5.1.1变化率问题 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题 学习目标 学科素养 1.通过实例分析，体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.(重点) 2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题. 3.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系,会求其斜率.(重点) 4.体会极限思想.(难点) 数学抽象 逻辑推理 数学运算 人教A版2019选择性必修第二册 高中数学中导数的 江湖地位 引入新知 为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数； 在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分(微分学和积分学). 17世纪，牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分. 19世纪下半叶，法国数学家柯西创立了极限理论，使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上. 本章介绍 微积分的创立主要与四类问题的处理相关: 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度； 求曲线的切线方程； 求已知函数的最大值与最小值; 求长度、面积、体积和重心等. 引入新知 探究新知 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. 因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 在本章，我们将学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数和极限的思想，感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 探究新知 问题1.高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=﹣4.9t²＋4.8t＋11. 思考1：你能否根据经验描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度？ 析：在上升阶段越来越慢,在下降阶段越来越快. 可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 思考2：如何计算跳水运动员在与时间段里的平均速度？ 探究新知 h O t • • • • h(t)=﹣4.9t²＋4.8t＋11. 探究新知 思考3：计算运动员在0≤ t ≤秒内的平均速度？你发现了什么？ 即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态. 瞬时速度 运动员在这段时间里并不处于静止状态. h(t)=﹣4.9t²＋4.8t＋11. h O t • • • • 探究新知 思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区别？ 你能否利用这种关系求运动员在t0时的瞬时速度？ 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是， h O t • • • • 瞬时速度是某一时刻的速度； 平均速度是某一时间段内的速度. 若不断缩短这一时间段的长度， 那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度. 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity） 探究新知 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是，若不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度. 思考5：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ 探究新知 不断缩短时间间隔，计算其平均速度得到如下表格 0.01 －4.951 0.001 －4.9951 0.0001 －4.99951 0.00001 －4.999951 0.000001 －4.9999951 …… 0.01 －5.049 0.001 －5.0049 0.0001 －5.00049 0.00001 －5.000049 0.000001 －5.0000049 …… 探究新知 思考5：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ v(1)=﹣5m/s 我们发现，当△t 无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于﹣5. 我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”， 探究新知 运动员在t=1s时的瞬时速度： 思考6：求运动员在t=2s时的瞬时速度？ 思考7：求运动员在t=t0s时的瞬时速度？ 探究新知 瞬时速度 平均速度 本质：瞬时速度是平均速度的极限. 平均速度： 瞬时速度： 无限逼近的极限思想 h O t • • • • 探究新知 解: (1) 教材P61 探究新知 解: (2) 教材P61 探究新知 3．一个小球从5m的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)＝－4.9t2．求t=1s时小球的瞬时速度． 解: ∴ t=1s时小球的瞬时速度为－9.8m/s． 教材P62 探究新知 1．某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式y＝5t2＋6．求： （1）2≤t≤3这段时间的平均速度； （2）t＝2s时的瞬时速度． 补充练习 探究新知 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 思考1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ P0 不一定！ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 问题2：抛物线切线的斜率 探究新知 思考2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 不一定！ f(x)＝sinx x y O －1 1 　　由此，我们不能再像研究直线与圆的位置关系时那样，通过交点的个数来定义相切了. 探究新知 思考3：对于一般曲线C，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线 f(x)＝x2 为例. 对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？ 在点P0(1, 1)附近任取一点P(1+△x,f(1+△x) ) 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T， 故把直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线. 探究新知 思考4：如何求抛物线 f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0？ 无限逼近 本质：切线斜率是割线斜率的极限 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 切线位置 割线位置 例.试计算曲线y=x2+2x在点(2,8)处的切线斜率，并求该切线方程. 探究新知 探究新知 解: 教材P64 探究新知 切线斜率： 割线斜率： 本质：切线斜率是割线斜率的极限. y O x • • • • 探究新知 补充练习 1．求抛物线 f(x)＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程． 2. 求曲线y＝ x2－2在点(1，－ )处的切线的倾斜角． 解: 4x＋y﹣3=0 解: 45° 课堂小结 平均速度： 瞬时速度： h O t • • • • 切线斜率： 割线斜率： y O x • • • • 作业布置 1.导学案:P52-P55. 2.课时作业（十四） 在这段时间里， ； 在这段时间里， 一般地，在这段时间里， ． Lavf58.46.101 Lavf58.46.101 Lavf58.46.101 $