28.2.2 应用举例(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（人教版）

数学 九年级下册（人教版） 28.2.2 应用举例（第二课时) 知识梳理①形成联系 【知识点1】方位角 北（正北） ©如图28.2-5，(1)点A在0的 方向上. 459 (2)点B在0的 方向上 西（正西） 60A 60 东（正东） (3)点C在0的 方向上 45 C B 【知识点2】坡度 南（正南） 图28.2-5 ©如图28.2-6，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC与坡 面AB所成的∠ABC称为 ，一般地，线段 的长度称 izh:L 为斜坡AB的水平宽度，线段 的长度称为斜坡AB的铅垂高 度；坡面的铅垂高度h与水平宽度l的 叫做坡面的坡度，用 图28.2-6 表示，记作=冬-aur 例题点拨Q素养导向 【例1】如图28.2-7，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔 北 E团 距离为80nmle的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 60° P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离.（结果取 整数.参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，V3≈1.7) 3 【点拨】求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问 题，解决的方法就是作高线. 图28.2-7 【例2】如图28.2-8，为测量一座山峰CF的高度，将此山的 某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的， 测得坡长AB=800m,BC=200m,坡面AB的坡度为1：V3,坡 面BC的坡度为1：1. (1)AB段山坡的高度EF为 图28.2-8 m. (2)求山峰的高度CF(结果取整数.参考数据：V2≈1.41，V3≈1.732) 16 锐角三角函数 第二十八章 【点拨】要求高度，就要建立直角三角形，进而转化为解直角三角形问题.(1)过点B 作BH⊥AF于点H,根据坡度和坡角的关系求出∠A,根据含30°角的直角三角形的性质计 算即可.(2)由坡度为1：1可得等腰直角三角形，根据其性质求解CF 夯实四基达标闯关 1.如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向 北 正东方向航行了12 n mile到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上， 60 这时渔船与灯塔C的距离是() 。东 B A.12V3 n mile B.6V3 n mile 第1题图 C.6 n mile D.4V3 n mile 2.如图，一辆小车沿着坡度为=1：V3的斜坡向上行驶了60m, 则此时该小车离水平面的垂直高度为() 777777777777 水平面 A.30m B.30V2 m C.30V3 m D.35m 第2题图 3.人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若 AB,AC的长都为2m,当a=65时，人字梯顶端离 地面的高度是 m.(结果精确到0.1m.参考 222299 依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 4.如图，某林业员要在山坡上种树，要求相邻 第3题图 第4题图 两树之间的水平距离是2m,已知斜坡的坡度为1：3，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 m.(结果保留根号) 5.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需经B地，已知B地 位于A地北偏东67°方向，距A地390km,C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧 15,c0s67° 道，建成两地直达公路，求公路AC的长.（结果保留整数.参考数据：sin67°≈ 各.am67=号，V万-173) 北 ·东 302 579 第5题图 数学 九年级下册（人教版） 能力提升螂综合拓展 6.如图1是海景摩天轮，游客可以在碧海蓝天之间领略城市的磅礴气势.图2是它的简 化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小李在E处测得摩天轮顶 端A的仰角为24°，她沿水平方向向左行走122m到达点D,再沿着坡度=0.75的斜坡走了 20m到达点C,然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处(A,B,C,D,E 均在同一平面内)，求摩天轮AB的高度.（结果保留整数.参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈ 0.91,tan24°≈0.45) D 图1 图2 第6题图 中考链接©真题演练 7.(2025·绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度 i=1:V2(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)， 堤坝高BC=15m,则迎水坡面AB的长度是 m. 2-- A 8.(2025·长沙)如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点 第7题图 M,景点A,B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道 路b上又开发了风景优美的景点D.测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点 A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800m. (1)求∠ACB的度数， (2)求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号） 15 609 30 A 第8题图 ⑧数学 九年级下册（人教版） 由题意得，AB=57m,DE=30m,∠A=37°，∠DCF R△ADP中，sin4=PD 45°.在Rt△ADE中，∠AED=90°， AP ,tan37=DE≈0,75.，AE=40m ,PD=AP:sinM=AP,sin60°=80xY3≈68 AE AB=57m,…BE=17m. (n mile) 四边形BCFE是矩形，.CF=BE=17m 在R△BDP中，sinB=PD 在Rt△DCF中，∠DFC=90°， BP' ∴.∠CDF=∠DCF-45°. PB=PD=PD≈6&≈113(n mile) sinB sin37°0.6 .DF=CF=17m,∴.BC=EF=30-17=13(m). 答：教学楼BC高约13m. 答：轮船所在B处与灯塔P的距离约为 6.解：如图，延长DC与BM交于点N,过点A 113 n mile. 作AP⊥DC于点P. 1609 东 37 M N B 第6题答图 .CD⊥BM,AB⊥BM, ∠APN=∠PNB=∠ABN=90°， 例1题答图 例2题答图 .四边形APNB为矩形，.AB=PN. 【例2】解：(1)过点B作BH⊥AF于点H, 根据题意，可得∠ACP90°-30°=60°， 则四边形BFE为矩形，EF=BH ∠ADP-90°-45=45°，CN=50m,DC=200m, :坡面AB的坡度为1：√3， 在Rt△APC中，tan∠ACP-tan60=4P-V3. PC .∴AP-V3PC. a4==厚，2A=30 V33 在RtAAPD中，an∠ADP=tan45==l, BH=1AB=800x=400(m). 2 2 ..DP=AP=V3 PC, ∴.EF=400m.故答案为400. .DC=200 m,.PC+PD=PC+V3 PC=200 (m), (2)坡面BC的坡度为1：1， .PC=200,100(V3-1D≈100x(173-1=73(m. .∠CBE-45°， V3+1 :CE=2BC=100V2, .CN=50,.AB=PW=PC+CN=73+50=123(m). 2 答：桥拱门的高度AB约为123m .CF-CE+EF=100V2+400≈541(m). 7.7.48.180 答：山峰的高度CF约为541m 28.2.2应用举例（第二课时） 【知识点1】(1)北偏东60°(2)东南或 1.D2.A3.1.84.2Y0 3 南偏东45°(3)南偏西30 5.解：过点B作BD⊥AC于点D, 【知识点2】坡角BCAC比值 B地位于A地北偏东67°方向，距A地390km. 【例1】解：过点P作PD⊥AB于点D, 在Rt△ABD中，∠ABD=67°， 由题意知，AB∥EF,∠ADP∠BDP=90°， AB,COs67°=BD ·sin67-AD AB' AP=80 n mile. AD=AB-sin67°≈390x2-360(km）. ∴.∠A=∠EPA=60°，∠B=∠BPF=37 13 30 参考答案 BD=4B-cos67°=390x号-150(km）. DM,BE∥AF∥DM, 北 →东 一东 45 B E60% 0 a A: M 第8题答图 第5题答图 .∴.∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=-30°， ∴.∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°. .C地位于B地南偏东30°方向， (2)方法一： 在Rt△BDC中，∠CBD=30°， ∠CBE=60°，∴.∠CBM=90°-∠CBE=90°-60°=30°. :.CD-BD.tan30=150xV3=50V3 (km). 由(1)得∠ACB=30°，.∠ABC=∠ACB=30°. 3 .AB=800 m,.A B=A C=800 m. .AC=AD+CD=360+50V3≈446.5(km),∴.AC≈ 447(km). 在A4CM中.snAC兴.AC- AC 答：公路AC的长约为447km 6.解：如图，过点B作BM1ED交ED的延长线 AM-AGsin_AGM-800sin30x(m) 于点M,过点C作CW⊥DM于点N, CM=AC-cosLACM=800c0s30=800x3400V3 (m), .BM=BA+AM=800+400=1200(m). .∠BDM=45°，BM⊥DM,.DM=BM=1200m, B .∴DC=DM-CM=1200-400V3(m), M ND 景点C与景点D之间的距离为 第6题答图 (1200-400V3)m. 则MN=BC=40m,BM=CW. 方法二： 在R△c0N巾，i贷-075， .∠CBE=60°，∠CAF=30°，BE∥AF∥DM, .∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°. .设CW=3xm(e>0),则DN=4xm, 设AM=xm,AC=2xm, .CD=VC+D7=5x=20,解得x=4, ..CM=V3AM=V3x (m). .CN=12m,DN=16m, 在Rt△BCM中，tanL BCM=-BM_8O0+x .BM=12m,EM=MN4D+DE-40+16+122=178(m）. CMV3x 在Rt△AEM中，tan24e=AL≈0.45， BM 即V3=800+t,解得x=400, V3x 12+4B≈0.45,4B=178x0.45-12=681=68(m), 经检验，得x=400是原方程的解， 178 .摩天轮AB的高度约为68m. ∴.BM=BA+AM=800+400=1200(m), .·∠BDM=45°，BM⊥DM, 7.15V3 ∴.BM=DM=1200m, 8.解：(1)如图，由题意可知，点C位于景点B 的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向 .DC=DM-CM=1200-400V3(m). 景点C与景点D之间的距离为 上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上， ∴.∠CBE=60°，∠CAF=30°，∠BDM=45°，BM⊥ (1200-400V3)m. 31