专题02：向量的数量积必考题型【13个常考题型归纳】讲义-2026学年高一数学下学期人教A版讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册2019必修第二册【原卷版】

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题02：向量的数量积必考题型】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 1．平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的认识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则： （1）||cosθ； （2）⇔0；（判定两向量垂直的充要条件） （3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||； 特别地：||2或||（用于计算向量的模） （4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） （5）||≤|||| 2、平面向量数量积的运算律 （1）交换律：； （2）数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）； （3）分配律：（）••（） 平面向量数量积的运算 平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2•2．②（）（）22．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 2．平面向量的投影向量 【知识点的认识】 投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解． 设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量． 向量在向量上的投影向量是． 3．数量积表示两个平面向量的夹角 【知识点的认识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/6 22:26:05；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：数量积求模长】 【练方法】 知识梳理 1.核心公式：，因此 2.拓展公式： 3.定义式：，可变形为（） 解题思路 1.若已知，直接开平方求 2.若已知，先平方展开，利用建立方程 3.若已知、和夹角，用定义式反解 名师点睛 求模长优先“平方”，将向量模长问题转化为数量积计算 注意展开式的符号，避免计算错误 若用基底表示，先计算再开方，步骤更清晰 （辽宁名校联盟2026届高三下学期3月开学数学试题）已知平面向量满足，且与的夹角为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积公式计算即得. 【详解】. （2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ）经典例题2例题 A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. （24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，.小试牛刀1 (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. （24-25高一下·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且.小试牛刀2 (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据条件求，再利用求向量的夹角. （2）根据列式求的值. 【详解】（1）因为， 所以 . 所以 ，又， 所以，即向量，的夹角为. （2）因为，所以， 所以 ， 所以或. （23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知，，．小试牛刀3 (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答； （2）利用向量的模相等，两边同时平方，由数量积的运算律求解的值. 【详解】（1）因，，， 则有，解得， 因此，而，于是得， 所以向量与的夹角. （2）由，则， 即，得，解得或. 【题型2：数量积求夹角】 【练方法】 知识梳理 1.夹角公式：，其中 2.夹角范围：同向；反向； 解题思路 1.计算、、 2.代入夹角公式求 3.由确定的大小 名师点睛 夹角公式是高考必考公式，需牢记分子是数量积，分母是模长乘积 注意的符号：为锐角；为钝角； 若，夹角为钝角，但需排除的情况 （2026高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____.经典例题1例题 【答案】/ 【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，所以， 所以，则， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． （25-26高一下·全国·课后作业）已知，是互相垂直的单位向量．若与的夹角为，求实数的值．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出的值. 【详解】因为， 所以，解得． （25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算、，再利用向量的夹角公式计算. 【详解】由题意得，，， 所以． 故选：D （2026高一下·全国·专题练习）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. （2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求，，，再结合向量夹角公式求结论. 【详解】， ， ， 所以． 故答案为：. 【题型3：数量积中的垂直关系】 【练方法】 知识梳理 1.垂直充要条件：（为非零向量） 2.几何意义：两向量垂直时，它们的数量积为0，反之亦然 3.零向量：零向量与任意向量垂直（定义） 解题思路 1.判定垂直：计算，若结果为0，则两向量垂直 2.已知垂直求参数：由列方程，解出参数值 3.证明垂直：将待证垂直的向量用已知向量表示，计算数量积为0 名师点睛 垂直充要条件是数量积最核心的应用，在几何证明中频繁使用 注意零向量的特殊性，判定时需先排除零向量情况 （25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____.经典例题1例题 【答案】 【分析】先根据向量点积公式计算出的值，再利用向量垂直的点积为这一性质，建立方程求解出实数. 【详解】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. （24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为，经典例题2例题 (1)求的值， (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可； （2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. （25-26高一下·全国·课后作业）设，，其中且．小试牛刀1 (1)求的值； (2)当为何值时，与互相垂直． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出向量的模. （2）利用数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示求解. 【详解】（1）由，得，则， 所以 （2）依题意，，，， 由与垂直，得， 即，所以． （25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，满足，且，，．小试牛刀2 (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）由已知得，再平方后由数量积的定义求解； （2）利用求得即可. 【详解】（1）， ，， ，即， ． 又， ， ，又，所以； （2）若，则， 即， ，， ∴存在使得与垂直． （25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，，求与的夹角大小．小试牛刀3 【答案】 【分析】通过向量垂直，数量积为0，列出等式，结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】， ． 即． ，， 设向量与的夹角为， ． ． 又． 与的夹角为． 【题型4：求投影/投影向量】 【练方法】 知识梳理 1.投影定义：在方向上的投影为，是一个数量 2.投影向量定义：在方向上的投影向量为，是一个与共线的向量 3.投影的几何意义：在所在直线上的射影长度（可正可负） 解题思路 1.求投影：直接代入公式计算 2.求投影向量：先求投影，再乘以（方向的单位向量） 3.已知投影求夹角：由，解出，再确定 名师点睛 投影是数量，投影向量是向量，二者不可混淆 投影的绝对值不超过，当时投影为，当时投影为 几何应用中，投影常转化为线段长度，结合图形性质求解 （2026·四川绵阳·模拟预测）已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ）经典例题1例题 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据三个平面向量，，两两的夹角进行分类讨论，结合投影向量的知识确定正确答案. 【详解】当三个平面向量，，两两夹角都为0时，显然在上的投影向量是. 当三个平面向量，，两两夹角都为时，因，所以， 则在上的投影向量为. （25-26高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，其对角线．求：经典例题2例题 (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用菱形对角线垂直平分及边长关系，结合向量数量积公式与夹角余弦值求解； （2）根据投影定义，直接代入向量模长和夹角余弦计算； （3）根据投影定义，直接代入向量模长和夹角余弦计算； 【详解】（1）根据菱形的性质得， 为直角三角形，且． ． （2）在上的投影的数量为． （3）在上的投影的数量为 ． （25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________.小试牛刀1 【答案】 【分析】由题可得是直角三角形，解三角形可得，由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，即. 所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且. 因为，即，所以，所以. 又向量方向上的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. （25-26高二下·浙江·开学考试）已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在上的投影向量为，再构建方程求解． 【详解】由为在上的投影向量， 则， 所以， 所以． （2026·云南·模拟预测）已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】由题意得，所以，即， 于是，又，. 故选：C 【B·能力提升题型】 【题型1：基底法求数量积】 【练方法】 知识梳理 1.基底定义：平面内不共线的两个向量可作为基底，任意向量可唯一表示为 2.数量积计算：若，，则 3.基底选择：优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等边三角形的两边、正方形的邻边） 解题思路 1.选基底：选择已知模长和夹角的不共线向量作为基底 2.表向量：将待求数量积的两个向量用基底表示出来 3.代公式：代入数量积展开式，利用已知的基底模长和夹角计算 4.求结果：化简得到数量积的值 名师点睛 基底法是解决几何图形中数量积的通用方法，无需建立坐标系 基底选择优先取夹角为、等特殊角的向量，简化计算 若，则，展开式更简洁 （25-26高三上·山东烟台·期末）已知菱形的边长为分别是的中点，，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底，分别表示出，，利用数量积的运算律求即可. 【详解】如图：    以为基底，则，. 又，， 所以 . 故选：B （25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则________.经典例题2例题 【答案】 【分析】先将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律计算. 【详解】已知，因此， 又因为在三角形中，，所以： ， 等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为， 则， ， 所以， 因此，. 故答案为：. （24-25高三上·北京海淀·月考）平行四边形中，，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________．小试牛刀1    【答案】 【分析】根据向量加减法、数乘的几何意义有 ，应用数量积的运算律展开，即可求值. 【详解】由题设，得如下示意图，，，又，，    所以 . 故答案为：. （2025高一·全国·专题练习）如图，在中，是的中点，点在边上，，与的交点为，若，，则______．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及三点共线结合数量积公式及运算律计算求解. 【详解】因为是的中点，所以． 因为，所以． 因为三点共线， 设， 因为三点共线， 则，解得，所以， ， 则． 故答案为：. （2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，，，则______．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质得到和的表达式，然后通过向量的数量积运算，将展开并进行化简，最终求出结果. 【详解】是的重心，，， 又，，， . 故答案为：. 【题型2：与动点有关的数量积最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心思想：将数量积表示为参数的函数，利用函数性质求最值 2.常见场景：动点在直线/线段上运动、向量含参数 3.工具：数量积定义、模长公式、三角函数值域、基本不等式 解题思路 1.表向量：将动点对应的向量用已知向量和参数表示（如） 2.算数量积：将表示后的向量代入数量积公式，展开化简为参数的函数 3.求范围：利用三角函数值域、基本不等式或函数单调性，求的取值范围 4.注意：参数的取值范围（如）会影响最终结果 名师点睛 优先用共线定理或系数和为1的条件消元，将多参数问题转化为单参数问题 若涉及模长，用展开，转化为数量积计算 注意参数的几何意义，避免最值超出可行域 （四川省部分学校2026届高三下学期综合素质模拟预测数学试题）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （24-25高一下·天津滨海新·期中）在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则_______，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为_______.经典例题2例题 【答案】 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：，． （2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示_____；若点为上一动点，则的最大值为_____．小试牛刀1 【答案】 【分析】（1），再根据向量之间的关系进行化简； （2）根据向量加法的三角形法则，得到，， 又，可得， 设，则，，     最后根据范围求解即可. 【详解】 因为，所以， ； 因为，， 又，即 可得， 设，则 ， ，     当时有最大值， 故答案为：；. （24-25高三上·天津·月考）已知菱形的边长为2，，点在边上，，设，，在上，若，则______，若为线段上的动点，则的最大值为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用平面向量的加减运算法则计算可求得，可求得；设，利用向量的数量积的运算律计算可求的最大值. 【详解】由题意可得， ，因为， 所以， 所以，又， 所以，所以； 设，所以， 又，所以 ， 当时，. 故答案为：；. （22-23高一下·重庆南岸·月考）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是________.小试牛刀3    【答案】 【分析】运用平面向量基本定理和数量积的定义，将表示为某变量的函数，进而求出取值范围即可. 【详解】因为， 所以，， 设， 则 ， ， 则 ， 对于，其开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 所以的取值范围是. 故答案为： 【题型3：几何图形中求模长/夹角问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具：数量积定义、夹角公式、模长公式 2.常见载体：三角形、平行四边形、菱形、矩形等平面几何图形 3.关键关联：将几何图形中的边、对角线转化为向量，利用数量积求解 解题思路 1.选基底：选择已知模长和夹角的向量作为基底（如等边三角形的两边） 2.表向量：将待求夹角/模长的向量用基底表示 3.算数量积：代入数量积公式计算 4.求夹角/模长：用夹角公式或模长公式求解，注意角的范围 名师点睛 几何图形中，优先利用图形性质（如等边三角形三边相等、菱形邻边相等）简化向量模长和夹角 若图形中有直角，优先将直角边作为基底，利用简化计算 注意区分“向量夹角”与“图形内角”，向量夹角是两向量起点重合时的角 （25-26高三上·天津河西·期中）在中，，，，且，，与交于点，则__________；__________.经典例题1例题 【答案】 / 【分析】先应用向量的数量积公式计算，再应用数量积的运算律计算求解；结合模长公式及向量夹角余弦公式计算求解. 【详解】在中，，，，所以， 又因为，， 所以， 所以 ； 因为与交于点，所以所成角等于所成角， 所以， ， 所以. 故答案为：；. （2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 ______（用，表示）；若，，且，则______.经典例题2例题 【答案】 / 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可用基底表示，首先用基底表示，再利用数量积公式，求，即可求解. 【详解】由条件可知， , 所以； 由，得， 得， 所以， 得，且，， 所以， 得,,所以. 故答案为： （22-23高三下·天津和平·月考）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.小试牛刀1 【答案】 【分析】由平行四边形的面积为，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为平行四边形的面积为， 所以，得， 如图，连接，则, 所以， 因为三点共线，所以，得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：，. （2022·天津滨海新·三模）如图，四边形中，，，，，．若是线段的动点，则________，则的最大值为________．小试牛刀2 【答案】 / 【分析】求得，，由可求得的值，结合平面向量数量积可求得；计算得出，计算出的值，设，即可求得的最大值. 【详解】因为四边形中，，，，则， ，， 因为， 即，可得， 因此，， ， 所以，， 设，则， 所以，的最大值为. 故答案为：；. （23-24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.小试牛刀3    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i），；（ii）3，；；. (2). 【分析】（1）（i）根据向量的线性运算即可求得；（ii）由向量数量积的性质及运算即可求得； （2）由数量积结合二次函数即可求得. 【详解】（1）（i）由点为的中点，点为的中点， 可得，； （ii）由，，， 则，， 可得 ； 由， 可得； 由， 可得； ； （2）， 设，由题意可知，， 由此得到， 由，，可得， 即的取值范围为. 【题型4：数量积求模长夹角的最值与范围问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具：（柯西不等式）， 2.常见转化：将模长或夹角表示为数量积的函数，利用不等式求范围 3.约束条件：， 解题思路 1.表关系：将模长或夹角用数量积表示（如，） 2.用不等式：利用或其他不等式（如基本不等式）建立范围 3.求范围：解不等式得到模长或夹角的取值范围，注意验证等号成立条件 名师点睛 柯西不等式是求最值的核心工具，等号成立当且仅当共线 夹角最值优先用的最值反推，注意的单调性 若用参数表示，先将表示为参数的函数，再求最值 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程有实根及向量的数量积求解即可. 【详解】因为关于的方程有实根， 所以， 因为，所以，，所以， 即与的夹角的取值范围是． 故选：B （25-26高三上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____.经典例题2例题 【答案】/ 【分析】由计算，代入数值计算得到二次函数，利用二次函数的图像求最小值. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，有最小值，所以的最小值为. 故答案为：. （25-26高三上·山东潍坊·月考）起点重合，，则的取值范围为________________小试牛刀1 【答案】 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案． 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得． 故答案为：． （2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________．小试牛刀2 【答案】 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. （25-26高三上·江苏泰州·期中）已知非零向量的夹角为且，当取最小值时，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由数量积的定义可得，利用数量积的运算律求得 ，即可求解. 【详解】令，则， 则 ，故当时，取最小值. 故选：B 【题型5：数量积求参数的范围与最值】 【练方法】 知识梳理 1.核心：将数量积表示为参数的函数，利用函数性质或不等式求范围/最值 2.常见场景：向量含参数，已知数量积的范围/最值，反求参数范围 解题思路 1.表数量积：将含参数的向量代入数量积公式，展开化简为参数的函数 2.列条件：根据已知的数量积范围/最值，列出不等式（如或） 3.解不等式：解不等式得到参数的范围/最值，验证等号成立条件 名师点睛 优先用共线定理或垂直条件列方程，将参数与数量积直接关联 若数量积含参数，注意参数对符号的影响 验证等号成立时的向量位置，确保符合几何约束 【多选题】（25-26高三上·湖北·期中）设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列结论中正确的是（    ）经典例题1例题 A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】设，结合二次函数的基本性质化简得出，逐项判断即可. 【详解】设，则恒成立， 当时，取得最小值， 此时， 化简得， 所以当确定，唯一确定，A对； 当确定时，的值不一定只有一个，B错； 当时，，解得，C对； 当时，因为，所以，故或，D错. 故选：AC. （24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量.经典例题2例题 (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解； （2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解． 【详解】（1）因为与均为单位向量，， 所以， 又， 所以， 又，所以． （2）因为，与的夹角为 与均为单位向量， 所以， 即，所以， 解得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为 （22-23高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D （22-23高二上·上海浦东新·月考）已知向量，且，则的取值范围是___________．小试牛刀2 【答案】 【分析】由两边等平方可得，设，消得，由方程有解可知，由此即可求出答案. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 设，则， 则， 化简得：， 方程有解，则， 化简得：， 当，， 所以， 所以不等式的解集为：. 故答案为：. （24-25高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量满足，，，若，则的最大值是______．小试牛刀3 【答案】1 【分析】先由平方得，整理得，即可求出的最大值. 【详解】由可得，即，整理得， 则，则的最大值是1，当且仅当时取最大值. 故答案为：1. 【C·拓展培优题型】 【题型1：奔驰定理与三角形“四心”】 【练方法】 知识梳理 1.奔驰定理：在内任取一点，有 2.重心：， 3.内心：（为的三边） 4.外心： 5.垂心： 解题思路 1.识别三角形内点，优先考虑奔驰定理 2.若已知点的向量表达式，与“四心”的向量性质对比，判断“心”的类型 3.利用“四心”的向量性质，结合数量积求解参数或证明结论 名师点睛 奔驰定理是三角形内点与向量关系的“万能钥匙”，可快速建立向量与面积的关系 重心的向量性质是高考热点，可直接套用 垂心的性质常与数量积结合，需用数量积定义验证 【多选题】（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. （22-23高三上·江西·月考）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值. 【详解】延长交于点P， 是的垂心，， ． 同理可得，． 又， ． 又， ． 不妨设，其中． ， ，解得． 当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉． 故，则，故C为锐角， ∴，解得， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题. （24-25高一下·河南安阳·期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答. 【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A （23-24高一下·甘肃兰州·期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心.小试牛刀2 【答案】内 【分析】利用平面向量的线性运算得到，再利用三角形内心的性质求解即可． 【详解】 ，， ， ， ，分别是，方向上的单位向量， 向量平分，即平分，同理平分， 为的内心， 故答案为：内 （24-25高一下·安徽·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 【题型2：与外心有关的数量积问题】 【练方法】 知识梳理 1.外心定义：三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，满足 2.核心性质：（为的内角） 3.常见结论：（为外心） 解题思路 1.利用外心的模相等性质，将数量积转化为模长和夹角的关系 2.结合三角形内角和与圆心角的关系，化简数量积表达式 3.利用等结论快速求解 名师点睛 外心问题中，优先将数量积转化为模长和圆心角的关系 注意圆心角是对应内角的两倍，避免角度混淆 若为外心，是高频结论，可直接套用 （2025高三·全国·专题练习）已知是的外心，若，则______．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】由，分别与向量点积，即可得到从而求出的值. 【详解】由，又是的外心， 得即 从而有 所以，． 故答案为：. （24-25高一下·辽宁大连·月考）在中，，若O为的外心，则的值为（   ）经典例题2例题 A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】连接，设分别是的中点，连接，根据垂径定理和向量投影即可计算. 【详解】 连接，设分别是的中点，连接， 因为，所以， 在上的投影为，， 同理在上的投影为，则， ， 故选：B． （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，已知，，若点为的外心，点满足，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】将用与表示出来，再利用外心的性质求出与，最后根据向量数量积的运算求出． 【详解】已知，即． 根据向量加法的三角形法则可得，将代入可得： 设为中点，因为点为的外心，则，即． 又因为． 由于，且，则． 已知，所以． 同理，设为中点，则． 因为，且，所以． 已知，所以． 将代入可得： 故选：A． （23-24高一下·天津·月考）已知是的外心，，，则的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，将原式两边平方得，由图形可知，、不能都是正数，利用三角代换，求函数的值域，即可判断选项. 【详解】如图，，所以， 因为，所以，，即， 如图可知，点在优弧上，所以、不能都是正数， 所以设，，，可得， 即. 故选：B. （23-24高一下·河北石家庄·月考）中，，，，O是的外心，若，则______.小试牛刀3 【答案】 【分析】由题意可知，O为外接圆的圆心，过O作，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值. 【详解】由题意可知，为的外心， 设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为， 因为 ，两边乘以，即， 的夹角为，而， 则，得①， 同理两边乘，即，， 则，得②， ①②联立解得，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于利用圆的性质以及数量积的运算律得到关于的方程组，由此即可顺利得解. 【题型3：极化恒等式有关的数量积问题】 【练方法】 知识梳理 1.极化恒等式： 2.几何意义：在三角形中，若为中点，则 3.应用场景：涉及中点、中线的数量积计算，可快速转化为模长差 解题思路 1.识别中点：若题目中出现中点、中线，优先考虑极化恒等式 2.转化：将数量积转化为模长差的形式 3.计算：利用已知的模长或几何条件计算模长差，再除以4得到数量积 名师点睛 极化恒等式是解决中点相关数量积的“神器”，可避免复杂的夹角计算 三角形中，（为中点）是最常用的推论 若为中点，的最值即为的最值 （25-26高三上·江西抚州·期末）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）经典例题1例题 A．1 B．4 C．9 D．15 【答案】D 【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】 . 故选：D. （25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. （25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________.小试牛刀1    【答案】 【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出最小值即可得. 【详解】连接，则 ， 由最小值为中以为底的高， 则， 经检验等号成立时满足题意.    故答案为：. 【多选题】（2025高三·全国·专题练习）（多选）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②．由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算．如图所示的四边形中，，，点为的中点，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据极化恒等式，代入数据求出，再根据求解即可. 【详解】因为，，由极化恒等式得 ， 所以． 又，所以，由极化恒等式得 ． 故选：AC （23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．小试牛刀3 (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可 （2）设，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于 的方程组，解出 ，再根据“极化恒等式”计算出的值 【详解】（1） （2）设 ，由（1）知 ，即 ① ,同理可得 ，即 ② 由①②解得 【题型4：数量积的综合题型】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体：与平面几何、函数最值、不等式、三角形“四心”等结合 2.核心思想：将综合问题拆解为“数量积计算→模长/夹角求解→最值/范围分析”的步骤 3.工具：数量积定义、夹角公式、模长公式、极化恒等式、奔驰定理等 解题思路 1.拆解问题：将综合问题分解为基础题型（如求数量积、求夹角、求最值） 2.选方法：根据题型选择对应的方法（如基底法、极化恒等式、奔驰定理） 3.分步求解：先计算数量积，再求模长/夹角，最后分析最值/范围 4.验证：验证结果是否符合几何约束和题目条件 名师点睛 综合题型的核心是“拆解”，将复杂问题转化为已知模型 优先用极化恒等式、奔驰定理等结论简化计算，避免繁琐的代数运算 注意几何图形的特殊性质（如中点、垂直、共线），这些往往是解题的突破口 （25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，分析可知为的中点，即可求出的长. 【详解】在中，，，，则， 因为， 则 ， 整理可得，解得或， 当时，则，此时点为的中点， 由题意可知点为线段与的交点，即点与点重合，不符合题意， 当时，，由题意可知，四边形为矩形， 因为为线段与的交点，则为的中点， 故， 故选：B. 【多选题】（25-26高三上·四川巴中·月考）《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（    ）经典例题2例题 A．与的夹角为 B． C．在方向上的投影向量为 D． 【答案】BCD 【分析】根据正八边形的性质和平面向量的共线、数量积、投影向量等知识逐项判断计算即可. 【详解】对于A： 与的夹角为与的夹角，即，A错误； 对于B： ，B正确； 对于C： 在方向上的投影向量为，C正确； 对于D： 因为正八边形的中心角为，所以，所以， 因为，所以，又， 所以，所以D正确. 故选：BCD. （2025高三·全国·专题练习）在中，为线段上的一点，满足，，，为上一点，且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积公式和向量的四则运算可得是的内心，根据内切圆的性质解出，再利用数量积公式和几何性质化简即可求解. 【详解】由可得， 所以， 又，即， 所以在的平分线上，所以是的内心， 如图所示，的内切圆与三边分别相切于点， 由题意可得，解得， 所以， 故选：B （2025高三·全国·专题练习）已知满足是线段上的动点，且的最小值是，求的面积．小试牛刀2 【答案】． 【分析】由，根据平行四边形法则可得且，设的中点为，，，利用极化恒等式即可求解. 【详解】由， 如图1，平行四边形的对角线与平行四边形的对角线共线， 故有． 在中，由余弦定理得，，则． 设的中点为，，，作于点，如图2， 则由极化定理得，得， 从而，， 所以． 【多选题】（24-25高一下·江苏南通·月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可. 【详解】对A：由是的重心可得， 所以，故A项错误； 对B：过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 对C：因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 对D：如图(2)，由于，可得， 所以，故D正确． 故选:BCD. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·云南昆明·期末）在中，为的中点，则（    ） A．0 B．16 C．40 D．32 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算得解. 【详解】在中，由，得，则， 由为的中点，得， 所以. 故选：D 2．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式求解. 【详解】由向量均为单位向量，且 ， 得，整理得， 即，所以. 故选：D 3．（2026·湖南湘潭·二模）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平面向量加减运算法则和数量积即可求解. 【详解】在平行四边形中，因为， 所以， 所以 故选： 4．（2023高三·全国·专题练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出、、的值，再根据向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】解析：因为，所以， 所以，即， 即，所以 又，， 所以， ， ， 所以. 故选：D. 5．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知平面向量和满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的公式求解即可. 【详解】由题设，在方向上的投影向量如下， 为. 故选：B 二、多选题 6．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【分析】如图，在菱形中，且，记，则，，再数形结合得到各项向量夹角即可． 【详解】如图，在菱形中，且，则三角形为等边三角形， 记，则，，且能保证成立， 易得和及和的夹角为，和的夹角为，和的夹角为． 故选：AB． 7．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 【答案】BC 【分析】利用向量的加法、减法法则作出图象，利用OC平分，得到四边形为菱形，对每一个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】对于A，因为平分，所以四边形为菱形， 不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为平分，所以四边形为菱形，所以， 又因为，，所以，所以B正确； 对于C，设与的交点为，如图， 向量在上的投影向量为， 向量在上的投影向量也为，所以C正确； 对于D，，，与不一定相等，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题 8．（25-26高三下·江西·开学考试）已知向量满足，则＝______，＝______． 【答案】 【详解】因为可得， 又＝6，得． 因为＝9，所以，即， 解得． 9．（25-26高一下·全国·课后作业）已知在边长为2的菱形中，．向量与的夹角为_____________． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质和向量夹角的概念求解. 【详解】因为为菱形，所以，又由得， 所以向量与的夹角为． 答案： 10．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面向量为单位向量，若，则___________． 【答案】 【分析】由平面向量为单位向量得到，将两边平方求得，则整理代入数值得解. 【详解】平面向量为单位向量，， ，，， ，，，， . 故答案为：. 11．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则__________. 【答案】 【分析】设，由向量定义可知，在的角平分线上，结合条件可得是边长为2的等边三角形，再由向量数量积的定义计算即可． 【详解】设，则在的角平分线上， ， ，即， 又为角平分线，所以， ， 即是边长为2的等边三角形，设为中点， 是外接圆的圆心， 在的角平分线上，且， ，， ． 故答案为：． 12．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则__________. 【答案】/ 【分析】由题意，两边同时平方，根据数量积公式，计算可得，再将所求式中的向量用表示，计算即得答案.. 【详解】由两边平方得：， 依题意，，则，解得， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则_______． 【答案】 【分析】先求得关于的线性表示，然后根据求解出的值，结合关于的线性表示以及数量积公式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 14．（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 【答案】14 【分析】如图，利用平面向量数量积的几何意义求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足分别为， 因为为三角形的外心，所以分别为的中点， 则. 故答案为：14 15．（25-26高三上·天津静海·月考）在边长为1的菱形中，，记，，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，三点共线.若，则用，表示_____；若，则的值为_____. 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算求出，设，设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】因为，所以， 所以； 设()，则， 设()，则， 又，，三点共线，则，得， 因为菱形的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理得， 解得或（舍去）．故． 故答案为：； 16．（25-26高三上·山东菏泽·开学考试）已知满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】根据结合数量积的运算律化简，将问题转化为一元二次不等式的恒成立问题进而求出，最后利用倍角公式即可. 【详解】由题意可知，对任意的实数恒成立， 即，即， 即， 即对任意的实数恒成立， 则，即，得， 因，则， 则. 故答案为： 17．（2025高一·全国·专题练习）已知边长为2的正内一点（包含边界）满足（其中为任意实数），则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性表示结合平面向量的数量积公式及运算律计算求解. 【详解】记线段靠近点的三等分点为，线段靠近点的三等分点为， 因为，所以点在线段上，， ． 因为点在线段上，所以， 所以． 故答案为：.    18．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.若，，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】利用向量模长的计算公式和基本不等式求解即可. 【详解】， ， 所以且， 故 因为，故， 且， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 19．（24-25高一下·天津和平·期末）在中，是线段中点，在边上，，与交于点，若，则__________ 【答案】/ 【分析】根据向量的线性运算和共线定理分别用表示，再根据向量数量积的运算律求解即可. 【详解】根据题意可知，，， 因为三点共线，所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以，解得，即， 又因为， 所以， 整理得， 所以， 故答案为： 四、解答题 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，求． 【答案】2 【分析】由已知得出，然后进行计算. 【详解】，，，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题02：向量的数量积必考题型】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 1．平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的认识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则： （1）||cosθ； （2）⇔0；（判定两向量垂直的充要条件） （3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||； 特别地：||2或||（用于计算向量的模） （4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） （5）||≤|||| 2、平面向量数量积的运算律 （1）交换律：； （2）数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）； （3）分配律：（）••（） 平面向量数量积的运算 平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2•2．②（）（）22．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 2．平面向量的投影向量 【知识点的认识】 投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解． 设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量． 向量在向量上的投影向量是． 3．数量积表示两个平面向量的夹角 【知识点的认识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/6 22:26:05；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：数量积求模长】 【练方法】 知识梳理 1.核心公式：，因此 2.拓展公式： 3.定义式：，可变形为（） 解题思路 1.若已知，直接开平方求 2.若已知，先平方展开，利用建立方程 3.若已知、和夹角，用定义式反解 名师点睛 求模长优先“平方”，将向量模长问题转化为数量积计算 注意展开式的符号，避免计算错误 若用基底表示，先计算再开方，步骤更清晰 （辽宁名校联盟2026届高三下学期3月开学数学试题）已知平面向量满足，且与的夹角为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ）经典例题2例题 A． B．36 C．或6 D．3或36 （24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，.小试牛刀1 (1)求，； (2)若，求实数t的值. （24-25高一下·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且.小试牛刀2 (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. （23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知，，．小试牛刀3 (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【题型2：数量积求夹角】 【练方法】 知识梳理 1.夹角公式：，其中 2.夹角范围：同向；反向； 解题思路 1.计算、、 2.代入夹角公式求 3.由确定的大小 名师点睛 夹角公式是高考必考公式，需牢记分子是数量积，分母是模长乘积 注意的符号：为锐角；为钝角； 若，夹角为钝角，但需排除的情况 （2026高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____.经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课后作业）已知，是互相垂直的单位向量．若与的夹角为，求实数的值．经典例题2例题 （25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026高一下·全国·专题练习）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____．小试牛刀3 【题型3：数量积中的垂直关系】 【练方法】 知识梳理 1.垂直充要条件：（为非零向量） 2.几何意义：两向量垂直时，它们的数量积为0，反之亦然 3.零向量：零向量与任意向量垂直（定义） 解题思路 1.判定垂直：计算，若结果为0，则两向量垂直 2.已知垂直求参数：由列方程，解出参数值 3.证明垂直：将待证垂直的向量用已知向量表示，计算数量积为0 名师点睛 垂直充要条件是数量积最核心的应用，在几何证明中频繁使用 注意零向量的特殊性，判定时需先排除零向量情况 （25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____.经典例题1例题 （24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为，经典例题2例题 (1)求的值， (2)若，求的值． （25-26高一下·全国·课后作业）设，，其中且．小试牛刀1 (1)求的值； (2)当为何值时，与互相垂直． （25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，满足，且，，．小试牛刀2 (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ （25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，，求与的夹角大小．小试牛刀3 【题型4：求投影/投影向量】 【练方法】 知识梳理 1.投影定义：在方向上的投影为，是一个数量 2.投影向量定义：在方向上的投影向量为，是一个与共线的向量 3.投影的几何意义：在所在直线上的射影长度（可正可负） 解题思路 1.求投影：直接代入公式计算 2.求投影向量：先求投影，再乘以（方向的单位向量） 3.已知投影求夹角：由，解出，再确定 名师点睛 投影是数量，投影向量是向量，二者不可混淆 投影的绝对值不超过，当时投影为，当时投影为 几何应用中，投影常转化为线段长度，结合图形性质求解 （2026·四川绵阳·模拟预测）已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ）经典例题1例题 A． B． C．或 D．或 （25-26高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，其对角线．求：经典例题2例题 (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． （25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________.小试牛刀1 （25-26高二下·浙江·开学考试）已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·云南·模拟预测）已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：基底法求数量积】 【练方法】 知识梳理 1.基底定义：平面内不共线的两个向量可作为基底，任意向量可唯一表示为 2.数量积计算：若，，则 3.基底选择：优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等边三角形的两边、正方形的邻边） 解题思路 1.选基底：选择已知模长和夹角的不共线向量作为基底 2.表向量：将待求数量积的两个向量用基底表示出来 3.代公式：代入数量积展开式，利用已知的基底模长和夹角计算 4.求结果：化简得到数量积的值 名师点睛 基底法是解决几何图形中数量积的通用方法，无需建立坐标系 基底选择优先取夹角为、等特殊角的向量，简化计算 若，则，展开式更简洁 （25-26高三上·山东烟台·期末）已知菱形的边长为分别是的中点，，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则________.经典例题2例题 （24-25高三上·北京海淀·月考）平行四边形中，，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________．小试牛刀1    （2025高一·全国·专题练习）如图，在中，是的中点，点在边上，，与的交点为，若，，则______．小试牛刀2 （2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，，，则______．小试牛刀3 【题型2：与动点有关的数量积最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心思想：将数量积表示为参数的函数，利用函数性质求最值 2.常见场景：动点在直线/线段上运动、向量含参数 3.工具：数量积定义、模长公式、三角函数值域、基本不等式 解题思路 1.表向量：将动点对应的向量用已知向量和参数表示（如） 2.算数量积：将表示后的向量代入数量积公式，展开化简为参数的函数 3.求范围：利用三角函数值域、基本不等式或函数单调性，求的取值范围 4.注意：参数的取值范围（如）会影响最终结果 名师点睛 优先用共线定理或系数和为1的条件消元，将多参数问题转化为单参数问题 若涉及模长，用展开，转化为数量积计算 注意参数的几何意义，避免最值超出可行域 （四川省部分学校2026届高三下学期综合素质模拟预测数学试题）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·天津滨海新·期中）在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则_______，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为_______.经典例题2例题 （2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示_____；若点为上一动点，则的最大值为_____．小试牛刀1 （24-25高三上·天津·月考）已知菱形的边长为2，，点在边上，，设，，在上，若，则______，若为线段上的动点，则的最大值为______．小试牛刀2 （22-23高一下·重庆南岸·月考）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是________.小试牛刀3    【题型3：几何图形中求模长/夹角问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具：数量积定义、夹角公式、模长公式 2.常见载体：三角形、平行四边形、菱形、矩形等平面几何图形 3.关键关联：将几何图形中的边、对角线转化为向量，利用数量积求解 解题思路 1.选基底：选择已知模长和夹角的向量作为基底（如等边三角形的两边） 2.表向量：将待求夹角/模长的向量用基底表示 3.算数量积：代入数量积公式计算 4.求夹角/模长：用夹角公式或模长公式求解，注意角的范围 名师点睛 几何图形中，优先利用图形性质（如等边三角形三边相等、菱形邻边相等）简化向量模长和夹角 若图形中有直角，优先将直角边作为基底，利用简化计算 注意区分“向量夹角”与“图形内角”，向量夹角是两向量起点重合时的角 （25-26高三上·天津河西·期中）在中，，，，且，，与交于点，则__________；__________.经典例题1例题 （2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 ______（用，表示）；若，，且，则______.经典例题2例题 （22-23高三下·天津和平·月考）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.小试牛刀1 （2022·天津滨海新·三模）如图，四边形中，，，，，．若是线段的动点，则________，则的最大值为________．小试牛刀2 （23-24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.小试牛刀3    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 【题型4：数量积求模长夹角的最值与范围问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具：（柯西不等式）， 2.常见转化：将模长或夹角表示为数量积的函数，利用不等式求范围 3.约束条件：， 解题思路 1.表关系：将模长或夹角用数量积表示（如，） 2.用不等式：利用或其他不等式（如基本不等式）建立范围 3.求范围：解不等式得到模长或夹角的取值范围，注意验证等号成立条件 名师点睛 柯西不等式是求最值的核心工具，等号成立当且仅当共线 夹角最值优先用的最值反推，注意的单调性 若用参数表示，先将表示为参数的函数，再求最值 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____.经典例题2例题 （25-26高三上·山东潍坊·月考）起点重合，，则的取值范围为________________小试牛刀1 （2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________．小试牛刀2 （25-26高三上·江苏泰州·期中）已知非零向量的夹角为且，当取最小值时，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：数量积求参数的范围与最值】 【练方法】 知识梳理 1.核心：将数量积表示为参数的函数，利用函数性质或不等式求范围/最值 2.常见场景：向量含参数，已知数量积的范围/最值，反求参数范围 解题思路 1.表数量积：将含参数的向量代入数量积公式，展开化简为参数的函数 2.列条件：根据已知的数量积范围/最值，列出不等式（如或） 3.解不等式：解不等式得到参数的范围/最值，验证等号成立条件 名师点睛 优先用共线定理或垂直条件列方程，将参数与数量积直接关联 若数量积含参数，注意参数对符号的影响 验证等号成立时的向量位置，确保符合几何约束 【多选题】（25-26高三上·湖北·期中）设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列结论中正确的是（    ）经典例题1例题 A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若，则 D．若，则 （24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量.经典例题2例题 (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. （22-23高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （22-23高二上·上海浦东新·月考）已知向量，且，则的取值范围是___________．小试牛刀2 （24-25高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量满足，，，若，则的最大值是______．小试牛刀3 【C·拓展培优题型】 【题型1：奔驰定理与三角形“四心”】 【练方法】 知识梳理 1.奔驰定理：在内任取一点，有 2.重心：， 3.内心：（为的三边） 4.外心： 5.垂心： 解题思路 1.识别三角形内点，优先考虑奔驰定理 2.若已知点的向量表达式，与“四心”的向量性质对比，判断“心”的类型 3.利用“四心”的向量性质，结合数量积求解参数或证明结论 名师点睛 奔驰定理是三角形内点与向量关系的“万能钥匙”，可快速建立向量与面积的关系 重心的向量性质是高考热点，可直接套用 垂心的性质常与数量积结合，需用数量积定义验证 【多选题】（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 （22-23高三上·江西·月考）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·河南安阳·期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一下·甘肃兰州·期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心.小试牛刀2 （24-25高一下·安徽·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________.小试牛刀3 【题型2：与外心有关的数量积问题】 【练方法】 知识梳理 1.外心定义：三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，满足 2.核心性质：（为的内角） 3.常见结论：（为外心） 解题思路 1.利用外心的模相等性质，将数量积转化为模长和夹角的关系 2.结合三角形内角和与圆心角的关系，化简数量积表达式 3.利用等结论快速求解 名师点睛 外心问题中，优先将数量积转化为模长和圆心角的关系 注意圆心角是对应内角的两倍，避免角度混淆 若为外心，是高频结论，可直接套用 （2025高三·全国·专题练习）已知是的外心，若，则______．经典例题1例题 （24-25高一下·辽宁大连·月考）在中，，若O为的外心，则的值为（   ）经典例题2例题 A．4 B．6 C． D． （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，已知，，若点为的外心，点满足，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．3 （23-24高一下·天津·月考）已知是的外心，，，则的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一下·河北石家庄·月考）中，，，，O是的外心，若，则______.小试牛刀3 【题型3：极化恒等式有关的数量积问题】 【练方法】 知识梳理 1.极化恒等式： 2.几何意义：在三角形中，若为中点，则 3.应用场景：涉及中点、中线的数量积计算，可快速转化为模长差 解题思路 1.识别中点：若题目中出现中点、中线，优先考虑极化恒等式 2.转化：将数量积转化为模长差的形式 3.计算：利用已知的模长或几何条件计算模长差，再除以4得到数量积 名师点睛 极化恒等式是解决中点相关数量积的“神器”，可避免复杂的夹角计算 三角形中，（为中点）是最常用的推论 若为中点，的最值即为的最值 （25-26高三上·江西抚州·期末）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）经典例题1例题 A．1 B．4 C．9 D．15 （25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________.小试牛刀1    【多选题】（2025高三·全国·专题练习）（多选）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②．由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算．如图所示的四边形中，，，点为的中点，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．小试牛刀3 (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 【题型4：数量积的综合题型】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体：与平面几何、函数最值、不等式、三角形“四心”等结合 2.核心思想：将综合问题拆解为“数量积计算→模长/夹角求解→最值/范围分析”的步骤 3.工具：数量积定义、夹角公式、模长公式、极化恒等式、奔驰定理等 解题思路 1.拆解问题：将综合问题分解为基础题型（如求数量积、求夹角、求最值） 2.选方法：根据题型选择对应的方法（如基底法、极化恒等式、奔驰定理） 3.分步求解：先计算数量积，再求模长/夹角，最后分析最值/范围 4.验证：验证结果是否符合几何约束和题目条件 名师点睛 综合题型的核心是“拆解”，将复杂问题转化为已知模型 优先用极化恒等式、奔驰定理等结论简化计算，避免繁琐的代数运算 注意几何图形的特殊性质（如中点、垂直、共线），这些往往是解题的突破口 （25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·四川巴中·月考）《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（    ）经典例题2例题 A．与的夹角为 B． C．在方向上的投影向量为 D． （2025高三·全国·专题练习）在中，为线段上的一点，满足，，，为上一点，且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知满足是线段上的动点，且的最小值是，求的面积．小试牛刀2 【多选题】（24-25高一下·江苏南通·月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·云南昆明·期末）在中，为的中点，则（    ） A．0 B．16 C．40 D．32 2．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南湘潭·二模）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023高三·全国·专题练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知平面向量和满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 三、填空题 8．（25-26高三下·江西·开学考试）已知向量满足，则＝______，＝______． 9．（25-26高一下·全国·课后作业）已知在边长为2的菱形中，．向量与的夹角为_____________． 10．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面向量为单位向量，若，则___________． 11．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则__________. 12．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则__________. 13．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则_______． 14．（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 15．（25-26高三上·天津静海·月考）在边长为1的菱形中，，记，，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，三点共线.若，则用，表示_____；若，则的值为_____. 16．（25-26高三上·山东菏泽·开学考试）已知满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则__________. 17．（2025高一·全国·专题练习）已知边长为2的正内一点（包含边界）满足（其中为任意实数），则的取值范围为______． 18．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.若，，则的最小值为_______. 19．（24-25高一下·天津和平·期末）在中，是线段中点，在边上，，与交于点，若，则__________ 四、解答题 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $