28.2.2 解直角三角形（方向角、坡度） 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 28.2.2 应用举例 第二十八章 锐角三角函数 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第3课时 第二十八章 锐角三角函数 利用方向角、坡度解直角三角形 第3课时 第二十八章 锐角三角函数 如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航线.在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航线，有没有进入危险区的可能. B C A 北 30° 60° 思考： 如何判断渔船有没有可能进入危险区？ 新知导入 第二十八章 锐角三角函数 1. 正确理解方向角、坡度的概念. 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题. 3. 能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等. 学习目标 第二十八章 锐角三角函数 方位角的定义： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角. 30° 45° B O A 东 西 北 南 北偏东30° 南偏西45° 知识点 1 方向角的有关问题 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 东 西 北 南 O (1)正东，正南，正西，正北 (2)西北方向:_________ 西南方向:__________ 东南方向:__________ 东北方向:__________ 射线OE A B C D OF OG OH 45° 射线OE 射线OF 射线OG 射线OH E G F H 45° 45° 45° 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 注意 （1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”, “南偏……”,的形式. （2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解. （3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？ 65° 34° P B C A 有关方向角的实际问题——距离 素养考点 1 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 解：如图 ，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°－65°） =80×cos25° ≈80×0.91 =72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时， 它距离灯塔P大约130n mile． 65° 34° P B C A 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 10 归纳总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 1.美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向.一游客自景点A驾船以每分钟20 m的速度行驶了10分钟到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间(精确到1分钟)? 解:根据题意,得AC=20×10=200(m). 如图所示,过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ADC中, , DC=AC·sin ∠CAD=200·sin 30°=100. 在Rt△ADB中, . ∴ . ∴ (分). 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 素养考点 2 有关方向角的实际问题——预测路线 知识探究 如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航线.在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航线，有没有进入危险区的可能. B C A 北 30° 60° 思考：如何判断渔船有没有可能进入危险区？ 第二十八章 锐角三角函数 分析：只需要计算垂线段CD的长度即可. CD即渔船与小岛的最近距离， 当CD≥10时，没有危险；当CD＜10时，有危险. D B C A 北 30° 60° 转化为数学问题：如图，AB的长为 海里，∠EAC=60°,∠FBC=30°,求CD的长. E F 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 20 B C A 北 30° 60° D E F 法一： 解： 过点C作CD⊥AB的延长线于点D. 则∠CBD=60°,设BD=x， 在Rt△BCD中 ∴CD=BD·tan∠CBD=x 在Rt△ACD中， ，解得 x=10， ∴渔船不会进入危险区. 两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 20 B C A 北 30° 60° D E F 法二： 解： 过点C作CD⊥AB的延长线于点D. 则∠CBD=90°-30°=60°, ∵∠1=90°-60°=30° ∴∠2=∠1=30° ∴BC=AB=20 在Rt△BCD中 ∴渔船不会进入危险区. 把已知数值导入Rt△CBD中，不再用设未知数 1 2 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 20 B C A 北 30° 60° D E F 法三： 解： 过点C作CD⊥AB的延长线于点D. 则∠CBD=60°,设CD=x, 在Rt△BCD中 在Rt△ACD中， ∴渔船不会进入危险区. 两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 用三角函数求边长时的注意事项 1.当给出的已知边长恰为直角三角形的边长时，可直接计算； 2.当给出的已知边长不是直角三角形的边长时，可设未知数； 3.当图形中出现两个直角三角形时，一般会用两次三角函数. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 2. 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 (参考数据： ≈1.732， ≈1.414)? 北 东 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 解：过点P作PC⊥AB于点C． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200， 即 ， 解得 PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会 穿越保护区． C 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i' =1:2.5,求斜坡AB的坡角 ，坝底宽AD和斜坡AB的长. 知识探究 知识点 2 坡度、坡角有关的问题 第二十八章 锐角三角函数 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l . α l h i= h : l 坡面 水平面 3.坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡， 即tan α的值就越大． 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 ⑴坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆; ⑵坡度通常写成“ h:l ”的形式 ⑶坡度i 和坡角α的关系为i＝tanα. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 α 表示。 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成 的形式。 h l 坡度越大 坡角越大 坡面越陡 α 水平面 坡面 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 （1）斜坡的坡度是 ，则坡角α =____度. （2）斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. （3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 3.完成下列各题 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 如图所示，小山岗的斜坡AC的坡度tan α＝ ，在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.(结果取整数，参考数据：sin 26.6°≈ 0.45，cos 26.6°≈ 0.89，tan 26.6°≈ 0.50) 解： 设小山岗的高AB为x m，在Rt△ABC中，   ∴BC＝ x m． ∴BD＝DC＋BC＝ ∵在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ tan 26.6°≈0.50， ∴ ≈0.50，解得x≈300.答：小山岗的高AB约为300 m. 素养考点 1 利用坡度、坡角解答山坡问题 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 5. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 　　米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离． A C B D 30° 答案：点B和点C的水平距离为 米. E 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 1. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB等于 ． 90° 课堂检测 2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是（ ） A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟 B 第二十八章 锐角三角函数 3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A处． 如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB是 (　　) A．2海里 B．2sin 55°海里 C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里 C 4.如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是(　　) A．15 海里 B．30海里 C．45海里 D．30 海里 B 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 5.如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是(　　)米/秒． A．20( ＋1) B．20( －1) C．200 D．300 A 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 6. 如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000米，则他实际上升了______米． 1000 7.(1)斜坡的坡度是 ，则坡角α=___度. (2)斜坡的坡角是45°，则坡比是 _____. (3)斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. 30 1:1 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 8.如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________． 11 9.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为____海里(结果取整数)． (参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4) 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 坡度问题 方位角问题 坡角 坡度(或坡比) 课堂小结 解直角三角形的应用 第二十八章 锐角三角函数 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十八章 锐角三角函数 $$