3.3 垂径定理-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

圆第三章 垂径定理 自主导学Q典例精析 例题1如图，AB,CD是半径为5的⊙0的两条弦，AB=8,CD= 6,MN是直径，AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一 E 点，连接PA,PC,求PA+PC的最小值 O P F 【分析】A,B两点关于MW对称，因而PA+PC=PB+PC,即当B,C, P在一条直线上时PA+PC的值最小，BC的值就是PA+PC的最小值， 例题1图 【解答】如图，连接OA,OB,OC,BC,作CH⊥AB于点H.根据垂径 H 定理，得BE=7AB=4,CF=号CD=3.0E=V0B-BE=V54=3,0F- VOC2-CF=V52-32=4...CH=EF=0E+0F=3+4=7,BH=BE+EH=BE+CF-4+3= B 7.在Rt△BCH中，根据勾股定理得BC=7V2,PA+PC的最小值为7V2. 例题1答图 【点拨】此题是运用垂径定理的对称性和轴对称性质研究几何图形的最小值问题的典型 题目，解决此类问题的基本策略是首先确定对称轴，找到与最小值相关联的点及对称点，将 求图形的最小值问题转化为求两点之间最短线段问题，最后利用勾股定理、等腰三角形性 质、垂径定理等知识求出最短线段长， 例题2如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB= 3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻璃，请帮安装师傅求出AB所在 ⊙0的半径r 【分析】根据垂径定理可得AF=。AB,再表示出AO,OF,然后利用 勾股定理建立关于r的方程，问题可解， 例题2图 【解答】：号形的跨度AB=3,EF为弓形的高，0E1ABAF=)AB=多 AB所在⊙0的半径为r,弓形的高EF=1,AO=r,OF=r-1. 在R△A0F中，A0-AP0P,即户+(-1只解得= 8 答：AB所在⊙0的半径为3m 8 【点拨】本题考查垂径定理与勾股定理的综合运用，解题策略是通过作辅助线应用垂径 定理，将圆心到弦的垂线段、弦的一半放到同一个直角三角形中，再利用勾股定理建立方 程解决问题. 61 口数学 九年级下册（北师大版） 基础巩固达标闯关 1.如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器—蒸馏瓶，其底部是圆球形. 球的半径为5cm,瓶内液体的最大深度CD=3cm,则截面圆中弦AB的长为 第1题图 第2题图 第3题图 2.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁 中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何.转化为现在的数学语言表达就 是：如图，CD为⊙O的直径，弦ABLCD,垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的 长度为 3.如图所示，⊙O为一圆形纸片，点C在弦AB上，AC=3,BC=5,OC=V10,则这 个圆形纸片的面积为 (结果保留π). 4.若两条平行弦与圆心的距离分别为2cm和5cm,则平行弦之间的距离为 5.如图，OA,OB,OC都是⊙0的半径，AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则 BD的长为（) A.5 B.4 C.3 D.2 37m B 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，已知⊙0的半径为10，⊙0的一条弦AB=16,若⊙0内的一点P恰好在AB 上（不与A,B重合），则线段OP的取值范围是() A.5≤0P≤8 B.5≤0P<8 C.6≤0P≤10 D.6≤0P<10 7.赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥 拱呈圆弧形，跨度约为37m,拱高约为7m,则赵州桥主桥拱半径R约为() A.20m B.28m C.35m D.40m 8.小张同学只用一张宽为7cm的矩形纸条和刻度尺，测量一次 性纸杯杯口的直径.设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯 口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点，然后利 B 用刻度尺量得AB=8cm,CD=6cm,则纸杯的直径是() 第8题图 A.5 cm B.8 cm C.10 cm D.10.2cm 62 圆第三章 9.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,D,AB=10cm, DC=6cm,求AC的长. 第9题图 能力提升坤综合拓展 -sB多B 10.如图，在⊙0中，A0LOB于点0，AB交⊙0于点C,已知OB=12,AB=13,求AC 的长 0 第10题图 11.如图，⊙0的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1,EB=5,∠DEB=60°，求CD 的长. 第11题图 12.如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的V3倍，C是AB的中点，AB,OC相交于 点P,判断四边形OACB的形状，并说明理由， B 第12题图 6的 数学 九年级下册（北师大版） 13.圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素 的韵味.如图是一款拱门的示意图，其中C为AB的中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆 心，已知拱门的半径为1.5m,拱门最下端AB=1.8m. (1)求拱门最高点D到地面的距离. (2)现需要给房间内搬进一个长和宽为2m、高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工 人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门.（参考数 据：V5≈2.236) 第13题图 中考链接©真题演练 14.(2025·长沙)如图，AB为⊙0的弦，OC⊥AB于点C,连接OA,OB,若AB=OA, AC=3,则OA的长为 第14题图 第15题图 第16题图 15.(2025·宜宾)如图，AB是⊙0的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则OD 的长是() A.3 B.2 C.6 D.5 16.(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径， 小李的解决方案是在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB 于点D,交AB于点C,测出AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为() A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 64口数学 九年级下册（北师大版） 134n4D=3AC-24D=9 0 0 第8题答图 第9题答图 B 9.解：成立.理由：如图，连接OE,OF,.OE= 第9题答图 第10题答图 第11题答图 OB=OD=OF.又DF-BE,∴△BOE≌△DOE∴∠D=∠B. 10.解：如图，连接OC.DE分别为⊙0半径 11解：如图，过点O作OF⊥CD于点F,连接OC, OA,OB上的点，AD=BE,OA=OB,.OD=OE.C是 则CF=DFAE=1,EB=5,AO=3,EO=2.在Rt△EFO AB的中点，AC=BC.∠A0C=∠B0C.又OC=0C, 中，：∠DEB=60°，E0=2,F0=V3,0C=0A=3,由 .△DCO≌△ECO.:.CD=CE 勾股定理得CF2=C0-0F2,∴.CF=V6,∴.CD=2V6. 12.解：四边形OACB是菱形.理由：C是AB的 中点，OC是半径，.OC⊥AB,AC=BC,AP=BP MB=V50A,AP=号AB=Y号0A.在Rt△AOP 中.mLa0r8裙-Y,∠40m又0 第10题答图 第11题答图 OC,.△OAC为等边三角形..OA=AC=CB=OB.四边 形OACB为菱形 11.(1)证明：如图，连接OC.∠A0B=120°，C 13.解：（1)如图，连接 是AB的中点，.AC=BC,∠AOC=∠B0C=60°.0A= AO.C为AB的中点，CD经过 OC,△AC0是等边三角形..OA=AC,同理OB=BC, 圆心O,CDLAB,∴AC=CB=0.9m .0A=AC=BC=0B..四边形AOBC是菱形..AB⊥OC..0C=VAOP-AC=V1.5-0.9= 又0A=AC,.AB平分∠OAC.(2)解：由(1)知 1.2.∴.CD=0D+0C=1.5+1.2=2.7 △AC0是等边三角形，.0A=AC,∠A0C=∠OAC=60°. (m)..拱门最高点D到地面的距 .0A=AP,.AP=AC..∠0AC=2∠P∠APC=30°.. 离为2.7m.(2)如图，设MW 第13题答图 △OPC是直角三角形.又半径R=1,AC=1,OP=2 为桌子的宽度2m,EF为桌子抬高0.5m时桌底经过 ..PC=V3 的平面，MN,EF分别交CD于点P,Q,连接OM,则 12.C MN∥EF.由题意得MP=NP=1m,OM=1.5m,CQ= 13.证明：(1)AB=CD 0.5m,∴0Q=0C-CQ=1.2-0.5=0.7(m).在Rt△0MP .AB +BC =CD +BC,EAC=BD, 中，0P24PMr=0r,即0严+1=1.，解得OP=V5 2 AC=BD.(2)如图，连接BC, 1.118(负值已舍去)，.0P>OQ,.EF>MN=2m,且 AB=CD,AB=CD.由(1)知 PQ=0Q+0P=0.7+1.118≈1.82(m).1.82>1.2,.搬运 AC=BD,又BC=BC,∴.△ABC≌ 该桌子时能够通过拱门. △DCB.∴.∠A=∠D.又∠AEB= 第13题答图 14.615.A16.C ∠DEC,∴.△ABE∽△DCE. 4圆周角和圆心角的关系（第1课时） 3垂径定理 1.42°或138°2.150°3.B4.D 1.2V2I2.26寸3.25m4.7cm或3cm5. 5.解：如图，连接OD,OC B6.D7.B8.C D是AC的中点，∠AOD= 9.解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,则CE= ∠A0C.又∠B=号LA0C, DE=号CD=3cm,AE=BE=↓AB=5cm.AC=AE-CE= 2 2 2 cm. ÷∠A0D=号∠A0C=LB=40, 第5题答图 10.解：如图，过点O作OD⊥AC于点D,则 ·.OA=OD,.∠A=∠ADO.∠A+∠AD0+∠AOD=180°， AD=DC.∠AOB=90°，∠AD0=90°，∠A=∠A, ∴.∠A=70°. △40D△4B09治-8滑0=1B4n又MB 6.解：∠C0B=30°，∠C0B=2∠D,∴∠D=15°. 又∠APD=∠D+∠ABD,∠APD=60°，∴.∠ABD=45°. 13,0B=12,由勾股定理得0A2=AB2-0B=25.25= 7.解：AC=AE.理由：BC=DE,BC+BD=DE+