5.1.2 第1课时 导数的概念 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.2 导数的概念及其几何意义 学习目标 学科素养 1.从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念.(重点) 2.通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想.(难点) 数学抽象 数学运算 人教A版2019选择性必修第二册 第1课时 导数的概念 知识回顾 问题2 抛物线的切线的斜率 割线斜率 切线斜率 问题1 高台跳水运动员的速度 平均速度： 瞬时速度： 问题一：解决这两类问题时有什么共性? 问题1 高台跳水运动员的速度 平均速度： 瞬时速度： h O t • • • • 平均速度： 瞬时速度： 探究新知 y O x • • • • 探究新知 问题一：解决这两类问题时有什么共性? 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率： 切线斜率： 割线斜率： 切线斜率： 问题1 高台跳水运动员的速度 平均速度： 瞬时速度： 探究新知 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率： 切线斜率： 问题一：解决这两类问题时有什么共性? ——平均变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——瞬时变化率 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法， 问题的答案也有一样的表示形式. 下面我们用上述思想方法，研究更一般的问题. 探究新知 问题二：一般地，对于函数 y＝f (x)，自变量x从 x0 变化到 这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？ 自变量 x ： 函数值 y ： 函数 y＝f (x) 从 x0 到 的平均变化率： 函数 y＝f (x) 探究新知 问题三：函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率该如何表示呢？ 追问：当 无限趋近于0时，平均变化率 是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？ 提示：思考 f (x)＝| x | 在 x＝0 处的变化情况. 当 时， 当 时， 这说明当 无限趋近于0时，平均变化率 不一定能无限趋近于一个确定的值. 探究新知 定义：如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，我们称 y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处的导数 ( 也称为瞬时变化率 ) ， 记作 或 . 用极限符号表示这个定义，就是 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 探究新知 问题四：根据导数的定义，你能用导数来重述高台跳水运动员的速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率. 比如效率、国内生产总值的增长率等. 问题1 高台跳水运动员的速度 问题2 抛物线的切线斜率 探究新知 解： 教材P65-例1.设 ，求 教材P66-练习2. 探究新知 问题五 你能总结出求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？ 第一步，写出 并化简； 第二步，求极限 ， 若 存在，则 习题巩固 教材P66 3. 一个质点A沿着直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t=2.7s时的瞬时速度. 4. 设函数 f (x)＝x2－1. 求： （1）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率； （2）函数在 x＝1 处的导数. 2 10.8 2.1 教材P65-例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为f(x)=x²－7x＋15(0≤x≤8). 计算第2 h与第6 h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 故在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 意义：在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降； 在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. f '(x0) (0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况 探究新知 课本P66-例3自学 变式： 能力提升 1. 课堂小结 二、导数(瞬时变化率)： 一、平均变化率： 三、求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤： 第一步，写出 并化简； 第二步，求极限 ， 若 存在，则 作业布置 1.教材P66练习3、4题. 2.导学案:P55-P57. $