3.5 直线与圆的位置关系（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

3.5 直线与圆的位置关系 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【考点3 切线的判定】 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【考点6 三角形的内切圆与内心】 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【典例1】已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交 【变式1-1】已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【变式1-1】在平面直角坐标系中，过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【变式1-2】已知，的半径为一元二次方程的根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 知识点2 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【典例2】如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D．4 【变式2-1】如图，是的切线，点C是上的一点，连接，，交于点B，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，是的切线，点C是切点，连接交于点B，延长交于点A，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】如图，是的切线，点A为切点，弦，连接并延长交于点B．若，，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【考点3 切线的判定】 【典例3】如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)，，求的半径． 【变式3-1】如图，是的直径，是的切线，于点E，交于点，连接．求证：是的切线． 【变式3-2】如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 【变式3-3】如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【典例4】如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【变式4-1】如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【变式4-2】如图，与的边相切于点B，与边相切于点D，与边交于点E，是的直径． (1)求证：； (2)若的半径是，，求的长． 【变式4-3】如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 知识点3 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【典例5】如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（    ） A． B．6 C． D． 【变式5-2】如图，分别切于交于两点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】如图，A是外一点，，分别与圆O相切于B，C，P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．若的半径为4，，则的周长为（　　）    A． B．8 C． D．12 【变式5-4】如图，在四边形中，是四边形的内切圆，分别切于F，E两点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【考点6 三角形的内切圆与内心】 【典例6】如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-1】如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（    ） A．14 B． C．16 D．18 【变式6-2】如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且，，，则的半径是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-3】如图，在中，已知，，，为的内切圆，点D是斜边AB的中点，则为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在下列语句中，错误的是（    ） A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．矩形的四个顶点在同一个圆上 D．三角形的内心是其内角平分线的交点 2．如图，与相切于点B，的延长线交于点C，若，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（     ）．    A． B． C． D． 4．已知两圆的半径分别是与，圆心距为，那么这两个圆的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 5．如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（    ） A．6 B． C． D． 6．如图，小颖画出了一件出土的古代文物碎片示意图，为求其外圆半径，连接外圆上的，两点，并使与文物内圆相切于点，已知为文物外圆和内圆的圆心，连接并延长交外圆于点，测得，，则该文物的外圆半径是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 8．如图，分别切于A，B两点，，点C是上一点，则的度数为 ． 9．如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为 ． 10．如图，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为3，P为x轴上一动点，切于点B， 则最小值是 ． 11．如图， 已知分别切于点A 和B， C 是优弧上任意一点， 且 则 ． 三、解答题 12．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． AI (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径和的长． 13．如图，为的直径，为上一点，为的中点，过作的切线交的延长线于，交的延长线于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 14．如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接，点D在的延长线上且，点E在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.5 直线与圆的位置关系 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【考点3 切线的判定】 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【考点6 三角形的内切圆与内心】 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【典例1】已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：根据题意，得 的半径为，若直线与圆心的距离为， 直线和圆相交； 故选：D． 【变式1-1】已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系有三种：当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相离．只要比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小即可．根据直线与圆的位置关系比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小即可解答． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴点到直线的距离小于圆的半径， ∴直线与的位置关系是相交， 故选C． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有勾股定理的运用，判定点和圆的位置关系是解题关键． 先求出点与C的距离，再根据直线与圆的位置关系得出即可． 【详解】解：∵点与C的距离为， ∴点在以为圆心、4为半径的圆内， ∴过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是相交． 故选：A． 【变式1-2】已知，的半径为一元二次方程的根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故的半径为， ∵， ∴直线与圆相离 故选：C． 知识点2 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【典例2】如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用勾股定理求出，最后根据，据此计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，，， ， ∵， ∴， ， ，解得：． 故选：B． 【变式2-1】如图，是的切线，点C是上的一点，连接，，交于点B，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式2-2】如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2-3】如图，是的切线，点C是切点，连接交于点B，延长交于点A，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 ，由直径所对的圆周角等于可得出，,由圆的切线的性质可得出结合已知条件可得出,进一步证明是等边三角形，最后利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接 ，则， ∵是的直径， ∴，， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由直径所对的圆周角等于，切线的性质定理，等边三角形的判定以及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关键． 【变式2-4】如图，是的切线，点A为切点，弦，连接并延长交于点B．若，，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，正弦，正切等知识．熟练掌握切线的性质，垂径定理，正弦，正切是解题的关键．如图，记的交点为，由是的切线，弦，可得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵是的切线，弦， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【考点3 切线的判定】 【典例3】如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质证得．得出，由平行线的性质得出，则可得出答案； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，，设，则，．由勾股定理得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径． 是的切线． （2）解：过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设，则， ， 在中，， 即， 解得：， （舍去）， ， 即的半径为； 【变式3-1】如图，是的直径，是的切线，于点E，交于点，连接．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，线段垂直平分线的性质与判定等等，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 先由切线的性质得到，再由垂径定理得到是的垂直平分线，则，据此证明，得到，即可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接， 是的切线， ， ， 是的垂直平分线， ， 又，， ， ， 是的半径， 是的切线． 【变式3-2】如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查切线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：过点O作于点E， 于点D， ， ， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，是半径， 是的切线． 【变式3-3】如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查的是切线的性质定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可； （2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）证明：是的切线， ， ， ， ， ， ， ，即是的平分线； （2）解：设的半径为，则， 在中，， 即， 解得，， 则． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【典例4】如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，则； （3）作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）证明：， ， ， ， ． （3）解：作于点， ，平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 【变式4-1】如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定和性质，切线长定理，全等与相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据三角函数和勾股定理得到，再证明，根据三角形相似的性质得到答案． 【详解】（1）证明：过点O作于点E， 于点D， ， ， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，是半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， 则， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【变式4-2】如图，与的边相切于点B，与边相切于点D，与边交于点E，是的直径． (1)求证：； (2)若的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到结论； （2）先利用勾股定理得到，则，再证明，则利用相似比可求出，然后利用得出的长即可． 【详解】（1）证明：连接， 与的边相切于点B，与边相切于点D， ，， 在和中， ， ， ∵， ， ， ； （2） 在中， ， ， ∵， ， ，即， 解得：， ， ． 【变式4-3】如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 知识点3 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【典例5】如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理即可得结论． 【详解】解：、切于点、， ， 切于点，交、于、两点， ，， ． 则的周长是． 故选：B． 【变式5-1】如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，根据切线长定理可知的周长，连接在中，由勾股定理求出的长即可得出结论 【详解】解：连接，如图， ∵是等边三角形， ∴ ∵是的中点， ∴, ∵分别切于点M，N， ∴， 同理：， ∴的周长， 在中，， ∴的周长为， 故选：C 【变式5-2】如图，分别切于交于两点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线长定理可得，，然后由等边对等角与三角形外角的性质，求得，，继而求得的度数． 【详解】解：∵分别切于交于两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，即，， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 【变式5-3】如图，A是外一点，，分别与圆O相切于B，C，P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．若的半径为4，，则的周长为（　　）    A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】连接，证明，得到，从而求得的值，再利用切线的性质得到，则利用勾股定理计算的长，再根据切线长定理得到，，，然后利用等线段代换求得的周长． 【详解】解：连接， ∵、分别与切于点B、C， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵与相切于点P， ∴，， ∴ ， 故选：C．    【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【变式5-4】如图，在四边形中，是四边形的内切圆，分别切于F，E两点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作DG⊥BC于点G，连接OC、OE，根据切线长定理可得CE=CF，OC平分∠ECF，DF=DH，所以OC垂直平分EF，令OC、EF相交于点M，则EM=FM，设圆半径为R，则DG=2R，CG=3，CD=6-R+3-R，根据勾股定理可求出R，再利用求出EM即可求得EF． 【详解】连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图， ∵， ∴四边形ABGD是矩形， ∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3， ∵点E、F、H是切点， ∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF， ∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线， ∴EM=FM， 设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R，， ∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R， ∵， ∴ 解得：R=2， ∴CE=6-2=4， ∴， ∵，   ∴， ∴， 故选 A． 【点睛】本题考查了切线长定理，充分利用切线长定理求解相关线段长度是解题关键． 知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【考点6 三角形的内切圆与内心】 【典例6】如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，切线的性质、切线长定理等知识，解决本题的关键是掌握切线的性质和切线长定理． 设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，证得四边形是正方形，则，根据是的切线，可得，，求出再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，    ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ 由切线长定理可知，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 【变式6-1】如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（    ） A．14 B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，根据即可得到的周长． 【详解】解：如图：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：C． 【变式6-2】如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且，，，则的半径是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵为的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，， 如图，连接， ∵， ∴∠ODC=∠A=∠OFA=90°， ∴四边形是正方形， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 则圆O的半径为2． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式6-3】如图，在中，已知，，，为的内切圆，点D是斜边AB的中点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB＝13，再根据切线长定理可以求得AE＝4．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD＝ ，DE＝ ．根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得内切圆的半径是2，从而求得tan∠ODA的值． 【详解】解：设⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB． ∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB＝13， ∴AE＝， ∵⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点， ∴AD＝，则DE＝， ∴r ， ∴tan∠ODA＝ ． 故选：A． 【点睛】本题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半． 一、单选题 1．在下列语句中，错误的是（    ） A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．矩形的四个顶点在同一个圆上 D．三角形的内心是其内角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，内心，圆内接四边形，熟练掌握该知识点是本题解题的关键．根据圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，内心，圆内接四边形将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案． 【详解】解：A．直径是弦，故原说法正确，不符合题意． B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，符合题意． C．矩形的四个顶点在同一个圆上，故原说法正确，不符合题意． D．三角形的内心是其内角平分线的交点，故原说法正确，不符合题意． 故答案选：B． 2．如图，与相切于点B，的延长线交于点C，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，根据切线得，即可求得，继而利用圆周角定理求得． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 3．如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（     ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 4．已知两圆的半径分别是与，圆心距为，那么这两个圆的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系是解题的关键． 由两圆的半径分别是与，圆心距为，两圆的位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 【详解】解：两圆的半径分别是与，圆心距为， ，， ， ， 这两个圆的位置关系是相交， 故选：． 5．如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定，掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定是解本题的关键． 取上一点为，连接，，，利用圆周角定理得到，再根据切线的性质得出，进而证得，即可解出． 【详解】解：取上一点为，连接，，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 故选：A． 6．如图，小颖画出了一件出土的古代文物碎片示意图，为求其外圆半径，连接外圆上的，两点，并使与文物内圆相切于点，已知为文物外圆和内圆的圆心，连接并延长交外圆于点，测得，，则该文物的外圆半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据与文物内圆相切于点可知，由垂径定理得，然后根据勾股定理即可求得外圆的半径．本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，切线的性质，根据题意作出辅助线构早出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵与文物内圆相切于点， ∴， ，， ， 设外圆的半径为，则， 根据题意得：， 解得：． 该文物的外圆半径是． 故选：． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 7．的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相交 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的直径为，， ∴的半径为， ∵圆心O与直线l的距离为， ∴圆心O与直线l的距离小于的半径， ∴l与相交， 故答案为：相交． 8．如图，分别切于A，B两点，，点C是上一点，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和．根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后分两种情况，根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，当点在优弧上时，    ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 9．如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得 是解题的关键，根据垂径定理求得，，即可得到.则是等腰直角三角形，得出根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，进而即可求得 【详解】解： 为的直径，弦于点 ， ， 是等腰直角三角形 直线切于点， 是等腰直角三角形 故答案为： 10．如图，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为3，P为x轴上一动点，切于点B， 则最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题是解题的关键． 如图，连接，由勾股定理可知要使最小，只需最小；当轴于P时，最短，可确定点P的坐标，进而确定，最后在中求出的值即可． 【详解】解：如图，连接， 根据切线的性质定理，得 ， ∴要使最小，只需最小 当轴于P时，最短， 此时P点的坐标是， ∵A点坐标为， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值是4． 故答案为：4． 11．如图， 已知分别切于点A 和B， C 是优弧上任意一点， 且 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接、，如图，先根据切线的性质得到，则利用四边形的内角和得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互补得到的度数． 【详解】解：连接、，如图， 和分别切于点，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 12．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． AI (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)半径为6， 【分析】（1）连接，由角平分线的定义得出，结合等边对等角得出，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）设，则，由勾股定理计算得出的半径为6，，作于，由等面积法得出，再由角平分线的性质定理即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设，则， 在中，由，可得， 解得：， 即的半径为6，， 作于， 由等面积法可得：， ， 由角平分线的性质定理可得：． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 13．如图，为的直径，为上一点，为的中点，过作的切线交的延长线于，交的延长线于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为3 【分析】本题主要考查切线的判定和性质，勾股定理，在（2）中利用勾股定理求得的长是解题的关键． （1）连接，则，由D为中点可知，则有，可得，且，利用角的和差可求得，可知为切线； （2）由勾股定理求出，设的半径为，则在中，有，即，求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为切线， ， 为中点，， ，， ∴为的垂直平分线， ， ， ，即， ， 又为的半径， 为的切线； （2）解：为切线， ， 由（1）得，， 在中，有， 设的半径为，则 在中，有，即， 解得， 即的半径为3 14．如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接，点D在的延长线上且，点E在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论； （2）设，，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 又是的直径， ， ， ， 即， ， 是半径， 是的切线； （2）解： ，且， 设，， ， ， 又，， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等边对等角、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$