专题07离差平方和与方差及四分位数与箱线图《知识解读+题型专练》2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题07 离差平方和与方差及四分位数与箱线图 《知识解读+题型专练》 【题型1 求离差平方和】 4 【题型2 离差平方和的应用】 6 【题型3 求方差】 10 【题型4 利用方差求未知数据的值】 12 【题型5 根据方差判断稳定性】 15 【题型6 运用方差做决策】 16 【题型7 标准差】 18 【题型8 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）】 20 【题型9 求四分位数】 22 【题型10 画箱线图】 24 【题型11根据要求选择合适的统计量】 27 【题型12 利用合适的统计量做决策】 29 【解答题5道】 31 3.3 离差平方和与方差 核心知识点 一、基础知识点 1. 离差 定义：对于一组数据，平均数为，每个数据与平均数的差叫做该数据的离差，反映单个数据偏离平均数的程度。 2. 离差平方和 定义：各个数据离差的平方和，记作。 公式： 意义：反映一组数据偏离平均数的总程度，数值越大，数据整体波动越明显。 3. 方差 定义：离差平方和的平均数，是衡量数据离散程度的核心统计量，记作。 公式： 意义：方差越小，数据波动越小，稳定性越强；方差越大，数据波动越大，稳定性越差。 4. 标准差 定义：方差的算术平方根，记作。 公式： 意义：单位与原数据一致，弥补方差单位与原数据不一致的缺陷，同样反映数据波动大小。 5. 样本估计总体 当总体数据量较大时，选取具有代表性的样本，用样本平均数、样本方差分别估计总体平均数、总体方差，体现统计的核心思想。 二、3.3离差平方和与方差 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型1 求离差平方和 第一步：计算数据的平均数；第二步：计算每个数据的离差并平方；第三步：将所有离差平方相加求和。 题型2 离差平方和的应用 通过离差平方和大小对比两组数据的总波动程度，数值越大，数据偏离平均数的整体程度越大。 题型3 求方差 先算平均数，再求离差平方和，最后用离差平方和除以数据个数，牢记方差公式，计算时避免平方、求和失误。 题型4 利用方差求未知数据的值 设未知数据为，先表示出平均数，再代入方差公式列方程，解方程后检验结果是否符合数据意义。 题型5 根据方差判断稳定性 核心结论：方差越小，数据波动越小，稳定性越强；方差越大，数据波动越大，稳定性越差，直接对比方差数值即可。 题型6 运用方差做决策 需考量数据稳定性、一致性的场景（如选手选拔、产品质检、成绩稳定性），优先选择方差更小的对象。 题型7 标准差 先计算方差，再对方差开平方取算术平方根，标准差为非负数，单位与原数据统一，用于描述波动大小。 题型8 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 选取随机、具有代表性的样本，计算样本的平均数和方差，以此推断总体的平均水平和波动情况。 3.4 四分位数与箱线图 核心知识点 一、基础知识点 1. 四分位数 将一组数据从小到大排列后，平均分成四等份的三个分界点数值，分别为下四分位数（Q₁）、中位数（Q₂，第二四分位数）、上四分位数（Q₃）。 计算步骤：① 数据从小到大排序；② 求中位数Q₂；③ 求前半部分数据的中位数（Q₁）、后半部分数据的中位数（Q₃）。 意义：反映数据中间50%部分的分布情况，不受极端值影响。 2. 箱线图 定义：以四分位数和极值（最小值、最大值）为基础绘制的统计图，直观呈现数据的分布特征、离散程度和异常值。 构成要素：最小值、下四分位数（Q₁）、中位数（Q₂）、上四分位数（Q₃）、最大值，中间矩形为“箱体”，箱体两侧延伸线为“ whisker（须线）”。 解读：箱体越短，中间50%数据越集中；箱体越长，数据越分散；中位数位置反映数据偏态。 3. 统计量的选择 不同统计量适用场景不同，需结合分析目的，选择集中趋势（平均数、中位数、众数）或离散程度（方差、标准差）统计量，全面分析数据特征。 二、3.4四分位数与箱线图 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型9 求四分位数 第一步：数据严格从小到大排序；第二步：确定中位数Q₂；第三步：拆分数据，求前后半部分的中位数，即Q₁和Q₃。 题型10 画箱线图 第一步：找出最小值、Q₁、Q₂、Q₃、最大值；第二步：绘制数轴，标注五个数值；第三步：画箱体（Q₁-Q₃）、中线（Q₂）、须线（连极值）。 题型11 根据要求选择合适的统计量 ① 求平均水平选平均数；② 求中间水平选中位数；③ 求频次选众数；④ 判稳定性选方差/标准差；⑤ 看分布选四分位数/箱线图。 题型12 利用合适的统计量做决策 结合实际场景需求，先选定对应统计量，计算数值后对比分析，综合集中趋势与离散程度给出决策结论。 三、易错提醒与核心总结 易错点：1. 计算方差时，忘记除以数据个数，误将离差平方和当作方差；2. 求四分位数前未排序，导致结果错误；3. 混淆方差与标准差的关系，标准差是方差的算术平方根；4. 选择统计量时，忽略极端值对平均数的影响。 核心总结：集中趋势统计量刻画数据“平均/中间/集中水平”，离散程度统计量刻画数据“波动大小”，四分位数与箱线图直观呈现数据分布，两类统计量结合使用，才能全面分析数据。 【题型1 求离差平方和】 【典例1】．在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 【答案】D 【分析】本题考查离差平方和的实际意义．根据离差平方和与数据差异的关联作答即可． 【详解】解：∵离差平方和用于衡量数据间的差异程度， ∴组内离差平方和最小，代表每组组内数据的差异尽可能小， 又∵总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，即组间数据差异尽可能大， ∴该要求的目的是使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大． 故选：D． 【跟踪训练1】．以下关于组间离差平方和的说法正确的是（    ） A．组间离差平方和越大，说明各组数据的平均值越接近 B．组间离差平方和的计算与每组的平均值无关 C．组间离差平方和不可能为负数 D．组间离差平方和只与每组的最大值和最小值有关 【答案】C 【分析】由于组间离差平方和的定义为：每组平均值与总平均值的差的平方乘以该组样本数，再将所有组的结果相加，据此分析即可． 【详解】解：∵组间离差平方和的定义为：每组平均值与总平均值的差的平方乘以该组样本数，再将所有组的结果相加 ∴选项A中，组间离差平方和越大，说明各组平均值与总平均值的差异越大，即各组平均值差异越大，而非越接近，故A错误 选项B中，由定义可知，组间离差平方和的计算与每组平均值直接相关，故B错误 选项C中，∵平方数为非负数，样本数为正整数，各项相加的结果为非负数，∴组间离差平方和不可能为负数，故C正确 选项D中，组间离差平方和与每组平均值、总平均值及样本数有关，与每组的最大值、最小值无关，故D错误 【跟踪训练2】．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查平均数的定义和离差平方和的定义，首先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，进而得出答案． 【详解】解：∵这组数据为，共个数据， ∴平均数为， ∴离差平方和为： ， ， ， ， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和． 故选：． 【跟踪训练3】．数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 【题型2 离差平方和的应用】 【典例2】．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 【跟踪训练1】．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 【跟踪训练2】．下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【答案】B 【分析】“组内离差平方和最小”是聚类分析中的核心原则，用于将数据划分为组内相似度高的组，选项B中的学生成绩分组直接应用此原则进行分组优化． 【详解】解：∵“组内离差平方和最小”原则主要用于数据分组，如聚类分析，旨在使组内数据点尽可能相似； A、比较疗效，涉及假设检验而非分组，不符合题意； B、将学生按成绩分组，最适合使用该原则，符合题意； C、分析波动。涉及时间序列分析，不符合题意； D、预测变化，涉及回归分析，均不直接适用分组原则，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了“组内离差平方和最小”的原则，解决本题的关键是熟练掌握“组内离差平方和最小”的原则，核心是在对数据进行分组时，让同一组内的数据差异尽可能小，不同组之间的数据差异尽可能大． 【跟踪训练3】．学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），根据组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），最优分组应使组内离差平方和最小，直接比较表中各序号对应值即可． 【详解】解：组内离差平方和越小表示同组株高越接近， 比较表中值，序号的组内离差平方和最小为，为最优分组， 故选：B． 【题型3 求方差】 【典例3】．计算一组数据，，8，，，的方差为，则数据7，8，4，6，5，6的方差为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析两组数据的数量关系：第二组数据的每个数都是第一组对应数据的；根据方差的性质，若一组数据中的每个数据都变为原来的倍，则方差变为原来的倍，这里，因此方差变为原来的，也可通过直接计算两组数据的方差验证结果． 【详解】解：方法一：∵第二组数据的每个数都是第一组对应数据的，根据方差性质：若一组数据中每个数据变为原来的倍，方差变为原来的倍，这里， ∴第二组数据的方差为． 方法二：∵， ， ， ， 而， ∴第二组数据的方差为． 【跟踪训练1】．若一组数据2，4，x，1，6的平均数是3，则这组数据的方差为（   ） A．2 B．3.5 C．3.2 D．5 【答案】C 【分析】先根据平均数公式求出未知数x，再利用方差公式计算方差，即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据2，4，x，1，6的平均数为，数据个数为， ∴ 解得， ∴方差． 【跟踪训练2】．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动．李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据： 时间 人数名 关于家务劳动时间的描述正确的是（   ） A．众数是 B．平均数是 C．中位数是 D．方差是 【答案】B 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义分别计算各选项，进而判断正误． 【详解】解：、∵参加家务劳动时间为和的人数均为名，人数最多， ∴众数为和，故该选项错误，不符合题意； 、∵平均数为， ∴故该选项正确，符合题意； 、∵将个数据从小到大排列，第个数据均为， ∴中位数为，故该选项错误，不符合题意； 、∵方差为， ∴故该选项错误，不符合题意． 【跟踪训练3】．已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 【答案】C 【分析】此题考查了平均数和方差的求法． 根据平均数和方差的变化规律求解． 若原数据平均数为、方差为，则数据的平均数为，方差为． 【详解】解：∵原数据的平均数， 方差 ∴新数据的平均数 新数据的方差 ∴新数据的平均数和方差分别为9和9， 故选：C． 【题型4 利用方差求未知数据的值】 【典例4】．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【答案】A 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解：， ， 这组数据的总和为 ． 【跟踪训练1】．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 【跟踪训练2】．吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，平均数，众数，根据方差算式可得这组数据为9，7，9，7，8，这组数据的平均数为8，则可求出这组数据的众数，再求出添加一个数8后的平均数和方差即可得到答案． 【详解】解：∵方差算式为， ∴这组数据为9，7，9，7，8，共5个数据，即，故A结论正确，不符合题意； 由方差算式可知平均数为8，故B结论正确，不符合题意； 这组数据中7和9均出现了2次，次数最多， 所以这组数据的众数为7和9，C结论错误，符合题意； 添加一个8后，数据为9，7，9，7，8，8，平均数仍为8， 原始方差， 新方差， ∴方差变小，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【跟踪训练3】．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 【题型5 根据方差判断稳定性】 【典例5】．义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方差．根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越整齐，通过比较两班方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴乙班成绩较为整齐． 故选：B． 【跟踪训练1】．某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐 【答案】C 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，说明数据越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，且， ∴ ∵方差越小，数据的波动越小，身高越整齐 ∴参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 故选：C． 【跟踪训练2】．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，通过比较三人方差大小即可判断谁的成绩最稳定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲的成绩波动最小，成绩最稳定， 故选：A． 【跟踪训练3】．甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高相同．身高的方差分别是，，则身高最整齐的花样游泳队是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵方差越小，身高越整齐， ∴身高最整齐的花样游泳队是丁． 故选：D． 【题型6 运用方差做决策】 【典例6】．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办，极大地提升了国民对运动的热情．某高校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一位，参加射击比赛，下表记录了四位同学平时成绩的平均数（单位：环）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参加比赛，则应选择是（    ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 9.1 8.6 7.9 9.1 方差 2.02 0.85 0.85 0.96 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了平均数，方差，根据平均数和方差的意义来选择，平均数越高成绩越好，方差越小状态越稳定，先通过平均数筛选出成绩好的同学，再比较方差选出状态稳定的同学即可． 【详解】解：由表格数据可知，甲和丁的平均数最大，为9.1；在平均数相同的甲和丁中，丁的方差0.96小于甲的方差2.02，说明丁的成绩更稳定，故应选择丁， 故选：D． 【跟踪训练1】．为了杜绝孩子溺水事件的发生，很多学校为此开设了与游泳相关的课程，下表记录了某校4名同学蛙泳成绩的平均数（单位：秒）和方差，根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加校内比赛，应选择（   ） 队员1 队员2 队员3 队员4 /秒 51 48 51 49 3.5 3.5 7.5 8.5 A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差的意义，平均数反映游泳成绩的优劣（用时越短成绩越好），方差反映发挥的稳定性（方差越小，发挥越稳定）.需先依据平均数筛选出成绩好的队员，再从其中挑选方差小的队员． 【详解】解：∵游泳比赛中，完成时间越短，成绩越好， ∴对比4名队员的平均数：，可知队员2的成绩最优， 又∵方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 队员2的方差为3.5，是成绩较好的队员中方差最小的， ∴应选择队员2． 故选：B． 【跟踪训练2】．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行奥运射击选拔赛，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示．根据表中数据，要从中选拔两名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应当选（    ） 甲 乙 丙 丁 A．甲、乙 B．甲、丙 C．丙、丁 D．乙、丁 【答案】D 【分析】本题考查的是平均数和方差的统计意义，灵活运用“平均数反映成绩好坏，方差反映发挥稳定性”是解题的关键．根据平均数越大成绩越好、方差越小数据越稳定的性质，先比较平均数筛选出成绩好的运动员，再比较方差从中选出发挥稳定的，进而确定应选拔的运动员． 【详解】解：平均数， 成绩好的运动员为丁、甲、乙， 方差，且方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 丁和乙成绩好且发挥稳定． 故选：． 【跟踪训练3】．某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，方差分别为，则应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都行 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查方差；根据方差越小，其稳定性也就越好进行求解即可． 【详解】解：因为甲、乙两名同学的平均分都是95分， 由，可知：，所以选择乙会更好； 故选：B． 【题型7 标准差】 【典例7】．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查标准差的定义，熟练掌握标准差的定义是解题的关键． 成绩稳定性由方差大小决定，方差小则更稳定，根据标准差的定义，求出方差的算术平方根即可． 【详解】解：小明的成绩比较稳定，则小明的方差较小，为7， 因此小明成绩的标准差为， 故选：C． 【跟踪训练1】．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和标准差分别为x，s，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平均数、标准差的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据标准差越大，平均值的离散程度越大，稳定性越小，反之，标准差越小，平均值的离散程度越小，稳定性越好，逐一判断即可． 【详解】解：顾客选购的鸡蛋大小均匀，说明其质量数据的波动性较小，离散程度较小，则标准差较小，即，对于平均数 和 ，无法比较大小，故只有D一定成立， 故选：D． 【跟踪训练2】．一个运动员连续射击5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员本次射击所得环数的标准差为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它描述了数据对平均数的离散程度．计算标准差需先算出方差，正确计算是解题的关键． 先由平均数的公式求得平均数的值，再根据方差的公式计算方差，最后计算标准差． 【详解】解：由题意知：平均数， 方差， ∴标准差， 故选：B． 【跟踪训练3】．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差和标准差，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．根据标准差是方差的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵数据的方差是， ∴这组数据的标准差是； 故选：D． 【题型8 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）】 【典例8】．李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是中位数、用样本估计总体以及算术平均数，解题的关键是熟练掌握中位数、用样本估计总体以及算术平均数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；根据已知数据利用平均数的计算公式求出6棵树上的樱桃的平均产量，然后利用样本估计总体的思想即可求出樱桃的总产量． 【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：17，18，19，19，20，21．位于最中间的两个数是19和19， 所以这组数据的中位数是； 从100棵樱桃树中随机采摘6棵的平均产量为（千克）， 所以估计樱桃的总产量（千克）， 故选：B． 【跟踪训练1】．《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　） A．800石 B．890石 C．900石 D．1000石 【答案】B 【分析】本题考查求平均数，利用样本估计总体，求出抽取的10亩田中每亩平均产谷量，再利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：抽取的10亩田中每亩平均产谷为（石）， 这100亩田共产谷大约（石）． 故选B． 【跟踪训练2】．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用样本估计总体，涉及统计表、加权平均数的计算等知识，先根据统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值，进而估算出这500名同学的家庭一个月节约用水的总量，熟练掌握加权平均数的计算公式及用样本估计总体的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为， 这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是， 故选：C． 【跟踪训练3】．某初中校有七、八、九三个年级．学期初，校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米．下列估计最合理的是（    ） A．该校学生的平均身高约为米 B．该校七年级学生的平均身高约为米 C．该校七年级女生的平均身高约为米 D．该校七年级男生的平均身高约为米 【答案】B 【分析】根据样本估计总体进行判断即可． 【详解】解：由的七年级学生的身高的平均身高为米，可估计该校七年级学生的平均身高约为米最合理， 故选：B． 【点睛】本题考查了了由样本估计总体．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【题型9 求四分位数】 【典例9】．续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 【答案】D 【分析】第一四分位数即下四分位数，是前一半数据的中位数，据此即可求解． 【详解】解：将6名参赛学生的成绩从小到大排序为：75，80，85，92，95，95 而前一半数据75，80，85的中位数为， ∴第一四分位数80分 【跟踪训练1】．祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【答案】A 【分析】本题考查了求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据四分位数的定义计算出对应位置，再通过累计频数确定对应位置的数字，注意题目中“上四分位数、下四分位数”的顺序． 【详解】解：将100个数字按从小到大排列， 数字0出现8次；数字1出现8次；数字2出现12次；数字3出现11次；数字4出现10次；数字5出现8次；数字6出现9次；数字7出现8次；数字8出现12次；数字9出现14次，总共有100个数据， 第25、26个数都是2， ∴下四分位数是， 第75、76个数都是8， ∴上四分位数是， 故选：A． 【跟踪训练2】．现有一组数据：2，5，3，1，5，x，若该组数据的中位数是，则该组数据的下四分位数是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了中位数和下四分数，首先根据中位数为求出x的值，数据排序后中位数为第三和第四位的平均值，令其等于，解得． 然后求下四分位数，即数据下半部分的中位数． 【详解】解：将已知的五个数据从小到大排列为1，2，3，5，5， ∵该组数据（共6个）的中位数为， ∴排序后第3个和第4个数据的平均数为， 若x为第1或第2个数据，则中位数为，与题意不符， 若x为第3个数据，则1，2，x，3，5，5的中位数小于等于3，与题意不符， 若x为第4或第5个数据，则中位数为，与题意不符， ∴x必为第4个数据，则有， ∴， ∴这组数据排序为1，2，3，4，5，5． ∵下四分位数为下半部分数据的中位数，下半部分为1，2，3， ∴下四分位数为2． 故选：A． 【跟踪训练3】．某射击队员打靶成绩为6，7，8，8，9，10环，则这组数据的下四分位数为（  ） A．7 B．8 C．8.5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了四分位数，计算下四分位数（第一四分位数），需先确定数据的中位数，再取下半部分数据的中位数即可． 【详解】解：∵数据已排序：6， 7， 8， 8， 9， 10． ∴ 中位数为． ∵下半部分数据为前3个：6， 7， 8． ∴ 下四分位数为7， 故选：A． 【题型10 画箱线图】 【典例10】．体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 【跟踪训练1】．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，该选项正确； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，该选项正确； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，说法错误； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，该选项正确； 故选：． 【跟踪训练2】．有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11．其箱线图如图，下列说法错误的是（ ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】B 【分析】本题考查箱线图的概念应用，关键是理解箱线图中最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值的意义，结合已知数据逐一分析选项． 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的第一四分位数为4，中位数为，第三四分位数为，故选项A说法正确；选项B说法错误；选项C说法正确； 由箱线图可知，这组数据的最小值为3，最大值为，而已知的数据中没有这两个数，所以被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是，选项D说法正确； 故选：B． 【跟踪训练3】．有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（    ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据是3和18 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【详解】解：A．这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为，故该选项符合题意； C．这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D．箱线图下边缘是3，上边缘是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型11根据要求选择合适的统计量】 【典例11】．运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数的意义，熟练掌握中位数的意义是解决此题的关键． 本题需判断哪个统计量能让同学知晓自己是否入选前4名，核心是找到入选与未入选的分界成绩，结合各统计量的定义分析即可． 【详解】解：∵9名同学成绩各不相同，将成绩按从优到劣（跑步时间由短到长）排序后，前4名可入选， 又∵9个数据的中位数是排序后第5个数据，恰好是入选与未入选的分界成绩， ∴同学将自身成绩与中位数对比，若成绩优于中位数（时间更短）则入选，反之则未入选， ∵平均数易受极端值影响、众数在本题无意义（成绩均不同），下四分位数均无法直接判断是否进入前4名， ∴老师只需公布中位数． 故选：B． 【跟踪训练1】．在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查统计量的意义，需结合各统计量的定义，匹配题目描述判断所用统计量．熟知中位数的定义是解答的关键． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置的数（若数据个数为偶数，则是中间两个数的平均数），它能反映一组数据的中间水平，当成绩超过中位数时，说明超过了本小组一半选手的成绩 ∵平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数，方差反映数据的波动程度，均不符合题意， ∴符合题意的统计量是中位数， 故选：C． 【跟踪训练2】．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 1 4 8 □ ○ 因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的确定，需根据平均数、中位数、众数、方差的定义，结合已知数据判断哪个统计量不受缺失数据影响． 【详解】解：∵总共有25名学生，中位数是将数据从小到大排列后第13个数据． 又∵171及以下有1人，172有4人，173有8人，． ∴第13个数据是173，中位数为173，不受缺失数据影响． ∵平均数、方差需要所有数据的具体信息，缺失数据无法确定这两个统计量． 又∵成绩为174次及以上的人数未知，无法判断哪个成绩出现次数最多，所以众数无法确定． ∴能分析出的统计量是中位数． 故选：B． 【跟踪训练3】．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如表： 尺码 22 23 24 25 销售量/双 1 2 3 9 5 6 4 店主决定在下次进货时增加一些尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的实际意义，解题的关键是明确众数反映数据中出现次数最多的数值，其对商品进货决策具有直接的指导作用． 【详解】解：店主决定增加尺码的女鞋，是因为该尺码的销售量最多；众数是一组数据中出现次数最多的数值，能反映最畅销的尺码，因此影响店主决策的统计量是众数． 故选：C． 【题型12 利用合适的统计量做决策】 【典例12】．商场准备购进500双某款滑冰鞋销售，为此调查了某段时间内，这款滑冰鞋不同鞋号的销售量，统计如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，商场计算了这些滑冰鞋鞋号的平均数、中位数、众数、方差．商场在购进这款滑冰鞋时，最关心的统计量为（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了用众数做决策，商场购进滑冰鞋时，最关心的是哪种鞋号销售量最大，以确保进货符合市场需求，避免库存积压．众数表示数据中出现次数最多的值，即最受欢迎的鞋号，因此是商场最关心的统计量． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的值，能反映最受欢迎的鞋号； ∴商场在购进时最关心的统计量为众数， 故选：C． 【跟踪训练1】．某鞋店在一段时间内销售了某品牌女鞋40双，各种尺码的鞋的销售量如下表： 鞋的尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 2 3 7 13 9 4 2 如果每双女鞋的利润相同，那么店主再购进一批该品牌女鞋时最关注的销售数据是下列统计量中的（   ） A．平均数 B．上四分位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查统计量的实际意义，众数能帮助商家识别热门商品，优化进货策略． 店主最关注的是最畅销的尺码，以便决定进货重点，众数是在一组数据中出现次数最多的数，能直接反映最受欢迎的尺码． 【详解】解：∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数， ∴ 它能表示最畅销的鞋码． ∵ 每双鞋利润相同， ∴ 店主应关注销售量最大的尺码，即众数．从销售数据看，尺码销售13双，次数最多，为众数． ∴ 店主最应关注众数． 故答案为：C． 【跟踪训练2】．学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数据，学校选择人数最多的颜色作为校服颜色，对应的统计量是众数． 【详解】根据统计表，喜欢红色校服的学生人数为820，明显多于白色（100人）和蓝色（180人），因此，红色是这组数据中出现次数最多的颜色，即众数； 学校参考众数这一统计量，选择最受欢迎的红色作为校服颜色，其他统计量（平均数、中位数、方差）均不适用于类别数据的比较； 故选：C． 【跟踪训练3】．某运动品牌专营店店主对上一周新进的某女款运动鞋销售情况统计如下： 尺码 平均每天销售数量/双 该店主决定在下周进货时，增加一些码运动鞋的数量，影响该店主决策的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的统计量，方差描述数据的离散程度．店主增加37码进货量，是因为该尺码销量最高，对应众数的定义． 【详解】解：店主需根据最畅销的尺码调整进货量，而众数恰好代表销量最高的数据，因此影响决策的统计量是众数 故选：B． 【解答题5道】 1．下列表格是刘小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题：（注：每次考试满分都是100分） 考试类别 平时成绩 期中考试 期末考试 第四章 第五章 第六章 第七章 成绩 88 92 90 86 90 96 (1)刘小明6次成绩的众数为 ，中位数为 ； (2)计算刘小明平时成绩的方差； (3)按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如扇形图所示，请你求出刘小明本学期的综合成绩，要写出解题过程． 注：可能用到的公式． 【答案】(1)分，分 (2) (3)分 【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解即可 （2）根据方差的计算公式代入求解即可； （3）根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：由表格分析可知，刘小明6次成绩从小到大排列为：86，88，90，90，92，96，出现次数最多的数是90，小明6次成绩的众数是90分，中位数为； （2）解：平时成绩的平均分， ∴小明平时成绩的方差：， ∴小明平时成绩的方差为5； （3）解：（分）． ∴小明本学期的综合成绩是分． 2．《CCTV电视节目主持人大赛》是由中央广播电视总台精心打造的一项重大赛事，节目通过搭建优秀电视节目主持人才的国家级竞争平台，力求选拔出一批具有文化素质好、专业能力强、实践经验丰富、人物个性鲜明的优秀电视节目主持人．某市为了选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：88，90，90，92，95； b．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 m n 观众评委 89 90 91 根据以上信息，回答下列问题： ①写出表中m，n的值； ②比赛规定初赛按专业评委均分占，观众评委均分占计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛； (2)决赛由5位专业评委打分（百分制）．如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致．5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91．前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，试求第五名评委给乙选手的打分成绩（打分为整数）． 【答案】(1)①90，90，②可以进入决赛 (2)第五位评委给乙的打分为93分 【详解】（1）解：①将专业评委打分按照从小到大的顺序排列为88，90，90，92，95， ∴这组数据的中位数． ∵90在这组数据中出现次数最多， ∴这组数据的众数； ②∵，且， ∴该选手可以进入决赛； （2）解：甲的平均分是：， 甲的方差是：， 设第5位评委给乙的打分为x分，则，解得． 当x取93时，乙的平均分为92，乙的方差是：． ∵，， ∴93分符合题意． 当x取94时，乙的平均分为92.2，乙的方差是：， ∵，， ∴94分不符合题意． 若x取比94大的整数，方差会更大， ∴均不符合题意． ∴第五位评委给乙的打分为93分． 3．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表：                  统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图； (2)表格中的S甲2______S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）； (3)综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)＞ (3)选择乙公司，理由见解析 【详解】（1）解：由题可知，甲公司配送速度得分为9分的频数为， ∴补全频数分布直方图如答案图所示； （2）由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，乙公司的得分数据比甲公司的得分数据波动小， ∴． （3）综上，无论是配送速度还是服务质量得分，均是乙公司更好，因此我认为该农产品种植户应选择乙公司． 4．为落实《国家学生体质健康标准》，某校重点监测八、九年级男生身体素质．本次校内模拟体测设1000米（）、50米（）、引体向上（）三项，得分均为百分制（综合分四舍五入，保留整数）．为优化教学，学校从八、九年级各抽12名男生的模拟数据进行分析． 信息1：八年级12名男生体测单项得分表（单位；分） 学生编号 1000米得分 50米得分 引体向上得分 综合得分 1 65 60 62 63 2 72 70 70 71 3 78 75 75 4 80 80 80 80 5 84 82 80 82 6 88 85 82 85 7 88 85 85 86 8 88 85 85 86 9 100 100 60 88 10 90 100 78 89 11 95 92 90 93 12 98 96 95 97 信息2：九年级12名男生体测综合得分数据（单位：分） 学生编码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合得分 75 80 83 85 88 88 88 90 92 93 99 100 信息3：九年级12名男生综合得分箱线图    信息4：八、九年级抽取男生体测（综合得分）统计表： 年级 综合得分平均分 中位数 众数 方差 八年级 83 85.5 81.83 九年级 88 88 47.91 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)请求出八年级编号为3的学生的综合得分（四舍五入，保留整数）． (3)根据抽查的数据，请判断哪个年级的体测成绩更好，并说明理由． 【答案】(1)88；84；86 (2)八年级编号为3的学生的综合得分为76分 (3)九年级的成绩更好，理由见解析 【分析】本题主要考查箱线图及中位数、众数、平均数和方差，熟练掌握中位数、众数、平均数和方差的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式解答即可； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，九年级的中位数，下四分位数为， 八年级的众数， 故答案为：88，84，86； （2）解：（分）， 答：八年级编号为3的学生的综合得分为76分； （3）解：九年级的体测成绩更好，理由如下： 因为九年级的体测成绩的平均数比八年级高，方差比八年级小成绩更稳定，所以九年级的体测成绩更好． 5．郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲、乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，______个，可以看出，______（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，______（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______个，②处应填______个，③处应填______个；基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数______乙命中球数的中位数（填＞，＜或＝），且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 9.5 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，乙，乙；（2），9，10，相等．（3）选择乙选手参加市级校园投篮比赛，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、方差等知识点，正确理解相关定义是解题的关键． （1）先根据平均数的公式即可求得，即可确定谁的平均成绩略高；再根据方差的意义，即可确定谁的投篮水平发挥更稳定； （2）先把选手甲、乙的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义即可解答； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ， ∴乙的成绩略高， ∵， ∴乙的投篮水平发挥更稳定， 故答案为：9，乙，乙． （2）选手甲的数据从小到大排列为， ∴下四分位数为，即，中位数为，即， 选手乙的数据从小到大排列为， ∴上四分位数为， 基于四分位数或箱线图，可以发现学生甲的投篮成绩比学生乙的投篮成绩波动大， 故答案为：，9，10，相等． （3）选择乙选手参加市级校园投篮比赛，理由如下： ∵甲、乙两名选手的中位数相等，但乙选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． ∴选择乙选手参加市级校园投篮比赛． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 离差平方和与方差及四分位数与箱线图 《知识解读+题型专练》 【题型1 求离差平方和】 4 【题型2 离差平方和的应用】 6 【题型3 求方差】 10 【题型4 利用方差求未知数据的值】 12 【题型5 根据方差判断稳定性】 15 【题型6 运用方差做决策】 16 【题型7 标准差】 18 【题型8 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）】 20 【题型9 求四分位数】 22 【题型10 画箱线图】 24 【题型11根据要求选择合适的统计量】 27 【题型12 利用合适的统计量做决策】 29 【解答题5道】 31 3.3 离差平方和与方差 核心知识点 一、基础知识点 1. 离差 定义：对于一组数据，平均数为，每个数据与平均数的差叫做该数据的离差，反映单个数据偏离平均数的程度。 2. 离差平方和 定义：各个数据离差的平方和，记作。 公式： 意义：反映一组数据偏离平均数的总程度，数值越大，数据整体波动越明显。 3. 方差 定义：离差平方和的平均数，是衡量数据离散程度的核心统计量，记作。 公式： 意义：方差越小，数据波动越小，稳定性越强；方差越大，数据波动越大，稳定性越差。 4. 标准差 定义：方差的算术平方根，记作。 公式： 意义：单位与原数据一致，弥补方差单位与原数据不一致的缺陷，同样反映数据波动大小。 5. 样本估计总体 当总体数据量较大时，选取具有代表性的样本，用样本平均数、样本方差分别估计总体平均数、总体方差，体现统计的核心思想。 二、3.3离差平方和与方差 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型1 求离差平方和 第一步：计算数据的平均数；第二步：计算每个数据的离差并平方；第三步：将所有离差平方相加求和。 题型2 离差平方和的应用 通过离差平方和大小对比两组数据的总波动程度，数值越大，数据偏离平均数的整体程度越大。 题型3 求方差 先算平均数，再求离差平方和，最后用离差平方和除以数据个数，牢记方差公式，计算时避免平方、求和失误。 题型4 利用方差求未知数据的值 设未知数据为，先表示出平均数，再代入方差公式列方程，解方程后检验结果是否符合数据意义。 题型5 根据方差判断稳定性 核心结论：方差越小，数据波动越小，稳定性越强；方差越大，数据波动越大，稳定性越差，直接对比方差数值即可。 题型6 运用方差做决策 需考量数据稳定性、一致性的场景（如选手选拔、产品质检、成绩稳定性），优先选择方差更小的对象。 题型7 标准差 先计算方差，再对方差开平方取算术平方根，标准差为非负数，单位与原数据统一，用于描述波动大小。 题型8 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 选取随机、具有代表性的样本，计算样本的平均数和方差，以此推断总体的平均水平和波动情况。 3.4 四分位数与箱线图 核心知识点 一、基础知识点 1. 四分位数 将一组数据从小到大排列后，平均分成四等份的三个分界点数值，分别为下四分位数（Q₁）、中位数（Q₂，第二四分位数）、上四分位数（Q₃）。 计算步骤：① 数据从小到大排序；② 求中位数Q₂；③ 求前半部分数据的中位数（Q₁）、后半部分数据的中位数（Q₃）。 意义：反映数据中间50%部分的分布情况，不受极端值影响。 2. 箱线图 定义：以四分位数和极值（最小值、最大值）为基础绘制的统计图，直观呈现数据的分布特征、离散程度和异常值。 构成要素：最小值、下四分位数（Q₁）、中位数（Q₂）、上四分位数（Q₃）、最大值，中间矩形为“箱体”，箱体两侧延伸线为“ whisker（须线）”。 解读：箱体越短，中间50%数据越集中；箱体越长，数据越分散；中位数位置反映数据偏态。 3. 统计量的选择 不同统计量适用场景不同，需结合分析目的，选择集中趋势（平均数、中位数、众数）或离散程度（方差、标准差）统计量，全面分析数据特征。 二、3.4四分位数与箱线图 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型9 求四分位数 第一步：数据严格从小到大排序；第二步：确定中位数Q₂；第三步：拆分数据，求前后半部分的中位数，即Q₁和Q₃。 题型10 画箱线图 第一步：找出最小值、Q₁、Q₂、Q₃、最大值；第二步：绘制数轴，标注五个数值；第三步：画箱体（Q₁-Q₃）、中线（Q₂）、须线（连极值）。 题型11 根据要求选择合适的统计量 ① 求平均水平选平均数；② 求中间水平选中位数；③ 求频次选众数；④ 判稳定性选方差/标准差；⑤ 看分布选四分位数/箱线图。 题型12 利用合适的统计量做决策 结合实际场景需求，先选定对应统计量，计算数值后对比分析，综合集中趋势与离散程度给出决策结论。 三、易错提醒与核心总结 易错点：1. 计算方差时，忘记除以数据个数，误将离差平方和当作方差；2. 求四分位数前未排序，导致结果错误；3. 混淆方差与标准差的关系，标准差是方差的算术平方根；4. 选择统计量时，忽略极端值对平均数的影响。 核心总结：集中趋势统计量刻画数据“平均/中间/集中水平”，离散程度统计量刻画数据“波动大小”，四分位数与箱线图直观呈现数据分布，两类统计量结合使用，才能全面分析数据。 【题型1 求离差平方和】 【典例1】．在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 【跟踪训练1】．以下关于组间离差平方和的说法正确的是（    ） A．组间离差平方和越大，说明各组数据的平均值越接近 B．组间离差平方和的计算与每组的平均值无关 C．组间离差平方和不可能为负数 D．组间离差平方和只与每组的最大值和最小值有关 【跟踪训练2】．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪训练3】．数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【题型2 离差平方和的应用】 【典例2】．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【跟踪训练1】．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪训练2】．下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【跟踪训练3】．学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【题型3 求方差】 【典例3】．计算一组数据，，8，，，的方差为，则数据7，8，4，6，5，6的方差为 A． B． C． D． 【跟踪训练1】．若一组数据2，4，x，1，6的平均数是3，则这组数据的方差为（   ） A．2 B．3.5 C．3.2 D．5 【跟踪训练2】．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动．李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据： 时间 人数名 关于家务劳动时间的描述正确的是（   ） A．众数是 B．平均数是 C．中位数是 D．方差是 【跟踪训练3】．已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 【题型4 利用方差求未知数据的值】 【典例4】．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【跟踪训练1】．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【跟踪训练2】．吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【跟踪训练3】．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【题型5 根据方差判断稳定性】 【典例5】．义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班一样 D．无法确定 【跟踪训练1】．某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐 【跟踪训练2】．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【跟踪训练3】．甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高相同．身高的方差分别是，，则身高最整齐的花样游泳队是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型6 运用方差做决策】 【典例6】．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办，极大地提升了国民对运动的热情．某高校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一位，参加射击比赛，下表记录了四位同学平时成绩的平均数（单位：环）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参加比赛，则应选择是（    ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 9.1 8.6 7.9 9.1 方差 2.02 0.85 0.85 0.96 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪训练1】．为了杜绝孩子溺水事件的发生，很多学校为此开设了与游泳相关的课程，下表记录了某校4名同学蛙泳成绩的平均数（单位：秒）和方差，根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加校内比赛，应选择（   ） 队员1 队员2 队员3 队员4 /秒 51 48 51 49 3.5 3.5 7.5 8.5 A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4 【跟踪训练2】．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行奥运射击选拔赛，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示．根据表中数据，要从中选拔两名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应当选（    ） 甲 乙 丙 丁 A．甲、乙 B．甲、丙 C．丙、丁 D．乙、丁 【跟踪训练3】．某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，方差分别为，则应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都行 D．不确定 【题型7 标准差】 【典例7】．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【跟踪训练1】．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和标准差分别为x，s，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．一个运动员连续射击5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员本次射击所得环数的标准差为（    ） A．2 B． C．0 D． 【跟踪训练3】．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【题型8 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）】 【典例8】．李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 【跟踪训练1】．《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　） A．800石 B．890石 C．900石 D．1000石 【跟踪训练2】．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．某初中校有七、八、九三个年级．学期初，校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米．下列估计最合理的是（    ） A．该校学生的平均身高约为米 B．该校七年级学生的平均身高约为米 C．该校七年级女生的平均身高约为米 D．该校七年级男生的平均身高约为米 【题型9 求四分位数】 【典例9】．续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 【跟踪训练1】．祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【跟踪训练2】．现有一组数据：2，5，3，1，5，x，若该组数据的中位数是，则该组数据的下四分位数是（   ） A．2 B． C．3 D． 【跟踪训练3】．某射击队员打靶成绩为6，7，8，8，9，10环，则这组数据的下四分位数为（  ） A．7 B．8 C．8.5 D．9 【题型10 画箱线图】 【典例10】．体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【跟踪训练1】．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 【跟踪训练2】．有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11．其箱线图如图，下列说法错误的是（ ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【跟踪训练3】．有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（    ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据是3和18 【题型11根据要求选择合适的统计量】 【典例11】．运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 【跟踪训练1】．在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【跟踪训练2】．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 1 4 8 □ ○ 因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪训练3】．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如表： 尺码 22 23 24 25 销售量/双 1 2 3 9 5 6 4 店主决定在下次进货时增加一些尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【题型12 利用合适的统计量做决策】 【典例12】．商场准备购进500双某款滑冰鞋销售，为此调查了某段时间内，这款滑冰鞋不同鞋号的销售量，统计如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，商场计算了这些滑冰鞋鞋号的平均数、中位数、众数、方差．商场在购进这款滑冰鞋时，最关心的统计量为（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪训练1】．某鞋店在一段时间内销售了某品牌女鞋40双，各种尺码的鞋的销售量如下表： 鞋的尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 2 3 7 13 9 4 2 如果每双女鞋的利润相同，那么店主再购进一批该品牌女鞋时最关注的销售数据是下列统计量中的（   ） A．平均数 B．上四分位数 C．众数 D．方差 【跟踪训练2】．学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪训练3】．某运动品牌专营店店主对上一周新进的某女款运动鞋销售情况统计如下： 尺码 平均每天销售数量/双 该店主决定在下周进货时，增加一些码运动鞋的数量，影响该店主决策的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【解答题5道】 1．下列表格是刘小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题：（注：每次考试满分都是100分） 考试类别 平时成绩 期中考试 期末考试 第四章 第五章 第六章 第七章 成绩 88 92 90 86 90 96 (1)刘小明6次成绩的众数为 ，中位数为 ； (2)计算刘小明平时成绩的方差； (3)按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如扇形图所示，请你求出刘小明本学期的综合成绩，要写出解题过程． 注：可能用到的公式． 2．《CCTV电视节目主持人大赛》是由中央广播电视总台精心打造的一项重大赛事，节目通过搭建优秀电视节目主持人才的国家级竞争平台，力求选拔出一批具有文化素质好、专业能力强、实践经验丰富、人物个性鲜明的优秀电视节目主持人．某市为了选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：88，90，90，92，95； b．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 m n 观众评委 89 90 91 根据以上信息，回答下列问题： ①写出表中m，n的值； ②比赛规定初赛按专业评委均分占，观众评委均分占计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛； (2)决赛由5位专业评委打分（百分制）．如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致．5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91．前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，试求第五名评委给乙选手的打分成绩（打分为整数）． 3．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表：                  统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图； (2)表格中的S甲2______S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）； (3)综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 4．为落实《国家学生体质健康标准》，某校重点监测八、九年级男生身体素质．本次校内模拟体测设1000米（）、50米（）、引体向上（）三项，得分均为百分制（综合分四舍五入，保留整数）．为优化教学，学校从八、九年级各抽12名男生的模拟数据进行分析． 信息1：八年级12名男生体测单项得分表（单位；分） 学生编号 1000米得分 50米得分 引体向上得分 综合得分 1 65 60 62 63 2 72 70 70 71 3 78 75 75 4 80 80 80 80 5 84 82 80 82 6 88 85 82 85 7 88 85 85 86 8 88 85 85 86 9 100 100 60 88 10 90 100 78 89 11 95 92 90 93 12 98 96 95 97 信息2：九年级12名男生体测综合得分数据（单位：分） 学生编码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合得分 75 80 83 85 88 88 88 90 92 93 99 100 信息3：九年级12名男生综合得分箱线图    信息4：八、九年级抽取男生体测（综合得分）统计表： 年级 综合得分平均分 中位数 众数 方差 八年级 83 85.5 81.83 九年级 88 88 47.91 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)请求出八年级编号为3的学生的综合得分（四舍五入，保留整数）． (3)根据抽查的数据，请判断哪个年级的体测成绩更好，并说明理由． 5．郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲、乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，______个，可以看出，______（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，______（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______个，②处应填______个，③处应填______个；基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数______乙命中球数的中位数（填＞，＜或＝），且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 9.5 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $