专题18证明切线的常用方法练习2024—2025学年北师大版数学九年级下册

专题18证明切线的常用方法 类型一　有公共点：连半径，证垂直 1如图，AB为☉O的直径，OC⊥AB交☉O于点C，D为OB上一点，延长CD交☉O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF. （1）求证：EF为☉O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求☉O的半径. 2.如图，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E. （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　　　　　　，使直线DE为☉O的切线，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若DE＝6，tan∠ADE＝，求☉O的半径. 3.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的☉O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C. （1）求证：AC是☉O的切线； （2）若AC＝6，求☉O的半径. 4.如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF. （1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由； （2）①求证：CF＝OC； ②若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积. 5.如图，☉O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，点F在BC的延长线上，连接DF，∠F＝∠BAC. （1）求证：DF是☉O的切线； （2）从以下三个选项中选一个作为条件，使DF∥AC成立，并说明理由； ①AB＝AC； ②＝； ③∠CAD＝∠ABD. 你选的条件是：　　　　　　. 类型二　无公共点，作垂直，证半径 6.如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＋BC＝CD，以AB为直径作☉O. （1）求证：CD与☉O相切； （2）如图2，若CD切☉O于E点，连接OE，AC交于点F，若FC＝2AF，求的值. 7.如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M. （1）求证：CD与☉O相切； （2）若正方形ABCD的边长为4，求☉O的半径. 8.如图，AB是☉O的直径，AM，BN分别切☉O于点A，B，CD分别交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC. （1）求证：CD是☉O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求CD的长. 答案： 1.（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE. ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE. ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO＋∠OCD＝90°， ∴∠FED＋∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°，∴OE⊥FE. ∵OE是半径，∴EF为☉O的切线. （2）解：设☉O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r－1， ∴FE＝2BD＝2（r－1）. 在Rt△FEO中，由勾股定理得 FE2＋OE2＝OF2， ∴（2r－2）2＋r2＝（2r－1）2， 解得r＝3或r＝1（舍去）， ∴☉O的半径为3. 2.解：（1）添加条件：AB＝AC（答案不唯一）. 理由：连接OD. ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴BD＝DC. ∵OA＝OB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. ∵OD是半径，∴DE是☉O的切线. 故答案为AB＝AC.（答案不唯一） （2）∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠DEC＝90°. ∵DE＝6，tan∠ADE＝＝，∴AE＝4. ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADE＋∠CDE＝90°，∠C＋∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠C， ∴tan C＝tan∠ADE＝＝， ∴EC＝9，∴AB＝AC＝AE＋EC＝4＋9＝13， ∴☉O的半径为6.5. 3.（1）证明：如图，连接OA， ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB. ∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C， ∴∠OAB＝∠C. ∵∠CAD＝∠C， ∴∠OAB＝∠CAD. ∵BD是☉O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°， ∴OA⊥AC. ∵OA是☉O的半径，∴AC是☉O的切线. （2）解：由（1）可知∠OAC＝90°， 由圆周角定理得∠AOD＝2∠B. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∴∠AOC＋∠C＝2∠B＋∠C＝3∠C＝90°，∴∠B＝∠C＝30°. 在Rt△ABD中，BD＝＝＝4， ∴OB＝2，∴☉O的半径为2. 4.（1）解：结论：DE是半圆O的切线.理由：连接OB，BF，BF交OC于点G，图略.∵四边形OABC是平行四边形， OA＝OC，∴四边形OABC是菱形，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC， ∴△ABO，△BCO都是等边三角形，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COF＝60°. ∵OB＝OF，∴OG⊥BF. ∵AF是直径，CD⊥AD， ∴∠ABF＝∠DBG＝∠D＝∠BGC＝90°， ∴四边形BDCG是矩形，∴∠OCD＝90°， ∵OC是☉O的半径，∴DE是半圆O的切线. （2）①证明：由（1）可知：∠COF＝60°，OC＝OF，∴△OCF是等边三角形， ∴CF＝OC. ②解：在Rt△OCE中，OC＝12，∠COE＝60°，∠OCE＝90°， ∴OE＝2OC＝24，EC＝12， ∴S阴影＝S△COE－S扇形COF＝×12×12－＝72－24π. 5.（1）证明：∵BD是☉O的直径， ∴∠BAD＝90°，即∠BAC＋∠CAD＝90°. ∵∠BAC＝∠F，∠CAD＝∠DBF， ∴∠DBF＋∠F＝90°，∴BD⊥DF. ∵OD是☉O的半径，∴DF是☉O的切线. （2）解：选②或③. 若选②，理由： ∵＝，BD是☉O的直径， ∴AC⊥BD， 由（1）可知DF⊥BD，∴DF∥AC； 若选③，理由： ∵∠CAD＝∠ABD，∴＝. 又∵BD是☉O的直径，∴AC⊥BD. ∵DF⊥BD，∴DF∥AC. 6.（1）证明：如图1，连接CO，并延长CO，DA交于点H，过点O作OG⊥CD于点G， ∵∠DAO＝∠B＝90°，∴∠HAO＝∠B＝90°，∠AOH＝∠BOC，AO＝BO，∴△AOH≌△BOC（ASA）， ∴AH＝BC，HO＝CO. ∵AD＋BC＝CD，AH＋AD＝HD， ∴CD＝DH，∴∠H＝∠DCH. ∵∠OAH＝∠OGC＝90°，HO＝CO， ∴△AHO≌△GCO（AAS），∴AO＝OG. ∵OG为半径，OG⊥GC，∴CD与☉O相切. 　　 （2）解：如图2，作CT⊥BC交OE的延长线于T，连接AT. ∵∠B＝∠TCB＝90°，∴∠B＋∠TCB＝180°， ∴AO∥CT，∴＝＝2，∴CT＝2OA. ∵AB＝2OA，∴CT＝AB，∴四边形ABCT是平行四边形. ∵∠B＝90°，∴四边形ABCT是矩形， ∴∠ATC＝90°. ∵AT∥BC，AD∥BC，∴A，D，T共线， 设AD＝DE＝x，CB＝CE＝y，则DT＝AT－AD＝y－x. ∵CD是切线，∴OT⊥CD，∴∠DET＝∠DTC＝90°. ∵∠TDE＝∠CDT，∴△DTE∽△DCT， ∴＝，∴TD2＝DE·DC， ∴（y－x）2＝x（x＋y），整理得y2＝3xy. ∵y≠0，∴y＝3x，∴＝＝3. 7.（1）证明：如图，过点O作ON⊥CD于点N，连接OM， ∵☉O与BC相切于点M，∴OM⊥BC. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，AB∥CD，∴AB∥OM∥DC. ∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠NOC＝∠NCO＝∠MOC＝∠MCO＝45°. ∴OM＝ON，∴CD与☉O相切. （2）解：由（1）易知△MOC为等腰直角三角形，OM为半径， ∴设OM＝MC＝r，∴OC＝r， ∴AC＝AO＋OC＝r＋r， 在Rt△ABC中，AB＝BC，有AC2＝AB2＋BC2， ∴2AB2＝AC2，∴AC＝4. ∴r＋r＝4，∴r＝8－4，∴☉O的半径为8－4. 8.（1）证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E. ∵AM切☉O于点A，∴OA⊥AD. 又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA. ∵OA为☉O的半径，∴OE是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）. （2）解：∵AM，BN，DC分别切☉O于点A，B，E， ∴DA＝DE，CB＝CE， ∴DC＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13. 学科网（北京）股份有限公司 $$