专题10图形的旋转同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题10图形的旋转同步讲义 【题型01 判断生活中的旋转现象】.................................3 【题型02 判断由旋转而成的图案】.................................4 【题型03 找旋转中心.旋转角.对应点】..............................5 【题型04 根据旋转中心求解】.....................................6 【题型05 由旋转的性质说明线段或角相等】.........................7 【题型06 旋转中的规律性问题】...................................8 【题型07 求绕原点旋转90度的点坐标】...........................10 【题型08 求绕某点旋转90度的点坐标】...........................11 【题型09 求绕原点旋转一定角的点坐标】..........................12 【题型10 坐标与旋转规律问题】..................................13 【题型11 中心对称图形的识别.】..................................14 【题型12 在方格中补画中心对称图形】............................14 【题型13 成中心对称】..........................................15 【题型14 根据中心对称求面积.长度.角度】.........................16 【题型15 求关于原点对称的点的坐标】............................17 【题型16 已知两点关于原点对称求参数】..........................18 【解答题5题.】.................................................18 ★知识梳理★ 知识点01:旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内一个定点，按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 定点叫做旋转中心 转动的角叫做旋转角 原图形上的点与旋转后对应点，叫做对应点 知识点02:旋转的三要素 旋转中心 旋转方向（顺时针 / 逆时针） 旋转角 已知：△ABC 绕点 O 旋转得到 △A'B'C' 旋转中心：点 O（旋转过程中位置固定不变的点） 旋转方向：顺时针或逆时针（图中为绕点 O 顺时针 / 逆时针旋转） 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，如∠AOA′、∠BOB′、∠COC′，且 ∠AOA′=∠BOB′=∠COC′ 知识点03:旋转的基本性质 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 知识点04:作图要点 · 定：确定图形的关键点（顶点、端点）。 · 连：把每个关键点与旋转中心连接。 · 画：按旋转方向和旋转角，画出对应点。 · 连：顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 一句话口诀 步骤 几何作图语言 1. 定三要素 明确旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角为α。 2. 找关键点 选取△ABC的顶点A、B、C作为关键点。 3. 作对应点 ① 连接OA，以O为顶点，OA为一边，顺时针作∠AOA′=α，截取OA′=OA，得点A的对应点A′； ② 同理，作点B的对应点B′，点C的对应点C′。 4. 连点成形 顺次连接A′B′、B′C′、C′A′。 知识点05:常见易错点 1.旋转方向看错 只看角度，不看顺时针 / 逆时针，画出来完全相反。 2.旋转角找错 以为是图形夹角，其实是：对应点与旋转中心连线的夹角。 3.对应点到旋转中心距离不相等 画图时随手画，忽略：旋转不改变点到中心的距离。 4.旋转后图形形状、大小改变 误以为旋转会变形，实际：旋转前后图形全等。 5.作图漏步骤 不连关键点、不量角度、直接 “凭感觉画”。 【题型1.判断生活中的旋转现象】 【典例】数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 【跟踪专练1】钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 【跟踪专练2】对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【跟踪专练3】在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【题型2.判断由旋转而成的图案】 【典例】如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，进行了一次变换之后得到图形①②③④，其中通过轴对称得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【跟踪专练3】如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【题型3.找旋转中心.旋转角.对应点】 【典例】图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为______度，旋转后的风车能与自身重合． 【跟踪专练1】如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（P，N，Q都是格点，M是小正方形对角线的交点）（   ） A．点M B．点P C．点Q D．点N 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到____________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型4.根据旋转性质求解】 【典例】如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，此时点恰好在边上．若，，则______． 【跟踪专练1】在平面内将如图所示的图形绕其中心逆时针旋转后所得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是________． 【跟踪专练3】如图，是等腰直角三角形，是过点的直线，，，垂足分别为，，则通过下列变换能与重合的是（    ） A．绕点逆时针旋转 B．沿的垂直平分线翻折 C．绕的中点顺时针旋转 D．沿方向平移 【题型5.由旋转的性质说明线段或角相等】 【典例】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，若∠BAC＝85°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则旋转角∠BAD的度数为 ________ ． 【跟踪专练1】如图，三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于，得到三角形，那么下列说法错误的是（    ）．    A．平分 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为_______． 【跟踪专练3】已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转（点不与，重合）时，给出以下5个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述结论始终正确的有(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型6.旋转中的规律性问题】 【典例】如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【跟踪专练3】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型7.求绕原点旋转90度的点坐标】 【典例】如图，将绕点顺时针旋转90°得到，则点的对应点的坐标为______．    【跟踪专练1】如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以点O为旋转中心将点逆时针旋转后，它的对应点的坐标是________． 【跟踪专练3】如图，线段在平面直角坐标系内，点的坐标为，线段绕原点逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【题型8.求绕某点旋转90度的点坐标】 【典例】如图，若将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是__________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 __________ ． 【跟踪专练3】如图，已知点，，将线段绕点M 逆时针旋转到，点A与是对应点，点B 与是对应点，则点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型9.求绕原点旋转一定角的点坐标】 【典例】将点绕坐标原点旋转，则点的对应点坐标为______． 【跟踪专练1】如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为______． 【跟踪专练3】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型10.坐标与旋转规律问题】 【典例】如图，把正方形铁片OACB置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2022次后，则点的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段，又将线段绕点O按顺时针方向旋转长度伸长为的2倍，得到线段，如此进行下去，得到线段（n为正整数），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知点，将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转241次，点A依次落在点，，，…，的位置，则的坐标是______． 【跟踪专练3】将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． ..C． D． 【题型11.中心对称图形的识别】 【典例】在美术字中，有些汉字是中心对称图形．请列举3个是中心对称图形的汉字：_____． 【跟踪专练1】在下列新能源汽车的车标中，不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 【跟踪专练3】在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A． B． C． D． 【题型12.在方格中补画中心对称图形】 【典例】如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为______________． 【跟踪专练1】如图是由8个正方形组成的网格，现嘉嘉想再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是（    ） A．只有② B．只有③ C．①或③ D．③或④ 【跟踪专练2】如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 【跟踪专练3】如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【题型13.成中心对称】 【典例】如图所示，与关于O成中心对称，那么__， __， __，点A、O与__三点在同一直线上，__三点在同一直线上，____三点在同一直线上．    【跟踪专练1】将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． .C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 【跟踪专练3】推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 【题型14.根据中心对称求面积.长度.角度】 【典例】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则____________，____________．    【跟踪专练1】如图，，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称如果，那么图中所示的封闭图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为______． 【跟踪专练3】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 【题型15.求关于原点对称的点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_____． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，线段的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，、的坐标分别是，，将线段绕点顺时针旋转后得到．则点关于原点的对称点的坐标是_________．    【题型16.已知两点关于原点对称求参数】 【典例】在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则_______． 【跟踪专练1】若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D．7 【跟踪专练2】已知点和点关于原点对称，则______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解答题】 1．（1）解方程：， （2）如图，绕点A旋转得到．点D在边上，，求的长． 2．在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系的各顶点在网格线的交点处． (1)画出将绕原点顺时针旋转后得到的； (2)画出关于原点成中心对称的，并分别写出点的坐标． 3．如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a、b满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问旋转多少秒时，射线、射线第一次互相垂直． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线第一次到达之前，当射线、射线互相平行时，直接写出射线转动的时间． 4．【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 5．在如图所示的正方形网格中，和的顶点均在格点上，易证，可经过一次旋转后与完全重合． (1)请你在图形中确定旋转中心的位置； (2)请直接写出旋转角（）的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10图形的旋转同步讲义 【题型01 判断生活中的旋转现象】.................................3 【题型02 判断由旋转而成的图案】.................................5 【题型03 找旋转中心.旋转角.对应点】..............................7 【题型04 根据旋转中心求解】....................................10 【题型05 由旋转的性质说明线段或角相等】........................12 【题型06 旋转中的规律性问题】..................................17 【题型07 求绕原点旋转90度的点坐标】...........................20 【题型08 求绕某点旋转90度的点坐标】...........................23 【题型09 求绕原点旋转一定角的点坐标】..........................27 【题型10 坐标与旋转规律问题】..................................30 【题型11 中心对称图形的识别.】..................................34 【题型12 在方格中补画中心对称图形】............................36 【题型13 成中心对称】..........................................38 【题型14 根据中心对称求面积.长度.角度】.........................40 【题型15 求关于原点对称的点的坐标】............................43 【题型16 已知两点关于原点对称求参数】..........................46 【解答题5题.】.................................................47 ★知识梳理★ 知识点01:旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内一个定点，按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 定点叫做旋转中心 转动的角叫做旋转角 原图形上的点与旋转后对应点，叫做对应点 知识点02:旋转的三要素 旋转中心 旋转方向（顺时针 / 逆时针） 旋转角 已知：△ABC 绕点 O 旋转得到 △A'B'C' 旋转中心：点 O（旋转过程中位置固定不变的点） 旋转方向：顺时针或逆时针（图中为绕点 O 顺时针 / 逆时针旋转） 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，如∠AOA′、∠BOB′、∠COC′，且 ∠AOA′=∠BOB′=∠COC′ 知识点03:旋转的基本性质 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 知识点04:作图要点 · 定：确定图形的关键点（顶点、端点）。 · 连：把每个关键点与旋转中心连接。 · 画：按旋转方向和旋转角，画出对应点。 · 连：顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 一句话口诀 一定点、二连线、三画角、四连图 步骤 几何作图语言 1. 定三要素 明确旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角为α。 2. 找关键点 选取△ABC的顶点A、B、C作为关键点。 3. 作对应点 ① 连接OA，以O为顶点，OA为一边，顺时针作∠AOA′=α，截取OA′=OA，得点A的对应点A′； ② 同理，作点B的对应点B′，点C的对应点C′。 4. 连点成形 顺次连接A′B′、B′C′、C′A′。 知识点05:常见易错点 1.旋转方向看错 只看角度，不看顺时针 / 逆时针，画出来完全相反。 2.旋转角找错 以为是图形夹角，其实是：对应点与旋转中心连线的夹角。 3.对应点到旋转中心距离不相等 画图时随手画，忽略：旋转不改变点到中心的距离。 4.旋转后图形形状、大小改变 误以为旋转会变形，实际：旋转前后图形全等。 5.作图漏步骤 不连关键点、不量角度、直接 “凭感觉画”。 【题型1.判断生活中的旋转现象】 【典例】数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【分析】题目主要考查旋转的定义，旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，据此依次判断即可． 【详解】解：旋转的定义是物体绕一个固定点或轴做圆周运动， A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心； B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移； C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移； D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，属于旋转； 故选：D． 【跟踪专练1】钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 【跟踪专练2】对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 【跟踪专练3】在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 【题型2.判断由旋转而成的图案】 【典例】如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，进行了一次变换之后得到图形①②③④，其中通过轴对称得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】此题考查轴对称的性质，旋转的性质，根据图形之间位置的变化依次判断变换方法，即可得到答案． 【详解】解：①由轴对称变换得到； ②由平移得到； ③由旋转得到； ④由顺时针旋转得到． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、旋转，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 平移变换是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，据此可判断给出的图形中哪些图可由平移变换得到； 旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点按同一方向，转动同一个角度，据此可判断给出的图形中哪些图可由旋转变换得到； 最后，根据上面判断的结果，找出符合平移变换、旋转变换的图形填空即可． 【详解】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：. 故答案为:． 【跟踪专练3】如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 【题型3.找旋转中心.旋转角.对应点】 【典例】图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为______度，旋转后的风车能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了4份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴绕着它的中心旋转，旋转角至少，旋转后的风车能与自身重合， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（P，N，Q都是格点，M是小正方形对角线的交点）（   ） A．点M B．点P C．点Q D．点N 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且夹角都是， 因此格点N就是所求的旋转中心． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到____________． 【答案】. 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，据此作图确定旋转中心，然后直接读出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作线段、线段的垂直平分线，相交于点， 则点即为旋转中心． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 本题考查了旋转的性质，旋转中心的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上， 根据坐标特点，得到中心一定在y轴上， 根据旋转的全等性，发现到对应点的距离相等， 故旋转中心为． 故选：C． 【题型4.根据旋转性质求解】 【典例】如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，此时点恰好在边上．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得，再根据可得结论．解题的关键是掌握：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转一定角度得到，此时点恰好在边上，且，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面内将如图所示的图形绕其中心逆时针旋转后所得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形完全重合，图案绕中心旋转180°后，得到的图案是D． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是________． 【答案】点 【分析】本题考查了旋转的定义和旋转中心的判定，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 观察图形，由旋转的性质即可得到答案． 【详解】解：根据旋转的定义，结合图形上的对应点到点的距离相等， ∴旋转中心为点， 故答案为：点． 【跟踪专练3】如图，是等腰直角三角形，是过点的直线，，，垂足分别为，，则通过下列变换能与重合的是（    ） A．绕点逆时针旋转 B．沿的垂直平分线翻折 C．绕的中点顺时针旋转 D．沿方向平移 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形的旋转翻折平移变换知识点，掌握全等三角形的判定方法和图形变换的性质是解题的关键． 先利用等腰直角三角形的性质和垂直条件证明，再逐一分析每个选项的变换是否能使与重合，判断每个选项是否符合题意． 【详解】解：是等腰直角三角形，是过点的直线，，， ，， ， ， ， ，． A．绕点逆时针旋转后，与不重合，即与不重合，故选项A不符合题意； B．与不关于的垂直平分线对称，则沿的垂直平分线翻折后与不重合，故选项B不符合题意； C．是等腰直角三角形，，绕中点顺时针旋转，则与重合，故选项C符合题意； D．先沿方向平移，使点与点重合后，与不重合，故选项D不符合题意． 故选：C． 【题型5.由旋转的性质说明线段或角相等】 【典例】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，若∠BAC＝85°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则旋转角∠BAD的度数为 ________ ． 【答案】65°/65度 【分析】由旋转的性质得∠C=∠E= 70°，∠BAC=∠DAE＝85°，再由直角三角形的性质得∠CAF= 90°－∠C= 20°，即可得到结论． 【详解】解：设AD与BC的交点为F，如图所示： ∵△ABC绕点A 逆时针旋转得到△ADE， ∴∠C=∠E= 70°， ∠BAC=∠DAE= 85°， ∵AD⊥BC， ∴∠AFC= 90°， ∴∠CAF= 90°－∠C= 90°－70°= 20°， ∴∠CAE=∠DAE－∠EAC = 85°－ 20°= 65°， 即旋转角的度数为65°， 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于，得到三角形，那么下列说法错误的是（    ）．    A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到，，，即可对选项进行判断． 【详解】解：∵三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于， ∴的对应边为，的对应边为， ∴，，， ∴平分， 通过已知条件不能得出， 所以A，B，D选项正确，C选项不正确． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 【跟踪专练2】如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，转化思想，理解题意是解本题的关键．首先通过证明得到，再根据垂线段最短将最小值转化为点到的距离，最后利用面积法计算即可． 【详解】解：，， ， ∵是的外角， ∴， 由旋转可知：，， ， 在和中， ， ， ，则当时，最小，即最小， ，，，， 点到的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转（点不与，重合）时，给出以下5个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述结论始终正确的有(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】①证明得，当点E不是的中点时，，由此判断①； ②由全等三角形性质得，，，则为等腰直角三角形，判断②； ③由，得，进而得，可判断③； ④根据等腰直角三角形的性质，，根据随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，从而判断④； ⑤当不是的平分线时，，此时，由此判断⑤． 【详解】①∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点P为BC的中点， ∴，， ∵是直角， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴， 当点E不是的中点时，， 故①错误； ②∵，， ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④根据等腰直角三角形的性质，， 所以，随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，， 故④错误； ⑤∵，AB＝AC， ∴， 当不是的平分线时，， 此时， 故⑤错误； 故②③正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键． 【题型6.旋转中的规律性问题】 【典例】如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向． 【详解】解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置． 【跟踪专练1】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 【详解】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 【跟踪专练2】有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可． 【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置， ∵2021÷4=505余1， ∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键． 【跟踪专练3】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 【题型7.求绕原点旋转90度的点坐标】 【典例】如图，将绕点顺时针旋转90°得到，则点的对应点的坐标为______．    【答案】 【分析】先画出将绕点顺时针旋转90°得到，再根据的位置可得其坐标． 【详解】解：将绕点顺时针旋转90°得到如图所示，   . ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是绕原点旋转后的点的坐标，熟记旋转的性质并画图解决问题是关键． 【跟踪专练1】如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，坐标变换公式，掌握平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的坐标变换规律是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证，求得，再根据点在第一象限即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由， 线段绕点逆时针旋转得到， ， ， 在中，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 点在第一象限， 点的坐标为， 故答案为：B． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以点O为旋转中心将点逆时针旋转后，它的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．如图：过点P作轴于点G，过点Q作轴于点H，再证明三角形全等即可解答． 【详解】解：如图：过点P作轴于点G，过点Q作轴于点H， 由旋转性质得，， ∴， ∵轴于点G，轴于点H， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵点， ∴． ∵点Q在第三象限， ∴点Q的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，线段在平面直角坐标系内，点的坐标为，线段绕原点逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，逆时针旋转作出，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为，证明，根据点坐标为，写出，，则，，即可写出点的坐标． 【详解】解：如图，逆时针旋转作出，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，证明是解答本题的关键． 【题型8.求绕某点旋转90度的点坐标】 【典例】如图，若将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，写出点的坐标，根据题意画出，结合坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的旋转变换．利用网格特点，作和的垂直平分线，它们相交于点，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，可由绕点顺时针旋转得到，所以旋转中心的坐标为．    故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 __________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点A的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知点，，将线段绕点M 逆时针旋转到，点A与是对应点，点B 与是对应点，则点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，旋转变换，根据“对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心”作图即可． 【详解】解：如图，连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，交点即为点M，旋转中心M即为所求． 由图可得点M的坐标是． 故选：C． 【题型9.求绕原点旋转一定角的点坐标】 【典例】将点绕坐标原点旋转，则点的对应点坐标为______． 【答案】 【分析】将点绕坐标原点旋转，即点关于原点对称，则点坐标与对应点坐标的横纵坐标互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，点坐标与对应点坐标的横纵坐标变为相反数， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查求绕原点旋转一定角度的点的坐标，理解点关于原点对称的特点是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知旋转中心的坐标为，根据中点坐标公式的计算方法即可求解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， ∴，，解得，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法，即点，点，则的中点坐标公式为． 【跟踪专练2】某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质．根据题意求得点的坐标为，，再根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：由题意得点C的坐标为，且， 将各点的横、纵坐标都乘以2后，得到点的坐标为，即，且，， 将所得图形绕原点顺时针旋转，得到点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练3】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质．先根据旋转性质确定线段长度与角度关系，再构造等腰直角三角形，利用边角关系求出点到坐标轴的距离，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，∵三角板绕原点顺时针旋转得到， ∴，． ∵， ∴． 过点作于，则， 在中，，， ∴，即为等腰直角三角形，． 在中，由勾股定理得， ∴． ∵点在第四象限， ∴点的坐标为； 故选：C． 【题型10.坐标与旋转规律问题】 【典例】如图，把正方形铁片OACB置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2022次后，则点的坐标为______． 【答案】（6068，1） 【分析】首先第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），……由此发现规律，利用规律解决问题． 【详解】解：第一次P1（5，2）， 第二次P2（8，1）， 第三次P3（10，1）， 第四次P4（13，2）， 第五次P5（17，2）， …… 由此发现：点P的位置4次一个循环， 且每循环一次，点P的横坐标增加3+2+3+4=12， ∵2022÷4=505……2， ∴P2022的纵坐标与P2相同，为1，横坐标为5+12×505+3=6068， ∴P2022（6068，1）． 故答案为（6068，1） 【点睛】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段，又将线段绕点O按顺时针方向旋转长度伸长为的2倍，得到线段，如此进行下去，得到线段（n为正整数），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转的规律性问题．理解题意，掌握探究规律的方法是解题的关键． 根据题意得出，如此下去即可得出，即可求出的底和高．再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意得出，…，． ∴的底为，高为． ∴． 故选：C 【跟踪专练2】如图，已知点，将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转241次，点A依次落在点，，，…，的位置，则的坐标是______． 【答案】 【分析】先求出，，，，，找到规律求解． 【详解】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为次一循环． ，，，， ，，，， ，，，， ， ，，，， 当时，即，解得， 横坐标为，纵坐标为， 则的坐标， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解． 【跟踪专练3】将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． ..C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征．根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和点重合，再判断第2024次属于循环中的第2次，最后即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如图所示： 由的坐标为可知：，， ， ，， 由旋转性质可知：， ，， ， 在与中： ， ， ，， 此时点对应坐标为， 当第二次旋转时，如图所示： 此时点对应点的坐标为． 当第3次旋转时，第3次的点对应点与点中心对称，故坐标为， 当第4次旋转时，第4次的点对应点与第1次旋转的点对应点中心对称，故坐标为， 当第5次旋转时，第5次的点对应点与第2次旋转的点对应点中心对称，故坐标为． 第6次旋转时，与点重合． 故前6次旋转，点对应点的坐标分别为：、、、、、． 由于， 故第2024次旋转时，点的对应点为． 故选：A． 【题型11.中心对称图形的识别】 【典例】在美术字中，有些汉字是中心对称图形．请列举3个是中心对称图形的汉字：_____． 【答案】中，田，口（答案不唯一） 【分析】本题考查中心对称．根据中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合，判断汉字是否为中心对称图形． 【详解】解：中心对称图形是指绕图形中心点旋转180度后能与自身重合的图形．汉字“中”以中心点旋转180度后，形状不变；汉字“田”以中心点旋转180度后，结构完全重合；汉字“口”以中心点旋转180度后，也与原图一致．因此，这三个汉字都是中心对称图形． 故答案为：中，田，口． 【跟踪专练1】在下列新能源汽车的车标中，不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合，根据中心对称图形的念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 【答案】①②④⑥ 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，熟练掌握“中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形”是解题的关键． 判断每个图形是否为中心对称图形（绕某点旋转能与自身重合的图形），依次分析每个图形的旋转性质． 【详解】解：①正方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ②长方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ③等边三角形：绕某点旋转不能与自身重合； ④线段：绕中点旋转能与自身重合； ⑤角：绕某点旋转不能与自身重合； ⑥平行四边形：绕对角线交点旋转能与自身重合． 故答案为：①②④⑥． 【跟踪专练3】在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是中心对称图形，故选项符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 【题型12.在方格中补画中心对称图形】 【典例】如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为______________． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称的定义依次判断到位置是否可以构成中心对称图形即可． 【详解】解：如图，当涂黑时，构成的阴影部分为中心对称图形． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是由8个正方形组成的网格，现嘉嘉想再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是（    ） A．只有② B．只有③ C．①或③ D．③或④ 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；逐项验证即可得到答案，熟练掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形， 在③或④涂黑即可满足题意，如图所示： 或 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 【答案】1 【分析】本题考查的是中心对称图形的含义，在平面内，把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义可得答案． 【详解】解：如图， ∴再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，只有1种涂法， 故答案为： 【跟踪专练3】如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 【题型13.成中心对称】 【典例】如图所示，与关于O成中心对称，那么__， __， __，点A、O与__三点在同一直线上，__三点在同一直线上，____三点在同一直线上．    【答案】 【分析】根据成中心对称图形的性质：对应点到对称中心的距离相等，对应点与对称中心在同一条直线上，进行作答即可． 【详解】解：与关于O成中心对称，那么， 点A、O与三点在同一直线上； B、、O三点在同一直线上； C、、O三点在同一直线上； 故答案为：． 【点睛】本题考查成中心对称图形的性质．熟练掌握成中心对称图形的性质，是解题的关键． 【跟踪专练1】将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． .C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点O旋转的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可． 【详解】解：观察选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称图形的性质，直接利用中心对称图形的性质得出四边形是平行四边形，进而即可得出答案，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，与关于点成中心对称， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知． 【详解】A选项 既是轴对称图形也是中心对称图形 B选项 不是轴对称图形也不是中心对称图形 C选项 是轴对称图形而不是中心对称图形 D选项 不是中心对称图形也不是轴对称图形 故选A 【点睛】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【题型14.根据中心对称求面积.长度.角度】 【典例】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则____________，____________．    【答案】 1 /30度 【分析】根据中心对称图形的性质即可得到答案． 【详解】解：根据中心对称图形的性质得，， ∴，． 故答案为：①1，②． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，掌握关于中心对称的两个图形是全等形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称如果，那么图中所示的封闭图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查了中心对称的应用，求不规则图形的面积， 先连接，可得封闭图形的面积等于三角形的面积，再根据三角形面积公式求出结果即可. 【详解】解：如图所示，连接，由曲线和曲线关于点D成中心对称，曲线和曲线关于点E成中心对称，曲线和曲线关于点O成中心对称， ∴经过点D，O，E，且弧形的面积相等， ∴封闭图形的面积等于. 故选：B. 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，由得，所以，，由平行四边形的性质得，所以，，最后根据，即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是关于点的中心对称，为过中心的线段， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，、、三点在同一直线上， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【题型15.求关于原点对称的点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为． 故答案为 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律及各象限内点的坐标特征，熟练掌握相关规律与特征是解题关键．先根据原点对称的坐标变换规律求出对称点坐标，再结合平方的非负性判断该点所在象限． 【详解】解：∵关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴点关于原点对称的点的坐标为， ∵任何实数的平方为非负数，即， ∴，且， ∴该点横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和关于原点对称的点的坐标变化规律是解题的关键． 根据平行四边形对角线互相平分的性质，利用关于原点对称的点的坐标特征求出的坐标，再判断选项是否符合题意． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且其对角线相交于原点 ∴点与点关于原点对称 ∵点的坐标是 ∴点的坐标是 ． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，线段的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，、的坐标分别是，，将线段绕点顺时针旋转后得到．则点关于原点的对称点的坐标是_________．    【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，关于原点对称的点的坐标．画出线段绕点顺时针旋转后得到的位置，由图可得到点的坐标，再求出点关于原点的对称点的坐标即可． 【详解】解：线段绕点顺时针旋转后得到的位置如下图：    有图可知， 点关于原点的对称点的坐标是， 故答案为：． 【题型16.已知两点关于原点对称求参数】 【典例】在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，根据两个点关于原点对称，可知两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数求出a即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的两个点横、纵坐标互为相反数求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】已知点和点关于原点对称，则______． 【答案】-8 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵点A（2，a）、点B（b，-1）关于原点对称， ∴b=-2，a=1， 则． 故答案为：-8． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 【解答题】 1．（1）解方程：， （2）如图，绕点A旋转得到．点D在边上，，求的长． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，旋转的性质， 对于（1），先移项，配方，再开方求出解； 对于（2），根据旋转的性质得，再根据全等三角形的性质得，然后根据得出答案． 【详解】解：（1）移项，得， 配方，得， 配方，得， 开方，得， ； （2）将绕点A顺时针旋转得到，点D恰好落在边上，且， ， ． 2．在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系的各顶点在网格线的交点处． (1)画出将绕原点顺时针旋转后得到的； (2)画出关于原点成中心对称的，并分别写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）依据旋转的性质，确定各顶点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标，进而画出． （2）根据中心对称的性质，求出各顶点关于原点对称的点的坐标，画出，并得到的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示，由图可得． 3．如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a、b满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问旋转多少秒时，射线、射线第一次互相垂直． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线第一次到达之前，当射线、射线互相平行时，直接写出射线转动的时间． 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，， ，． （2）解：设旋转秒时，射线、射线第一次互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴旋转9秒时，射线、射线第一次互相垂直； （3）解：设射线转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①∵，， 当时，不符合题意； 当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 当时，不符合题意； 综上所述，射线转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 4．【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】尝试应用：作图见解析 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握其概念是解题关键．由平行四边形的性质可知，对角线的交点为平行四边形的中心，的中心为圆心，结合中心对称的知识，不难发现过中心的直线将图形分割成面积相等的部分． 【详解】解：如图所示： 5．在如图所示的正方形网格中，和的顶点均在格点上，易证，可经过一次旋转后与完全重合． (1)请你在图形中确定旋转中心的位置； (2)请直接写出旋转角（）的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键． （）连接，，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （）通过观察网格图得出结论即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：由图可知，， ∴旋转角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $