基础课3整式及因式分解2026年中考数学分层作业本

基础课3整式及因式分解 一、选择题 1.若|a+2|+ ，则  的值为（      ） A.6 B.2 C. 6 D. 2 1.D 【解析】∵|a+2|+ ，且|a+2|≥0， ≥0，∴|a+2|=0， =0，∴a 2，∴  2 =0，∴ 1，∴ 2. 2.下列运算正确的是（          ） A. B. C. D. 2.B 【解析】A．  与  不是同类二次根式，不能合并，故A选项不符合题意；B．  ，正确，故B选项符合题意；C．  ，原式错误，故C选项不符合题意；D．  ，原式错误，故D选项不符合题意． 3.下列计算，结果正确的是（         ） A．a6÷a2＝a4 B．(a＋b)2＝a2＋b2 C．(ab)3＝ab3 D．a2＋a3＝a5 3.A 【解析】a6÷a2＝a4，则选项A正确，符合题意；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，则选项B错误，不符合题意；(ab)3＝a3b3，则选项C错误，不符合题意；a2与a3不是同类项，无法合并，则选项D错误，不符合题意． 4.下列式子运算正确的是（          ） A. B. C. D. 4.D 【解析】A．  与  不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；B．  ，故B选项不符合题意；C．  ，故C选项不符合题意；D．  ，故D选项符合题意． 5.若  ，则  （          ） A．5 B．6 C．7 D．8 5.A 【解析】∵有  个  相加，表示为  ，∴  ，∴  解得  ． 6.下列计算正确的是（          ） A. B. C. D. 6.C 【解析】A.  与  不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；B.  ，故B选项错误，不符合题意；C.  ，故C选项正确，符合题意；D.  和  不是同类二次根式，不能合并，故D选项错误，不符合题意． 7.下列运算正确的是（         ） A. B. C. D. 7.B 【解析】∵  ，错误，故A不符合题意．∵  ，正确，∴B符合题意．∵  ，错误，∴C不符合题意．∵  ，错误，∴D不符合题意． 8.定义：x※ ．已知x﹣y＝1，x※y＝2，则xy2﹣x2y＝（      ） A．﹣ B． C．﹣2 D．2 8.B 【解析】∵x※ ，x※y＝2，∴ ，即 ，∵x﹣y＝1，∴y﹣x＝﹣1，代入 ，可得 ，xy＝﹣ ，xy2﹣x2y＝xy（y﹣x）＝﹣ ×（﹣1）＝ ． 9.对于非零的两个实数a，b，规定a⊗b＝a2b－4b，那么将a⊗2的结果因式分解正确的是(　　) A.b(a＋2)(a－2) B.2(a＋2)(a－2) C.(a＋2)(a－2) D.2(a2＋4) 9.B　 二、填空题 10.x的3倍与y的倒数的和用代数式表示为            ． 10.3x  【解析】∵x的3倍用代数式表示为3x，y的倒数用代数式表示为  ，∴x的3倍与y的倒数的和用代数式表示为3x  ． 11.一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是            元. 11.0.8a 【解析】一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是0.8a元. 12.已知代数式  的值为  ，则  的值是            ． 12.5 【解析】 ． 13.按一定规律排列的单项式：a，  a，  a，  a，  a，…，依此规律，第n个单项式是______． 13. 【解析】单项式的系数规律为  ，  ，  ，  ，…，则第n个单项式的系数为  ，指数始终不变，为1，故第n个单项式是  a. 14.写出一个含x的整式，该整式无论x取任意实数，一定大于0：            ． 14.x2＋1(答案不唯一)． 15.单项式  的次数是            ． 15. 【解析】单项式  的次数是  (次)． 16.单项式  的系数是            ． 16. 【解析】根据单项式系数的定义可知：  的系数是  ． 17.化简式子  的结果为            ． 17. 【解析】 ． 18.一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“凤鸣数”,若一个“凤鸣数”  ，且M能被3整除，则M的最大值为______． 18.3399 【解析】∵  是一个“凤鸣数”，∴3+a＝3+b，即a＝b，∴  ＝3000+300+10a+b＝3300+10a+a＝3300+11a，∵M能被3整除，∴11a能被3整除，∵a，b均不为0，∴a＝b＝3或6或9，∴M的最大值为3399． 19.分解因式：  __________． 19. 【解析】 ． 20.分解因式：a2-a=______. 20. 【解析】∵a2-a中两项的公因式为a，∴a2-a分解因式为a(a-1). 21.因式分解：              ． 21. 【解析】 ． 22.因式分解： =______. 22. 【解析】原式=2(b2-4b+4)=2(b-2)2. 三、解答题 23.化简：x(x+3y)-(x+y)2. 23.解：原式=x2+3xy-(x2+2xy+y2)  =x2+3xy-x2-2xy-y2  =xy-y2.  24.先化简，再求值：(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)，其中a= ，b=2. 24.解：原式＝4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2) ＝4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2 ＝4ab＋2b2 ∴原式＝4+8=12. 25.先化简，再求值：(x＋4)(x－4)＋(x－3)2，其中x2－3x＋1＝0. 25.解：原式＝x2－16＋x2－6x＋9 ＝2x2－6x－7 ＝2x2－6x＋2－9 ＝2(x2－3x＋1)－9， ∵x2－3x＋1＝0， ∴原式＝2×0－9＝－9. 【一题多解】原式＝x2－16＋x2－6x＋9 ＝2x2－6x－7 ＝2×(x2－3x)－7， ∵x2－3x＋1＝0， ∴x2－3x＝－1， ∴原式＝2×(－1)－7＝－9. 26.（1）计算： ； （2）小刚在化简代数式（x+1）2+x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1）时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式＝x2+2x+1+x2﹣2x﹣（x2﹣1）…第一步 ＝x2+2x+1+x2﹣2x﹣x2﹣1…第二步 ＝x2…第三步 ①小刚的解答过程是从第______步开始出错的； ②请写出正确的解答过程，并求出当x＝﹣1时代数式的值． 26.解：（1） ＝9+（﹣5）+1 ＝9﹣5+1 ＝5； （2）①二； ②原式＝x2+2x+1+x2﹣2x﹣（x2﹣1） ＝x2+2x+1+x2﹣2x﹣x2+1 ＝x2+2． 当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+2＝1+2＝3． 27.已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝ ，mn＝ . (1)求证：b2－12ac为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 27.(1)证明：证法一： 设3m＋n＝  ①，mn＝  ②， 给等式②两边同时乘3，得3mn＝  ③， 由①③可得，3m，n为方程ax2－bx＋3c＝0的两个根， ∵方程ax2－bx＋3c＝0有两个根，∴(－b)2－4a·3c≥0， ∴b2－12ac≥0，即b2－12ac为非负数； 证法二：∵3m＋n＝  ，mn＝  ，∴b＝a(3m＋n)，c＝amn. 则b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn ＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn ＝a2(9m2－6mn＋n2) ＝a2(3m－n)2. ∵a，m，n是实数，∴a2(3m－n)2≥0，∴b2－12ac为非负数； (2)解：m，n不可能都为整数． 理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有： ①m，n都为奇数； ②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当m，n都为奇数时，则3m＋n必为偶数． 又∵3m＋n＝  ，∴b＝a(3m＋n)． ∵a为奇数，∴a(3m＋n)必为偶数，这与b为奇数矛盾； ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数． 又∵mn＝  ，∴c＝amn. ∵a为奇数，∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾． 综上所述，m，n不可能都为整数． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 基础课3整式及因式分解 详解详析 一、选择题 1.D 【解析】∵|a+2|+ ，且|a+2|≥0， ≥0，∴|a+2|=0， =0，∴a 2，∴  2 =0，∴ 1，∴ 2. 2.B 【解析】A．  与  不是同类二次根式，不能合并，故A选项不符合题意；B．  ，正确，故B选项符合题意；C．  ，原式错误，故C选项不符合题意；D．  ，原式错误，故D选项不符合题意． 3.A 【解析】a6÷a2＝a4，则选项A正确，符合题意；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，则选项B错误，不符合题意；(ab)3＝a3b3，则选项C错误，不符合题意；a2与a3不是同类项，无法合并，则选项D错误，不符合题意． 4.D 【解析】A．  与  不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；B．  ，故B选项不符合题意；C．  ，故C选项不符合题意；D．  ，故D选项符合题意． 5.A 【解析】∵有  个  相加，表示为  ，∴  ，∴  解得  ． 6.C 【解析】A.  与  不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；B.  ，故B选项错误，不符合题意；C.  ，故C选项正确，符合题意；D.  和  不是同类二次根式，不能合并，故D选项错误，不符合题意． 7.B 【解析】∵  ，错误，故A不符合题意．∵  ，正确，∴B符合题意．∵  ，错误，∴C不符合题意．∵  ，错误，∴D不符合题意． 8.B 【解析】∵x※ ，x※y＝2，∴ ，即 ，∵x﹣y＝1，∴y﹣x＝﹣1，代入 ，可得 ，xy＝﹣ ，xy2﹣x2y＝xy（y﹣x）＝﹣ ×（﹣1）＝ ． 9.B　 二、填空题 10.3x  【解析】∵x的3倍用代数式表示为3x，y的倒数用代数式表示为  ，∴x的3倍与y的倒数的和用代数式表示为3x  ． 11.0.8a 【解析】一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是0.8a元. 12.5 【解析】 ． 13. 【解析】单项式的系数规律为  ，  ，  ，  ，…，则第n个单项式的系数为  ，指数始终不变，为1，故第n个单项式是  a. 14.x2＋1(答案不唯一)． 15. 【解析】单项式  的次数是  (次)． 16. 【解析】根据单项式系数的定义可知：  的系数是  ． 17. 【解析】 ． 18.3399 【解析】∵  是一个“凤鸣数”，∴3+a＝3+b，即a＝b，∴  ＝3000+300+10a+b＝3300+10a+a＝3300+11a，∵M能被3整除，∴11a能被3整除，∵a，b均不为0，∴a＝b＝3或6或9，∴M的最大值为3399． 19. 【解析】 ． 20. 【解析】∵a2-a中两项的公因式为a，∴a2-a分解因式为a(a-1). 21. 【解析】 ． 22. 【解析】原式=2(b2-4b+4)=2(b-2)2. 三、解答题 23.解：原式=x2+3xy-(x2+2xy+y2)  =x2+3xy-x2-2xy-y2  =xy-y2.  24.解：原式＝4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2) ＝4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2 ＝4ab＋2b2 ∴原式＝4+8=12. 25.解：原式＝x2－16＋x2－6x＋9 ＝2x2－6x－7 ＝2x2－6x＋2－9 ＝2(x2－3x＋1)－9， ∵x2－3x＋1＝0， ∴原式＝2×0－9＝－9. 【一题多解】原式＝x2－16＋x2－6x＋9 ＝2x2－6x－7 ＝2×(x2－3x)－7， ∵x2－3x＋1＝0， ∴x2－3x＝－1， ∴原式＝2×(－1)－7＝－9. 26.解：（1） ＝9+（﹣5）+1 ＝9﹣5+1 ＝5； （2）①二； ②原式＝x2+2x+1+x2﹣2x﹣（x2﹣1） ＝x2+2x+1+x2﹣2x﹣x2+1 ＝x2+2． 当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+2＝1+2＝3． 27.(1)证明：证法一： 设3m＋n＝  ①，mn＝  ②， 给等式②两边同时乘3，得3mn＝  ③， 由①③可得，3m，n为方程ax2－bx＋3c＝0的两个根， ∵方程ax2－bx＋3c＝0有两个根，∴(－b)2－4a·3c≥0， ∴b2－12ac≥0，即b2－12ac为非负数； 证法二：∵3m＋n＝  ，mn＝  ，∴b＝a(3m＋n)，c＝amn. 则b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn ＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn ＝a2(9m2－6mn＋n2) ＝a2(3m－n)2. ∵a，m，n是实数，∴a2(3m－n)2≥0，∴b2－12ac为非负数； (2)解：m，n不可能都为整数． 理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有： ①m，n都为奇数； ②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当m，n都为奇数时，则3m＋n必为偶数． 又∵3m＋n＝  ，∴b＝a(3m＋n)． ∵a为奇数，∴a(3m＋n)必为偶数，这与b为奇数矛盾； ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数． 又∵mn＝  ，∴c＝amn. ∵a为奇数，∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾． 综上所述，m，n不可能都为整数． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 基础课3整式及因式分解 一、选择题 1.若|a+2|+ ，则  的值为（      ） A.6 B.2 C. 6 D. 2 2.下列运算正确的是（          ） A. B. C. D. 3.下列计算，结果正确的是（         ） A．a6÷a2＝a4 B．(a＋b)2＝a2＋b2 C．(ab)3＝ab3 D．a2＋a3＝a5 4.下列式子运算正确的是（          ） A. B. C. D. 5.若  ，则  （          ） A．5 B．6 C．7 D．8 6.下列计算正确的是（          ） A. B. C. D. 7.下列运算正确的是（         ） A. B. C. D. 8.定义：x※ ．已知x﹣y＝1，x※y＝2，则xy2﹣x2y＝（      ） A．﹣ B． C．﹣2 D．2 9.对于非零的两个实数a，b，规定a⊗b＝a2b－4b，那么将a⊗2的结果因式分解正确的是(　　) A.b(a＋2)(a－2) B.2(a＋2)(a－2) C.(a＋2)(a－2) D.2(a2＋4) 二、填空题 10.x的3倍与y的倒数的和用代数式表示为            ． 11.一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是            元. 12.已知代数式  的值为  ，则  的值是            ． 13.按一定规律排列的单项式：a，  a，  a，  a，  a，…，依此规律，第n个单项式是______． 14.写出一个含x的整式，该整式无论x取任意实数，一定大于0：            ． 15.单项式  的次数是            ． 16.单项式  的系数是            ． 17.化简式子  的结果为            ． 18.一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“凤鸣数”,若一个“凤鸣数”  ，且M能被3整除，则M的最大值为______． 19.分解因式：  __________． 20.分解因式：a2-a=______. 21.因式分解：              ． 22.因式分解： =______. 三、解答题 23.化简：x(x+3y)-(x+y)2. 24.先化简，再求值：(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)，其中a= ，b=2. 25.先化简，再求值：(x＋4)(x－4)＋(x－3)2，其中x2－3x＋1＝0. 26.（1）计算： ； （2）小刚在化简代数式（x+1）2+x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1）时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式＝x2+2x+1+x2﹣2x﹣（x2﹣1）…第一步 ＝x2+2x+1+x2﹣2x﹣x2﹣1…第二步 ＝x2…第三步 ①小刚的解答过程是从第______步开始出错的； ②请写出正确的解答过程，并求出当x＝﹣1时代数式的值． 27.已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝ ，mn＝ . (1)求证：b2－12ac为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $