第二章 专题 追及相遇问题 导学案 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

　追及相遇问题 [学习目标]　 1.进一步熟练掌握匀变速直线运动公式的应用(重点)。 2.会分析追及相遇问题中物体速度、位移变化，会根据位移关系及速度关系列方程(难点)。 两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题。 一、一定可以追上的追及问题 例1　一辆汽车停在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以恒定加速度a＝3 m/s2开始行驶，恰在这时一人骑自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶过，从后面超过汽车。 (1)求汽车启动后追上自行车所用时间及追上时汽车的速度大小； (2)汽车启动后，在追上自行车前，两者的距离如何变化？追上自行车前距离最远时两者速度有什么关系？ (3)求汽车追上自行车前两者的最大距离。 答案　(1)4 s　12 m/s　(2)见解析　(3)6 m 解析　(1)汽车追上自行车时，两者位移相等， x汽＝x自，即at2＝v0t 将v0＝6 m/s，a＝3 m/s2代入，得t＝4 s 由v＝at得，追上时汽车的速度大小v＝12 m/s (2)当v汽<v自时两者距离在不断变大， 当v汽＝v自时两者距离最大， 当v汽>v自时两者距离逐渐变小，直至汽车追上并超过自行车。 即当两车速度相等时距离最远。 (3)由at0＝v0得t0＝＝2 s 由位移公式得： x汽'＝a×3×22 m＝6 m x自'＝v0t0＝6×2 m＝12 m Δx＝x自'－x汽'＝6 m。 拓展　画出例1情形中汽车和自行车的v－t图像，并由图像分析求解汽车追上自行车前两车的最大距离)以及汽车追上自行车时所用时间。 答案　v－t图像如图所示 汽车追上自行车前两车速度相等时两车的距离最大，由v－t图像可知Δx＝6 m；当汽车追上自行车时，两者的v－t图像与t轴围成的面积相等，t＝4 s。 例2　(2024·成都市高一期中)汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从B车刚刹车开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离； (2)汽车B运动的位移及A追上B所用的时间。 答案　(1)16 m　(2)25 m　8 s 解析　(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA 解得t＝3 s 此时汽车A的位移为xA＝vAt＝12 m 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m (2)根据题意可知，汽车B从开始匀减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s 运动的位移为xB'＝＝25 m 汽车A在t1时间内运动的位移为xA'＝vAt1＝20 m 此时两车相距Δx＝xB'＋x0－xA'＝12 m 汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s 故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s 1.对于一定可以追上的追及问题，常见的模型有： (1)匀加速追匀速 (2)匀加速追匀减速 (3)匀速追匀减速。 2.当速度相等时存在两者距离的最大值。 3.对于追匀减速的运动，我们应判断是在运动停止前相遇，还是在运动停止后相遇。 二、不一定追上的追及问题 例3　一辆客车从静止开始以a＝1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车， (1)判断乘客能否追上这辆客车？ (2)若不能，二者间的最小距离为多少？ 答案　见解析 解析　(1)法一：由临界条件知当v车＝v人时乘客如果能追上就可以追上 即at＝v人 解得t＝6 s x车＝at2＝×1×62 m＝18 m x人＝v人t＝6×6 m＝36 m 如图所示 x人<x车＋s 故追不上 法二：由位移关系v人t＝s＋at2， 即6t＝20＋t2 Δ＝36－4××20<0，无解 即追不上。 (2)最小距离Δx＝x车＋s－x人＝(18＋20－36) m＝2 m。 拓展　例3中若客车在自行车前s'＝10 m处。 (1)自行车能否追上客车？ (2)若能追上，经过多长时间二者相遇。 答案　(1)法一：由临界判断，at＝v人，解得t＝6 s x人＝v人t＝6×6 m＝36 m，x车＝at2＝18 m x人>x车＋s'，故可以追上 法二：判别式法： 由位移关系v人t＝s'＋at2 即6t＝t2＋10 Δ＝36－4××10>0，有两解 故相遇两次。 (2)由位移关系x人＝x车＋s' 即6t＝t2＋10 解得t1＝2 s，t2＝10 s 1.不一定追上的追及问题，常见的模型有： (1)匀速追匀加速 (2)匀减速追匀速 (3)匀减速追匀加速 (4)匀加速追匀加速 (5)匀减速追匀减速。 2.对于判断能否追上时，我们可以利用判别式法。 (1)Δ<0，追不上 (2)Δ＝0，相遇一次 (3)Δ>0，相遇两次。 *三、有条件限制的追及问题 例4　一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。 (1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？ (2)如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？(计算结果保留两位有效数字) 答案　见解析 解析　(1)t0＝3 min＝180 s，假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动，设追上汽车时，摩托车的速度为v。 由v汽t0＋1 000 m＝t0 代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s，超过了摩托车所能达到的最大速度，所以摩托车先做匀加速直线运动，速度达到最大值后做匀速直线运动。 (2)设摩托车加速时间为t1，加速度为a，3 min内摩托车恰好能追上汽车时，加速度最小， 则有at1＝v1＝30 m/s a＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1 000 m 代入数据得a≈0.56 m/s2。 特别提醒：如果车辆有最大速度的限制，要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。 分析追及相遇问题的解题技巧： (1)一个条件：即速度相等，它往往是物体间能够追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 (2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。 (3)常用解题方法有：临界分析法、数学解析法、v－t图像法。 专题强化练 [分值：70分] [1~4题，每题5分] 1.(2024·安康市高一期中)某次打捞中，打捞船顺水漂流，水流速度为4 m/s，发现在下游36 m处有同样顺水漂流的漂浮物，打捞船立即启动发动机，以2 m/s2的加速度向漂浮物运动，到达漂浮物处的时间为(　　) A.6 s B.9 s C.(2－2) s D.无法计算 答案　A 解析　设打捞船到达漂浮物处的时间为t，则有vt＋at2＝vt＋36 m，解得t＝6 s。故选A。 2.(2025·重庆市高一期中)运动员将足球以大小为9 m/s的速度踢出，足球沿草地以大小为1.5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，运动员在将足球踢出的同时以大小为6 m/s的速度匀速追赶足球。运动员追上足球所用的时间为(　　) A.2 s B.4 s C.6 s D.7 s 答案　B 解析　设足球的初速度为v0，运动员的速度为v，经时间t追上，满足方程 v0t－at2＝vt 代入数据解得t＝4 s 此时足球的速度为 v1＝v0－at＝3 m/s 还未停止运动，符合匀减速运动规律，运动员追上足球所需时间为4 s，故选B。 3.(2024·天津市高一期中)两个物体同时同地向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则前4 s内(　　) A.4 s末乙与甲相距最远 B.甲的平均速度等于乙的平均速度 C.2 s末乙追上甲 D.乙追上甲时距出发点20 m远 答案　B 解析　v－t图像与t轴所围的面积表示位移，则4 s内两物体位移相等，即4 s末乙追上甲相遇，乙追上甲时距出发点x＝v甲t＝40 m，选项A、D错误；4 s末两物体位移相等，则甲的平均速度等于乙的平均速度，选项B正确；2 s末两物体速度相等，此时两物体相距最远，选项C错误。 4.(多选)汽车甲停在一条平直路边，此时汽车乙从甲旁边经过，此后两辆汽车的速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A.汽车甲的加速度大于汽车乙的加速度 B.10 s时汽车甲追上了汽车乙 C.两车相遇前，两车间的最大距离为10 m D.两车相遇时汽车甲的位移为100 m 答案　ACD 解析　v－t图线的斜率表示加速度，可知汽车甲的加速度大于汽车乙的加速度，选项A正确；v－t图像与时间轴围成的面积表示位移，可知10 s时乙的位移大于甲的位移，因t＝0时两车在同一位置，所以10 s时汽车甲还没有追上汽车乙，选项B错误；10 s时两车共速，此时两车距离最大，则相遇前两车之间的最大距离为Δx＝×(2＋5)×10 m－×10×5 m＝10 m，选项C正确；由题图可知，甲、乙两车的加速度分别为a1＝ m/s2＝0.5 m/s2，a2＝ m/s2＝0.3 m/s2，设经过时间t两车相遇，则a1t2＝v0t＋a2t2，解得t＝20 s，两车相遇时汽车甲的位移为x＝a1t2＝100 m，选项D正确。 5.(9分)(来自教材)在平直的公路上，一辆小汽车前方26 m处有一辆大客车正以12 m/s的速度匀速前进，这时小汽车从静止出发以1 m/s2的加速度追赶。求： (1)(4分)小汽车何时追上大客车？追上时小汽车的速度有多大？ (2)(5分)追上前小汽车与大客车之间的最远距离是多少？ 答案　(1)26 s　26 m/s　(2)98 m 解析　(1)设小汽车追上大客车时所经历的时间为t1，则有v1t1＋26 m＝a， 代入数据解得t1＝26 s(t1'＝－2 s舍去) 小汽车追上大客车时的速度为 v2＝at1＝26 m/s。 (2)当小汽车与大客车的速度相等时，它们相距最远，此时小汽车的速度为12 m/s， 经历的时间为t2＝12 s， 则追上前小汽车与大客车之间的最远距离是 Δx＝26 m＋v1t2－a＝98 m。 [6~8题，每题6分] 6.(2024·深圳市高一月考)如图，甲车在平直公路上以速度v匀速行驶，当它经过停在路旁的乙车时，乙车立即从静止开始启动，做匀加速直线运动，经过t时间追上甲车。下列说法正确的是(　　) A.乙车加速运动的加速度大小为 B.乙车追上甲车时的速度大小为v C.从启动到追上甲车的过程中，乙车的平均速度为v D.乙车追上甲车前，两车的最大距离为vt 答案　C 解析　假设乙车追上甲车时速度大小为v1，则v1t＝vt，解得v1＝2v，B错误；乙车加速运动的加速度大小为a＝，A错误；从启动到追上甲车的过程中，乙车的平均速度为＝v，C正确；当乙车速度与甲车速度相等时，两车距离最大，可得两车的最大距离为s＝x甲－x乙＝v·vt，D错误。 7.(2024·深圳市高一期中)在平直的公路上，自行车和与其同方向行驶的汽车同时经过A点，自行车以v＝4 m/s速度做匀速运动，汽车以v0＝10 m/s的初速度、a＝0.25 m/s2的加速度刹车。自行车追上汽车所用时间应为(　　) A.46 s B.48 s C.50 s D.52 s 答案　C 解析　当汽车减速到零时所用的时间为t0＝ s＝40 s，此时汽车的位移为x1＝＝200 m，自行车的位移为x2＝vt0＝160 m<x1，故此时还没有追上汽车，自行车仍需要再运动t1才能追上汽车，则有t1＝＝10 s，故自行车追上汽车所用的总时间为t＝t0＋t1＝50 s。故选C。 8.(多选)(2024·济南市高一月考)在平直的公路上，一辆小汽车后方24 m处有一辆大客车正以13 m/s的速度匀速前进，这时小汽车以1 m/s2的加速度从静止启动，与大客车同向行驶。下列说法正确的是(　　) A.经过13 s两车速度相同 B.两车可相遇2次 C.两车速度相同时，间距为84.5 m D.小汽车运动8 s时，两车间距为72 m 答案　AB 解析　两车速度相同的时间为t0＝ s＝13 s，故A正确；两车相遇时有at2＋d＝vt，解得t1＝2 s，t2＝24 s，故两车可相遇2次，故B正确；两车速度相同时，间距为s1＝vt0－a－d＝(13×13－×1×132－24) m＝60.5 m，故C错误；小汽车运动8 s时，两车间距为s2＝vt3－a－d＝(13×8－×1×82－24) m＝48 m，故D错误。 9.(10分)高速公路上，一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上，另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度跟随其后并逐渐接近。大货车的制动性能较差，刹车时的加速度保持在4 m/s2，而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时能使小客车的加速度保持在8 m/s2。若前方大货车突然紧急刹车，SUV小客车司机的反应时间是0.5 s，为了避免发生追尾事故，货车和客车之间至少应保留多大的距离？ 答案　31 m 解析　在反应时间里客车做匀速运动的距离 x1＝v1t0＝32×0.5 m＝16 m 若客车恰好与货车不发生追尾事故，则速度相等是恰好避免追尾的条件；速度相等时 v1－a1(t－0.5 s)＝v2－a2t 客车刹车时的加速度大小a1＝8 m/s2， 货车刹车时的加速度大小a2＝4 m/s2， 代入数据得t＝4 s 设货车与客车之间的距离至少为s，则 s＋v2t－a2t2＝x1＋v1(t－0.5 s)－a1(t－0.5 s)2 代入数据得s＝31 m。 10.(13分)(2024·宿迁市高一期中)甲、乙两辆5G自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小v1＝72 km/h，乙车的速度大小v2＝36 km/h，如图所示。当甲、乙两车相距x0＝20 m时，甲车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2，从刹车时开始计时，两车均可看作质点。求： (1)(3分)甲车刹车至停止的时间； (2)(6分)两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离； (3)(4分)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间。 答案　(1)10 s　(2)45 m　(3)12 s 解析　v1＝72 km/h＝20 m/s， v2＝36 km/h＝10 m/s (1)设经过时间t0甲车停下来，根据运动学公式可得t0＝ s＝10 s (2)当两辆车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间t1两者速度相等， 则v1－at1＝v2，解得t1＝5 s 在t1时间内甲车位移为 x1＝t1＝75 m 乙车位移为x2＝v2t1＝50 m 两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离为Δx＝x0＋x1－x2＝(20＋75－50) m＝45 m (3)在t0时间内，甲车的位移x3＝t0＝100 m 乙车的位移为x4＝v2t0＝100 m 甲车速度刚减小到零时，甲、乙两车仍相距20 m，到两车并排乙车再运动的时间为t2＝＝2 s 从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间为 t＝t0＋t2＝12 s 学科网（北京）股份有限公司 $