1.1.2函数的瞬时变化率与导数 课件-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

函数的瞬时变化率-导数 情景与问题 函数的瞬时变化率-导数 有一个长方体的木块放置在一个光滑的坡面上,让它自己滑落下来,这个过程中,木块的速度越来越快,那它的速度是怎么变化的呢？ 在某两个时刻之间的变化是一样的吗？此时我们就需要用到函数的瞬时变化率导数来进行解答 知识讲解 函数的瞬时变化率-导数 .一个函数,既可以描述运动过程,也可以描述其他过程或现象 .函数值之差与对应的自变量之差的比 既可以是运动物体在某个时段内的平均速度,也可以是其他过程中某个量变化的平均值,一般来说,它是函数在区间或者上的平均变化率 回顾上节课思考和解决问题的过程 .函数 作为运动方程时,若平均速度 在区间长趋近于时趋近于一个极限值,则这个数值就叫做该运动物体在处的瞬时速度. 一般地,若函数的平均变化率 在趋近于时， 函数的瞬时变化率-导数 有确定的有限值,则称这个值为该函数在处的 瞬时变化率 函数的瞬时变化率-导数 函数的瞬时变化率 导数的定义 定义: 设函数在包含的某个区间上有定义,在趋近于时,如果 比值 趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数 在处的导数或微商,记作 函数的瞬时变化率-导数 与的值有关,不同的其导数值一般也不同 与的具体取值无关 .瞬时变化率与导数是同一个概念的两个名称 函数的瞬时变化率 若函数在定义区间中任一点的导数都存在则也是的函数,我们把或叫作的导函数或一阶导数 或 或 函数的瞬时变化率-导数 若在定义区间中任一点处都可导 则它的导函数叫作的二阶导数,记作 类似的,可以定义函数的三阶导数,记作 函数的瞬时变化率-导数 投石入水,水面会产生圆形波纹区,且圆的面积随着波纹的传播半径的增大而增大,如图所示,计算: （1）半径从增大到时,圆面积相对于的平均变化率 （2）半径时,圆面积相对于的瞬时变化率 解:()圆面积相对于半径的平均变化率为 例 ()当趋近于,表达式,圆面积相对于的瞬时变化率为,恰为此时 圆的周长 函数的瞬时变化率-导数 在初速度为零的匀加速直线运动中,路程和时间的关系为 （1）求关于的瞬时变化率,并说明其物理意义 （2）求运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率,并说明其物理意义 时间瞬时变化率及其物理意义 例 函数的瞬时变化率-导数 物理意义 瞬时变化率 导数的定义 函数的瞬时变化率 在初速度为零的匀加速直线运动中,路程和时间的关系为 （1）求关于的瞬时变化率,并说明其物理意义 （2）求运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率,并说明其物理意义 解:(1)关于的瞬时变化率就是函数的导数,按定义计算: 函数的瞬时变化率-导数 当时,,因此 例 关于的的瞬时变化率就是运动物体的瞬时速度 函数的瞬时变化率 在初速度为零的匀加速直线运动中,路程和时间的关系为 （1）求关于的瞬时变化率,并说明其物理意义 （2）求运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率,并说明其物理意义 解:(2)运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率,实际上就是函数的导数按照定义计算: 函数的瞬时变化率-导数 当时,还是,所以 例 运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率就是运动物体的加速度 问题解决 总结 1.瞬时变化率:平均变化率在趋近于0时的极限值就是函数在处的瞬时变化率,就是函数在处的瞬时变化率 3.导函数、二阶导数、三阶导数的定义 函数的瞬时变化率-导数 2.导数的定义:设函数在包含的某个区间上有定义,在趋近于0时,如果比值 趋近于一个确定的极限值,则称此极限为函数在处的导数或微商,记作 谢谢观看 $