专题07离差平方和与方差及四分位数与箱线图同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题07离差平方和与方差及四分位数与箱线图同步讲义 【题型01 求离差平方和】..........................................3 【题型02 离差平方和的应用】......................................4 【题型03 求方差】................................................5 【题型04 利用方差求未知数据】....................................7 【题型05 根据方差判断稳定性】....................................9 【题型06 运用方差做决策】.......................................11 【题型07 标注差】...............................................14 【题型08 用样本估计总体平均数方差】.............................16 【题型09 求四分位数】...........................................17 【题型10 画箱线图】.............................................19 【题型11 选择合适的统计量】.....................................22 【题型12 利用统计量做决策】.....................................24 【解答题5题】...................................................27 ★知识梳理★ 知识点01:方差、离差平方和 1. 基本概念 离差：数据与平均数的差 离差平方和： 方差：平均的离差平方，衡量波动大小、离散程度 标准差：方差开平方，单位与原数据一致 2. 方差意义 方差越大：数据越分散、波动大、不稳定 方差越小：数据越集中、稳定、整齐 3. 常用结论 一组数据同加 / 减一个常数：平均数变，方差不变 一组数据同乘一个常数 k：方差变为原来的 k2 倍 知识点02:四分位数与箱线图 1. 四分位数 把数据从小到大排列后，分成四等份的三个分界点： 第 1 四分位数 Q1​：下四分位数，25% 位置 第 2 四分位数 Q2​：中位数，50% 位置 第 3 四分位数 Q3​：上四分位数，75% 位置 2. 四分位距 IQR=Q3−Q1​ 反映中间 50% 数据的波动，不受极端值影响。 3. 箱线图结构（五数概括） 最小值 Q1​ 中位数 Q2​ Q3​ 最大值 箱线图构成： 中间箱子：Q1​∼Q3​ 箱子里的线：中位数 两边 ** whisker（须）**：最小值～Q1​、Q3​～最大值 4. 箱线图怎么读 1.箱子越窄：中间数据越集中 2.箱子越宽：中间数据越分散 3.中位数偏左 / 右：数据分布不对称 4.可直接比较多组数据：集中趋势、离散程度、分布形状 【题型1.求离差平方和】 【典例】已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题考查求一组数据的离差平方和，解题的关键是熟练掌握离差平方和的计算方法． 先求平均数，再求各个数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】解：一组数据为2，3，4，5，6， 平均数为， ∴这组数据的离差平方和为， 故选：． 【跟踪专练1】为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了离差平方和，掌握离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和是解题关键．先求出平均数，再根据离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：数据的平均数为 ． 离差平方和为． 故答案为：4． 【跟踪专练2】若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（   ） A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和 C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数 【答案】B 【分析】本题主要考查了组内离差平方和的定义，离差平方和是指每个数据点与组平均数的差的平方和，当数据分为两组后，组内离差平方和应计算每组内部的离差平方和，再将两组的结果相加，以反映整体的组内变异．根据组内离差平方和的定义即可求解． 【详解】解：由组内离差平方和的定义可知，需计算两组离差平方和的总和． 故选：B． 【跟踪专练3】已知一组数据1，a，3，6，7的平均数是4，则这组数据的离差平方和是________． 【答案】24 【分析】本题考查平均数和离差平方和的定义，先利用平均数的公式求得，再利用离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【题型2.离差平方和的应用】 【典例】已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【答案】 8 【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系． 方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可． 【详解】解：数据个数，离差平方和， ∴方差． 故答案为：8． 【跟踪专练1】在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 【跟踪专练2】科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由______到______排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成______种情况． 【答案】 小 大 7 【分析】本题考查组内离差平方和的定义，根据组内离差平方和的定义解答即可． 【详解】解：按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由小到大排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成种情况． 故答案为：小，大，7． 【跟踪专练3】在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（   ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了离差的实际应用，解题的关键是掌握离差的意义． 根据分组的要求和离差的意义，“在总离差平方和一定的情况下，组内离差平方和越小，则组间离差平方和越大，即组间数据差异越大”，进行判断即可． 【详解】解：根据离差的意义可得，使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大， 故选：B． 【题型3.求方差】 【典例】某学习小组的测试成绩（单位：分）分别为86，88，90，92，94，方差为8．后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，该小组新成绩的方差为_________． 【答案】8 【分析】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变． 方差是衡量数据波动程度的量，当一组数据中的每个数据都加上同一个常数时，方差不变． 【详解】解：原始成绩的方差为，每人补加分后，每个数据都增加，但数据与平均数的差保持不变，因此方差不变，故新成绩的方差仍为． 故答案为：． 【跟踪专练1】两年前，某校七（1）班学生的平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班学生的年龄的平均数和方差分别为（   ） A．13岁，改变 B．15岁，不变 C．15岁，改变 D．不变，不变 【答案】B 【分析】先设出两年前学生的年龄，根据平均数公式计算出今年的平均年龄，再代入方差公式推导计算，对比得出方差的变化情况，进而确定答案． 【详解】解：设两年前名学生的年龄分别为 ∵两年前平均年龄，方差. ∴今年学生的平均年龄为(岁 今年学生年龄的方差为. ∴平均年龄为岁，方差不变，故选B. 【跟踪专练2】组数据，，．的方差是，那么数据，，的方差为_________． 【答案】 【分析】本题考查方差的性质，解题关键是掌握“一组数据同时加减同一个常数，方差不变”这一核心性质． 直接运用方差的性质，判断出原数据每个数减2后方差不变，直接得出答案． 【详解】解：根据方差的性质：一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差不变． 本题中，原数据每个数都减去了常数2，因此新数据的方差与原数据方差相同，仍为． 故答案为：． 【跟踪专练3】在八年级体育素质测试中，某小组5名同学（用数字1～5表示）的成绩（单位：分）如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（   ） 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，5 【答案】B 【分析】本题考查了平均数与方差的计算，掌握平均数=总分 ÷数据个数、方差=各数据与平均数差的平方的平均值是解题的关键． 根据平均成绩求出缺失的成绩，再计算方差． 【详解】解：∵平均成绩为分，共有名同学， ∴总分为分 已知名同学成绩之和为分， ∴缺失成绩为分， 各数据与平均数的差分别为， 差的平方和为， ∴方差为：， 因此被遮盖数据依次为和． 故选：B． 【题型4.利用方差求未知数据】 【典例】小明计算一组数据方差的算式为s2＝[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+…+（x5﹣10）2]，由此得到这组数据的和是 _____． 【答案】50 【分析】从方差公式中获取这组数据的个数和平均数即可求得这组数据的和． 【详解】∵s2＝[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+…+（x5﹣10）2]， ∴这组数据的平均数是10，一共有5个数， ∴这组数据的和是10×5＝50． 故答案为：50 【点睛】本题考查了方差的计算公式，理解掌握公式是解题的关键． 【跟踪专练1】若一组数据方差的算式为：，则该组数据的中位数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方差公式和找中位数的知识点，从方差算式的平方项中得到各数据，排序后根据中位数定义即可得答案． 【详解】由题意可得这组数据为； 排序得：； 数据个数为， 中位数为第个数据，即为． 故选． 【跟踪专练2】已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_____. 【答案】8 【分析】本题考查了方差与算术平均数，用到的知识点：如果一组数据的平均数为，方差为，那么另一组数据，，，的平均数为，方差为．根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，……，的平均数是，方差是方差为，再进行计算即可． 【详解】解：∵数据的方差是2， ∴数据的方差是． 故答案为：8． 【跟踪专练3】为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（   ） A．n的值是4 B．样本平均数是4 C．样本众数是3 D．样本中位数是3 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，平均数，样本容量，解题的关键是根据方差计算公式得出数据．根据方差的计算公式得到各个数值进行判断即可． 【详解】解：根据方差算式可得，样本数据为， 因此样本容量为，样本众数为， 中位数是， 平均数为， 故选B． 【题型5.根据方差判断稳定性】 【典例】小云和小天练习射击，一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小云和小天两人中成绩较稳定的是_____． 【答案】小天 【分析】本题考查方差的意义，熟练掌握波动越小，方差越小，越稳定是解题的关键． 根据波动越小，方差越小，越稳定即可求解． 【详解】解：由图可知，小天的成绩波动小，则方差就小， 所以小天的成绩较稳定． 故答案为：小天． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，通过比较三人方差大小即可判断谁的成绩最稳定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲的成绩波动最小，成绩最稳定， 故选：A． 【跟踪专练2】藤球（如图）是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，被称为“亚运会上最好看的球类运动”．学校藤球队四名同学成绩的数据记录如下表（按百分制计分），若要从这四名同学中选择一名成绩好且状态稳定的代表学校参加市藤球赛，应选择______同学． 甲 乙 丙 丁 /分 90 98 90 98 5 5 0.6 0.6 【答案】丁 【分析】本题考查平均数和方差的意义，根据平均数可选出成绩好的同学是乙、丁，再根据方差的意义即可得出答案．解题关键是理解平均数和方差的意义：平均数是反映一组数据的平均水平；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小． 【详解】解：∵乙、丁的成绩平均分高于甲、丙的成绩平均分， ∴乙、丁的成绩更好； ∵丁的成绩方差比乙的成绩方差小， ∴丁的成绩较稳定， ∴应选择丁同学参赛． 故答案为：丁． 【跟踪专练3】云南是我国普洱茶的核心产区，勐海和临沧的茶园因独特气候存在显著差异，某茶叶的品质和口感也深受喝茶人喜爱．某茶叶质量检测鉴定中心在两地各选择了一家茶园，统计了近五年“普洱茶”的年产量（单位：吨），数据如下： 勐海茶园 102 98 100 101 99 临沧茶园 110 90 105 95 100 根据上述数据，茶叶的产量更稳定是（    ） A．勐海茶园 B．临沧茶园 C．两者稳定性相同 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性． 比较两组数据的稳定性，需计算方差，方差小的更稳定． 【详解】勐海茶园： 平均数：（吨）， 方差：； 临沧茶园：平均数：（吨）， 方差：； ∵， ∴勐海茶园方差更小，产量更稳定， 故选A． 【题型6.运用方差做决策】 【典例】九年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派______同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）． 【答案】丙 【分析】本题考查了利用方差做决策，熟练掌握方差的稳定性是解题关键．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，由此即可得． 【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，且， ∴丙同学发挥最稳定， ∴派丙同学去参赛更合适， 故答案为：丙． 【跟踪专练1】第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办，极大地提升了国民对运动的热情．某高校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一位，参加射击比赛，下表记录了四位同学平时成绩的平均数（单位：环）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参加比赛，则应选择是（    ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 9.1 8.6 7.9 9.1 方差 2.02 0.85 0.85 0.96 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了平均数，方差，根据平均数和方差的意义来选择，平均数越高成绩越好，方差越小状态越稳定，先通过平均数筛选出成绩好的同学，再比较方差选出状态稳定的同学即可． 【详解】解：由表格数据可知，甲和丁的平均数最大，为9.1；在平均数相同的甲和丁中，丁的方差0.96小于甲的方差2.02，说明丁的成绩更稳定，故应选择丁， 故选：D． 【跟踪专练2】吕梁市临县是闻名全国的“红枣之乡”，这里盛产的红枣以肉厚味甜著称．某农科所培育了甲、乙、丙三个品种的红枣，统计近三年这三个品种红枣的亩产量，其平均数和方差如下表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 480 500 500 方差 6.0 8.5 6.0 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择________品种．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】本题考查了方差，平均数的应用，熟练掌握方差，平均数的特点是解题的关键． 根据方差越小越稳定，平均数越大越好等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴丙是亩产量高且稳定的优良品种． 故答案为：丙． 【跟踪专练3】学位要在甲乙丙三人中推荐一名成绩不错且发挥稳定的射箭选手参加市区比赛，下面是他们经过很多次测试获取的统计数据，那么选择选手及选择理由最不充分的是（   ） 选手 平均环数 众数（环） 方差 甲 8.6 8 15 乙 8.5 8 3 丙 8.5 9 10 A．选择甲，因为甲平均环数最高 B．选择甲，因为甲的方差最大 C．选择乙，因为乙的方差最小 D．选择丙，因为丙的众数最大 【答案】B 【分析】本题主要考查方差，根据题目要求，需选择“成绩不错且发挥稳定”的选手，即平均环数高且方差小，通过分析各选项的合理性，判断哪一选项的理由最不充分． 【详解】解：A、甲的平均环数最高（8.6），确实成绩更好，理由充分； B、甲的方差最大（15），方差大代表发挥不稳定，与题目要求的“发挥稳定”矛盾，此理由错误，最不充分； C、乙的方差最小（3），方差小说明发挥最稳定，且平均环数（8.5）与丙相同，理由合理； D、丙的众数最大（9），但平均环数与乙相同（8.5），方差更大（10），稳定性较差。虽然众数高有一定优势，但整体理由弱于选项B的错误性． 故选：B． 【题型7.标注差】 【典例】已知一个样本，，，，，其平均数是，则这个样本的标准差是________． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义得到，解得，再利用方差公式计算样本的方差，然后根据标准差的定义求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴这组数据为1、2、3、4、5， 则这组数据的方差， 所以这组数据的标准差是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度． 【跟踪专练1】已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（   ） A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3 【答案】A 【分析】本题考查样本数据的平均数、中位数、标准差和方差的计算，根据定义逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解： A：平均数为，正确； B：将数据从小到大排列为1，2，3，4，5，中位数为中间的数3，而非4，错误； C：方差计算为，标准差为，而非，错误； D：由上述计算，方差为2，而非3，错误． 故选：A． 【跟踪专练2】一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是_______． 【答案】8 【分析】本题考查了求一组数据的方差及标准差；先求出这组数据的平均数与方差，再由方差的算术平方根即为标准差即可求解． 【详解】解：由题意知，， 即； 而， ∵， ∴ ， ∴标准差为； 故答案为：8． 【跟踪专练3】某市移动公司为了调查手机发送短信的情况，在本区域的100位用户中随机抽取了10位用户来统计他们某周发送短信的条数，结果如下表： 手机用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 发送短信条数 20 19 20 20 21 17 15 23 20 25 本次调查中，这100位用户大约每周共发送______条短信． 【答案】2000 【分析】先求出样本的平均数，再根据总体平均数约等于样本平均数列式计算即可． 【详解】∵这10位用户该周发送短信的平均数是：（条）， ∴这100位用户大约每周共发送（条）短信． 【点睛】此题考查了用样本估计总体，用到的知识点是总体平均数约等于样本平均数． 【题型8.用样本估计总体平均数方差】 【典例】《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　） A．800石 B．890石 C．900石 D．1000石 【答案】B 【分析】本题考查求平均数，利用样本估计总体，求出抽取的10亩田中每亩平均产谷量，再利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：抽取的10亩田中每亩平均产谷为（石）， 这100亩田共产谷大约（石）． 故选B． 【跟踪专练1】随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为______． 【答案】100 【分析】此题考查了求平均数，样本平均数估计总体，解题的关键是熟练掌握求平均数的方法．首先求出样本的平均数，然后估算全体同学家中用水总量． 【详解】解：5名同学的用水量平均数为： 那么全班同学家的用水总量约为： 故答案为：100． 【跟踪专练2】随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7，利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为（　　　） A．1500 B．10500 C．14000 D．15000 【答案】B 【分析】先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数1500即可解答． 【详解】解：∵某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7， ∴平均每户使用方便袋的数量为：（6+5+7+8+7+9+10+5+6+7）=7（只）， ∴该小区1500户家庭一周内共需要环保方便袋约：7×1500=10500（只）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 【跟踪专练3】如图是某班学生每天锻炼时长的箱线图，则这组数据的上四分位数是______． 【答案】 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图及上四分位数的定义即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由箱线图可得，这组数据的上四分位数是， 故答案为：． 【题型9.求四分位数】 【典例】续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 【答案】D 【分析】第一四分位数即下四分位数，是前一半数据的中位数，据此即可求解． 【详解】解：将6名参赛学生的成绩从小到大排序为：75，80，85，92，95，95 而前一半数据75，80，85的中位数为， ∴第一四分位数80分 【跟踪专练1】一组数据，，，，，，，，的唯一的众数是，则这组数据的第三四分位数是______． 【答案】 【分析】由众数的定义，得到，然后根据第三四分位数的定义求解即可． 【详解】解：∵数据，，，，，，，，的唯一的众数是， ∴， ∴数据为，，，，，，，，，共个数， ∵， ∴第个数为， ∴这组数据的第三四分位数是． 【跟踪专练2】某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 【答案】A 【分析】本题考查了四分位数，众数，中位数．根据第一四分位数、第三四分位数、中位数、众数的定义及计算方法，逐一验证各选项即可． 【详解】解：依题意，第一四分位数即分位数， 需取年龄从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数， 则年龄从小到大排列后，得 ∴第5个数据为28，第6个数据为30， ∴ 第一四分位数为，故A选项正确 依题意，第三四分位数即分位数，， ∴需取年龄从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数， 则第15个数据为43，第16个数据为50，平均数为，故B选项错误， 依题意，中位数即分位数，， ∴ 需取年龄从小到大排列后第10个和第11个数据的平均数，第10个和第11个数据均为32，平均数为32，故C选项错误 ∵ 众数是出现次数最多的年龄，32出现的次数最多（5次）， ∴众数是32，故D选项错误， 故选：A． 【跟踪专练3】甲、乙两人10次射击成绩如图所示，从中可以发现这两人10次射击成绩的方差较大的是__________（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题考查箱线图，方差，根据箱线图判断哪组数据更集中即可． 【详解】解：从图中的箱线图可以看出：甲的成绩分布更分散（箱型更宽、数据波动范围更大），而乙的成绩相对集中，因此甲的方差较大． 故答案为：甲． 【题型10.画箱线图】 【典例】有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（    ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据是3和18 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【详解】解：A．这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为，故该选项符合题意； C．这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D．箱线图下边缘是3，上边缘是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【答案】②④ 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，上四分位数对应箱的右边界，B地的箱右边界为，则上四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，B地的中位数（箱内线）低于A地的中位数，故②正确； 结论③：A地的最高气温高于B地的最高气温，并非“每天都高于”，故③错误； 结论④：A地的箱线图中，数据的中位数（箱体中间线）是，且中间线左右两侧的箱体大小相同，因此有超过一半的天数最高气温是不低于，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 故答案为：②④． 【跟踪专练2】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，该选项正确； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，该选项正确； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，说法错误； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，该选项正确； 故选：． 【跟踪专练3】甲、乙两人各自记录了自己从家到学校所用的时间（单位：min）． 甲：15  12  15  13  16  14  13  14 乙：16  20  12  22  13  25  13  19 从四分位数和箱线图比较，从家到学校所用时间较稳定的是_______． 【答案】甲 【分析】本题考查数据的稳定性分析，掌握通过观察数据的离散程度，结合四分位数和箱线图判断数据稳定性是解题的关键． 要判断从家到学校所用时间较稳定的是谁，需分析甲、乙两人数据的离散程度，可通过四分位数和箱线图的特征，即数据的波动情况来判断． 【详解】解：甲的数据排序为，数据个数， ； ； ； 箱线图的箱体长度： 乙的数据排序为， ； ； ； 箱线图的箱体长度： 甲的箱体长度2小于乙的箱体长度8，说明甲的数据离散程度更小，结合箱线图，甲的数据波动更小，所以从家到学校所用时间较稳定的是甲． 故答案为：甲． 【题型11.选择合适的统计量】 【典例】在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是______． 【答案】方差 【分析】根据方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好可得答案． 【详解】解：在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是方差， 故答案为：方差． 【点睛】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别． 【跟踪专练1】专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】专卖店关注销售数据通常是为了了解最畅销的鞋号，以便进货或营销. 众数表示出现次数最多的值，即销售量最大的鞋号，符合实际需求. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握意义是解题的关键. 【详解】解：∵ 销售量数据中，鞋号39的销售量12双为最高， ∴ 众数为39号，表示最受欢迎的鞋号， ∴ 专卖店最关注众数， 故选：C. 【跟踪专练2】某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的______（填“众数”或“中位数”或“平均数”） 【答案】中位数 【分析】本题主要考查了统计量的选择，中位数的意义等知识点，熟练掌握中位数的定义是解题的关键：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 由于取前名同学参加学校的决赛，共有名同学参加选拔赛，根据中位数的意义分析即可得出答案． 【详解】解：个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有个数， 只要知道自己的分数和中位数，就可以知道自己能否进入决赛了， 故答案为：中位数． 【跟踪专练3】在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，下四分位数对应箱的左边界，济南的箱左边界为，故下四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，济南的中位数（箱内线）低于西安的中位数，故②正确； 结论③：西安的最高气温低于济南的部分气温，并非“都高于”，故③错误； 结论④：观察箱线图：西安的箱线图中，代表数据分布的“箱体”及右侧线段显示，其数据的中位数（箱体中间线）和大部分数据集中在以上，但不低于的部分仅占数据的一小部分（箱体右侧到最大值的区间），并未超过总天数的一半，因此，结论④是错误的， 故选：A． 【题型12.利用统计量做决策】 【典例】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表： 尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 10 4 6 2 店主决定在下次进货时增加一些尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据题意，店主最关注的应该是最畅销的尺码，即影响店主决策的统计量是众数． 【详解】解：由表格可知：尺码为的女鞋最畅销，即销售量最多 ∴影响店主决策的统计量是众数 故选C． 【点睛】此题考查的是利用各个统计量作决策，掌握众数的意义是解题关键． 【跟踪专练1】某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的________．（填“众数”，“中位数”，“平均数”，“方差”） 【答案】中位数 【分析】本题考查了统计量的选择以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【详解】解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故答案为：中位数． 【跟踪专练2】2024年月日是端午节，某幼儿园对全体小朋友爱吃哪种粽子做调查，以决定最终买哪种口味的粽子．下面的调查数据最值得关注的是（ ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故幼儿园最值得关注的应该是统计调查数据的众数． 故选：A． 【跟踪专练3】某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是________． 【答案】部门5 【分析】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 分别求出得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数占完成人数的比例，可得完成人数的总和的个位数为0，再由 6个部门有153人，可得未参与部门人数个位一定为3，即可求解． 【详解】解：得分为100分的人数占完成人数的， 得分为90分的人数占完成人数的， 得分为80分的人数占完成人数的， 得分为70分的人数占完成人数的， 得分为60分的人数占完成人数的， ∵各分数人数为整数，即总参与人数整数， ∴总参与人数是10的倍数，即完成人数的总和的个位数为0， ∵ 6个部门有153人，即人， ∴未参与部门人数个位一定为3， ∴未参与答题的部门是部门5． 故答案为：部门5． 【解答题】 1．现有甲、乙两种西瓜种植技术可供选择，为了分析哪种西瓜种植技术更适宜推广，农科所从使用这两种技术种植的西瓜中各随机抽取10个，记录它们的质量（单位：kg）如下． 甲：5.1，5.0，4.5，4.9，5.1，5.3，5.2，4.9，5.1，4.9． 乙：5.5，4.8，5.0，5.2，4.9，5.2，4.5，4.8，5.1，5.0． (1)分别计算上述两组数据的平均数和方差； (2)根据（1）中的计算结果，从西瓜质量的稳定性考虑，你认为推广哪种种植技术较好？ 【答案】(1)；；；． (2)甲种植技术较好． 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求解； （2）根据方差的性质进行解答． 【详解】（1）解： ， ； ． ； （2）解：因为采用甲、乙种植技术种植的西瓜质量的平均数相同，， 所以采用甲种植技术种植的西瓜质量更稳定，所以推广甲种植技术较好． 2．苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【答案】第一组：65，69，70 第二组：75，76，76，78，80，80，81 【分析】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 先将数据排列，再分9种情况讨论求解即可． 【详解】解：将10个数据按照从小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81，把10个数据分成两组，共有9种情况． ①第一组：65，第二组：69，70，75，76，76，78，80，80，81， 第一组的平均数为65， 第二组的平均数为， 组内离差平方和 ； ②第一组：65，69，第二组：70，75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ③第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为48； ④第一组：65，69，70，75，第二组：76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为76； ⑤第一组：65，69，70，75，76，第二组：76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ⑥第一组：65，69，70，75，76，76，第二组：78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为108； ⑦第一组：65，69，70，75，76，76，78，第二组：80，80，81，同理可得，组内离差平方和为137； ⑧第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，第二组：80，81，同理可得，组内离差平方和为184； ⑨第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，80，第二组：81，同理可得，组内离差平方和为219， 第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81组内离差平方和达到最小． 3．一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示： 甲 乙 丙 丁 戊 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 70 英语 88 82 94 85 76 85 (1)求这五位同学在这次考试中英语成绩的标准差． (2)为了比较不同学科成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式为：标准分（个人学科成绩学科平均分）学科成绩的标准差．从标准分看，标准分高的学科成绩更好，则甲同学在这次考试中，数学与英语哪个学科的成绩更好？ 【答案】(1) (2)甲同学在这次考试中，数学成绩更好，理由见详解 【分析】本题考查标准差的计算和用标准分做决策． （1）根据标准差是方差的算术平方根计算标准差即可； （2）根据标准分的计算公式计算数学和英语的标准分，然后比较即可． 【详解】（1）解：英语成绩的标准差为： （2）甲同学数学成绩的标准分为； 英语成绩的标准分为． 因为， 所以甲同学在这次考试中，数学成绩更好． 4．某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 5．某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了个成熟的西瓜，称重如表： 西瓜质量（单位：） 西瓜个数（单位：个） (1)这个西瓜的平均质量是多少千克？ (2)根据计算结果你估计这亩地的西瓜产量约是多少千克？ 【答案】(1)千克 (2)千克 【分析】本题考查了加权平均数，用样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）总数乘个西瓜质量的平均值即可估计出这亩地的西瓜产量． 【详解】（1）解：样本西瓜平均质量为； （2）这亩地的西瓜产量约为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07离差平方和与方差及四分位数与箱线图同步讲义 【题型01 求离差平方和】..........................................3 【题型02 离差平方和的应用】......................................3 【题型03 求方差】................................................4 【题型04 利用方差求未知数据】....................................4 【题型05 根据方差判断稳定性】....................................5 【题型06 运用方差做决策】........................................6 【题型07 标注差】................................................7 【题型08 用样本估计总体平均数方差】..............................7 【题型09 求四分位数】............................................8 【题型10 画箱线图】..............................................9 【题型11 选择合适的统计量】.....................................10 【题型12 利用统计量做决策】.....................................11 【解答题5题】...................................................11 ★知识梳理★ 知识点01:方差、离差平方和 1. 基本概念 离差：数据与平均数的差 离差平方和： 方差：平均的离差平方，衡量波动大小、离散程度 标准差：方差开平方，单位与原数据一致 2. 方差意义 方差越大：数据越分散、波动大、不稳定 方差越小：数据越集中、稳定、整齐 3. 常用结论 一组数据同加 / 减一个常数：平均数变，方差不变 一组数据同乘一个常数 k：方差变为原来的 k2 倍 知识点02:四分位数与箱线图 1. 四分位数 把数据从小到大排列后，分成四等份的三个分界点： 第 1 四分位数 Q1​：下四分位数，25% 位置 第 2 四分位数 Q2​：中位数，50% 位置 第 3 四分位数 Q3​：上四分位数，75% 位置 2. 四分位距 IQR=Q3−Q1​ 反映中间 50% 数据的波动，不受极端值影响。 3. 箱线图结构（五数概括） 最小值 Q1​ 中位数 Q2​ Q3​ 最大值 箱线图构成： 中间箱子：Q1​∼Q3​ 箱子里的线：中位数 两边 ** whisker（须）**：最小值～Q1​、Q3​～最大值 4. 箱线图怎么读 1.箱子越窄：中间数据越集中 2.箱子越宽：中间数据越分散 3.中位数偏左 / 右：数据分布不对称 4.可直接比较多组数据：集中趋势、离散程度、分布形状 【题型1.求离差平方和】 【典例】已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【跟踪专练1】为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 【跟踪专练2】若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（   ） A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和 C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数 【跟踪专练3】已知一组数据1，a，3，6，7的平均数是4，则这组数据的离差平方和是________． 【题型2.离差平方和的应用】 【典例】已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【跟踪专练1】在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【跟踪专练2】科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由______到______排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成______种情况． 【跟踪专练3】在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（   ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 【题型3.求方差】 【典例】某学习小组的测试成绩（单位：分）分别为86，88，90，92，94，方差为8．后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，该小组新成绩的方差为_________． 【跟踪专练1】两年前，某校七（1）班学生的平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班学生的年龄的平均数和方差分别为（   ） A．13岁，改变 B．15岁，不变 C．15岁，改变 D．不变，不变 【跟踪专练2】组数据，，．的方差是，那么数据，，的方差为_________． 【跟踪专练3】在八年级体育素质测试中，某小组5名同学（用数字1～5表示）的成绩（单位：分）如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（   ） 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，5 【题型4.利用方差求未知数据】 【典例】小明计算一组数据方差的算式为s2＝[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+…+（x5﹣10）2]，由此得到这组数据的和是 _____． 【跟踪专练1】若一组数据方差的算式为：，则该组数据的中位数是 （    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_____. 【跟踪专练3】为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（   ） A．n的值是4 B．样本平均数是4 C．样本众数是3 D．样本中位数是3 【题型5.根据方差判断稳定性】 【典例】小云和小天练习射击，一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小云和小天两人中成绩较稳定的是_____． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【跟踪专练2】藤球（如图）是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，被称为“亚运会上最好看的球类运动”．学校藤球队四名同学成绩的数据记录如下表（按百分制计分），若要从这四名同学中选择一名成绩好且状态稳定的代表学校参加市藤球赛，应选择______同学． 甲 乙 丙 丁 /分 90 98 90 98 5 5 0.6 0.6 【跟踪专练3】云南是我国普洱茶的核心产区，勐海和临沧的茶园因独特气候存在显著差异，某茶叶的品质和口感也深受喝茶人喜爱．某茶叶质量检测鉴定中心在两地各选择了一家茶园，统计了近五年“普洱茶”的年产量（单位：吨），数据如下： 勐海茶园 102 98 100 101 99 临沧茶园 110 90 105 95 100 根据上述数据，茶叶的产量更稳定是（    ） A．勐海茶园 B．临沧茶园 C．两者稳定性相同 D．无法判断 【题型6.运用方差做决策】 【典例】九年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派______同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）． 【跟踪专练1】第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办，极大地提升了国民对运动的热情．某高校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一位，参加射击比赛，下表记录了四位同学平时成绩的平均数（单位：环）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参加比赛，则应选择是（    ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 9.1 8.6 7.9 9.1 方差 2.02 0.85 0.85 0.96 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练2】吕梁市临县是闻名全国的“红枣之乡”，这里盛产的红枣以肉厚味甜著称．某农科所培育了甲、乙、丙三个品种的红枣，统计近三年这三个品种红枣的亩产量，其平均数和方差如下表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 480 500 500 方差 6.0 8.5 6.0 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择________品种．（填“甲”“乙”或“丙”） 【跟踪专练3】学位要在甲乙丙三人中推荐一名成绩不错且发挥稳定的射箭选手参加市区比赛，下面是他们经过很多次测试获取的统计数据，那么选择选手及选择理由最不充分的是（   ） 选手 平均环数 众数（环） 方差 甲 8.6 8 15 乙 8.5 8 3 丙 8.5 9 10 A．选择甲，因为甲平均环数最高 B．选择甲，因为甲的方差最大 C．选择乙，因为乙的方差最小 D．选择丙，因为丙的众数最大 【题型7.标注差】 【典例】已知一个样本，，，，，其平均数是，则这个样本的标准差是________． 【跟踪专练1】已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（   ） A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3 【跟踪专练2】一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是_______． 【跟踪专练3】某市移动公司为了调查手机发送短信的情况，在本区域的100位用户中随机抽取了10位用户来统计他们某周发送短信的条数，结果如下表： 手机用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 发送短信条数 20 19 20 20 21 17 15 23 20 25 本次调查中，这100位用户大约每周共发送______条短信． 【题型8.用样本估计总体平均数方差】 【典例】《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　） A．800石 B．890石 C．900石 D．1000石 【跟踪专练1】随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为______． 【跟踪专练2】随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7，利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为（　　　） A．1500 B．10500 C．14000 D．15000 【跟踪专练3】如图是某班学生每天锻炼时长的箱线图，则这组数据的上四分位数是______． 【题型9.求四分位数】 【典例】续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 【跟踪专练1】一组数据，，，，，，，，的唯一的众数是，则这组数据的第三四分位数是______． 【跟踪专练2】某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 【跟踪专练3】甲、乙两人10次射击成绩如图所示，从中可以发现这两人10次射击成绩的方差较大的是__________（填“甲”或“乙”） 【题型10.画箱线图】 【典例】有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（    ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据是3和18 【跟踪专练1】学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【跟踪专练2】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 【跟踪专练3】甲、乙两人各自记录了自己从家到学校所用的时间（单位：min）． 甲：15  12  15  13  16  14  13  14 乙：16  20  12  22  13  25  13  19 从四分位数和箱线图比较，从家到学校所用时间较稳定的是_______． 【题型11.选择合适的统计量】 【典例】在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是______． 【跟踪专练1】专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪专练2】某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的______（填“众数”或“中位数”或“平均数”） 【跟踪专练3】在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型12.利用统计量做决策】 【典例】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表： 尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 10 4 6 2 店主决定在下次进货时增加一些尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪专练1】某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的________．（填“众数”，“中位数”，“平均数”，“方差”） 【跟踪专练2】2024年月日是端午节，某幼儿园对全体小朋友爱吃哪种粽子做调查，以决定最终买哪种口味的粽子．下面的调查数据最值得关注的是（ ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【跟踪专练3】某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是________． 【解答题】 1．现有甲、乙两种西瓜种植技术可供选择，为了分析哪种西瓜种植技术更适宜推广，农科所从使用这两种技术种植的西瓜中各随机抽取10个，记录它们的质量（单位：kg）如下． 甲：5.1，5.0，4.5，4.9，5.1，5.3，5.2，4.9，5.1，4.9． 乙：5.5，4.8，5.0，5.2，4.9，5.2，4.5，4.8，5.1，5.0． (1)分别计算上述两组数据的平均数和方差； (2)根据（1）中的计算结果，从西瓜质量的稳定性考虑，你认为推广哪种种植技术较好？ 2．苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 3．一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示： 甲 乙 丙 丁 戊 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 70 英语 88 82 94 85 76 85 (1)求这五位同学在这次考试中英语成绩的标准差． (2)为了比较不同学科成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式为：标准分（个人学科成绩学科平均分）学科成绩的标准差．从标准分看，标准分高的学科成绩更好，则甲同学在这次考试中，数学与英语哪个学科的成绩更好？ 4．某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 5．某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了个成熟的西瓜，称重如表： 西瓜质量（单位：） 西瓜个数（单位：个） (1)这个西瓜的平均质量是多少千克？ (2)根据计算结果你估计这亩地的西瓜产量约是多少千克？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $