+2+3j训3y+2+1川+-2z写0，那么实数八：的乘积为 () 1 √5-1 A.1 B.Z C.3 D.2 2+ax=b2(a>0,b>0) 10.在欧几里得的《几何原本》中，形如 的方程的图解法是如图 （1),分别以和b为直角边作R△ABC:∠ACB=90,再在斜边上截取BD-号，则 D的长就是所求方程的正根.若关于x的一元二次方程+2mr=36 按照图(1)构造 S△Bcn=5 图(2)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，连接CD,若S△AcD8,则m的值为() D B D 图1 图2 A.8 B.5 C.2.5 D.4 二、填空题（每题3分.共计18分） 1.在估算一元二次方程+2x-40 的根时，小晗列表如表： 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+2x-4 -1 -0.59 -0.16 0.29 0.76 x2+2x-4=0 由此可估算方程 的一个根x的范围是—一， 12.关于x的方程a(x+m+b= 的解是=-2，=4(0、b、m均为常数，a≠0 试卷第2页，共3页 ），则方程(x+m-2+b=0 解是 2x<4x-x 13.当，满足5x-6)>2-6时，方程2-2x-5=0的根是 14.甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一 直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米. 15.已知“，b,c为常数，点Pa,C在第四象限，则关于x的方程2+bc+c=0的根的 情况是 16.若关于x的方程2r2-2x+3a-4=0有实数根，化简V0-8a+16-2-a- 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.用公式法解方程： (1)x2+3x+1=0: (2)+4r=5 3xx+1)=3x+3 (3) 18.已知关于的一元二次方程mx+m-3=0 (1)若该方程有一个根为-2，求m的值； (2)求证：不论m为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 19.已知关于x的一元二次方程(-4-r+4=0 如果方程有两个不相等的实数根，求 k的取值范围. 20.已知关于的一元二次方程 2-4x-m2+3=0 (1)求证：此方程有两个不相等的实数根： (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根， 试卷第3页，共3页 21.先化简，再求值： 2a--2a+》,其中a是方程-3-1=0 的解， 22.请阅读下列材料： 向题：已知方程+x-l=0 ,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍. 解：设所求方程的根为y, y 则y=2x,所以x=2: 把x=号代入已知方程，得宁学+艺-1=0， 2 化简，得+2-4=0 故所求方程为 2+2y-4=0 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”· 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： x2-x-5=0 (1)已知方程 ,求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 相反数，请求出所求方程： (2②)已知方程ar+-3=0 -3 的两个根分别是和，尝试求出另一个方程 a2x+3}+2=31-b)的两个根. 23.王老师在讲完乘法公式a±=a±2ab+b 的多种运用后，要求同学们运用所学知识 求代数式x2+4x+5的最小值.同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5 =x2+4x+4+1 =(x+2)2+1 因为+2≥0.所以当=2时，《+2的最小值是0 所以x+22+1≥1. 所以当x+2=0时，《+2+ 的值最小，最小值是 试卷第4页，共3页 所以x2+4x+5的最小值是1. 依据上述方法，解决下列问题： (1)当x 时，x+52+7 有最小值是 2)多项式-x-4x+18 有最 填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值： △ABC 2+b2-2a=8b-17 (3)已知 的三边长“、众C都是正整数，且满足 求当=4时， △ABC的周长. 24.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某经销商销售 某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个， 且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率： (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1 元/个，则月销售量将减少10个. ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个 应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明. 试卷第5页，共3页 第2章一元二次方程单元综合测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要确定二次项系数，一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．一元二次方程的一般形式是∶（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先将方程化为一般形式 ，再确定系数． 【详解】解：， 原方程化为 ， 移项得 ， 二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为． 故选：C． 2．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 3．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 4．已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．0 C．3或 D．3 【答案】D 【分析】本题考查已知方程的解求方程中参数的值，将代入方程求解m即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 将代入得 解得 故选D． 5．如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 6．某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品182台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，设二、三月份平均每月增长率为x，一月份产量为50台，二月份产量为，三月份产量为，然后根据总产量为三者之和等于182即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 7．用配方法解一元二次方程，得到，则p的值为（   ） A． B．5 C． D．21 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，即通过配方将方程转化为完全平方的形式，进而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 配方得， 即， ∴， 故选：D． 8．定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算定义，将方程转化为代数式，得到一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】∵ ☆ ∴ ☆ ∴ ☆ ∴ ∴ 或 ∴ 或 故方程的解为， 故选：D． 9．已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，将式子变形为，则可得当时，等式成立，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当且仅当，，时，即时，等式成立， ∴， 故选：C． 10．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（   ） A．8 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可． 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根x的范围是． 故答案为：． 12．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 13．当满足时，方程的根是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解不等式组，再解一元二次方程，得到两个根，选择在范围内的根即可． 【详解】解： 由①得：  ， 解得 ， 由②得： ， ∴不等式组的解集为 ； 方程 ， ， ∴ ， ∵，而 ，不在范围内，舍去， ∴． 故答案为：． 14．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了______米． 【答案】24 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 15．已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 16．若关于的方程有实数根，化简___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，利用二次根式的性质化简，完全平方公式，解题关键是利用判别式确定的范围，然后根据范围化简绝对值．根据方程有实数根的条件，利用判别式求出的取值范围，再根据的范围结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ∴ ， ， ， ，， 原式． 故答案为：2． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （3）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：原方程整理得， ， ， ， 则，． 18．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求的值； (2)求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式是解题的关键； （1）把代入一元二次方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得； （2）解：由关于的一元二次方程可知： ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 19．已知关于x的一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得出， ，据此求出不等式的公共部分即可． 【详解】解：， 整理得， 该方程是关于的一元二次方程， ，解得， 又方程有两个不相等的实数根， ，即，解得， 综上，且． 故答案为：且． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 【答案】(1)见解析 (2)此方程的两个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴方程的两根分别为1和3， 即方程的两个根为，． 21．先化简，再求值：，其中 是方程 的解． 【答案】，3 【分析】本题考查的是整式的化简求值，一元二次方程的解，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，单项式乘多项式进行计算，然后合并同类项，将一元二次方程的解代入得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ， 是方程的解， ， ， ， 则原式． 22．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 23．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 【答案】(1)， (2)大，最值为 (3) 【分析】（）根据题例解答方法解答即可； （）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解； （）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可； 本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵对于任意实数都有， ∴当时，的最小值是， ∴， 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）解： ， ∵对于任意实数都有， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为， 故答案为：大； （3）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 24．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①55元；②不能实现，说明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：，， 当时，月销售量为个； 当时，月销售量为个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $