20.1 勾股定理及其应用(第3课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（人教版2024）

勾股定理 第二十章 20.1 勾股定理及其应用（第三课时） 知识梳理四形成联系 【知识点1】利用勾股定理表示无理数 1.如图20.1-9，数轴上点A所表示的数为a,则a的 值是() A.V5+1 B.V5-1 图20.1-9 C.-V5+1 D.-V5-1 2.已知点P(-1,m)在第三象限，且OP-V5,则m的值是() A.-2 B.2 C.-1 D.1 【知识点2】利用勾股定理解决几何问题 1.如图20.1-10，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,点D在BC上， ∠ADC=2∠B,AD=5,则BC的长为() A.6 B.7 C.10 D.8 图20.1-10 2.如图20.1-11，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,将△ADE沿DE翻折，使点 A恰好与点B重合，求CE的长. 图20.1-11 例题点拨Q素养导向 【例】如图20.1-12，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD,使点D落 在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=l0cm,求EC的长. 【点拨】由折叠的性质可得AD=AF,∠D=∠AFE,DE=EF,由勾股定理可求BF的长和 EC的长.本题主要考查了折叠问题的性质的运用，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾 股定理求解所需线段， 图20.1-12 数学 八年级下册（人教版） 夯实四基飞达标闯关 1.如图，长方形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M,则点M为() A.2 B.V5-1 C.V10-1 D.V5 A 0 0 E 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB,∠DAB=30°，AD=8,则AC= 3.如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D, 则BD的长为 4.如图，在数轴上的点A,B表示的数分别为0和2，BC⊥AB于点B,且BC=1,连接 AC,在AC上截取CD=BC,以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E,则点 E表示的实数是() A.2V5 B.V5+1 C.2 D.V5-1 能力提升映综合拓展 5.如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数m和m+1,以表示数m的顶点为圆 心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A,B,设点A,B表示的数分别为， b,则以下说法不正确的是() A.a+b的值随着m的变化而变化 B.线段AB的长始终不变 C.a-b一定是无理数 第5题图 D.△ABC的面积随着m的变化而变化 中考链接©真题演练 6.(2025·云城区一模)如图，在Rt△AOB中，∠BAO= B. 90°，AB=1,点A恰好落在数轴上表示-2的点上，以原点O 为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P,使点P落在点A P:Ab -2 -1 0 的左侧，则点P所表示的数是() 第6题图 A.-V5 B.V5 C.-V3 D.V3 28参考答案 16.解：a=2+V3,b=2-V3,.+b=4,b=4-设AE的长为xm,依题意得GE=AC-x=2-x. 3=l,a-b-2V/3,.g-b=-b=ab)a-b- BD=0.5m,.CD=CB+BD=2m.在Rt△ECD中 b a ab ab CE=VDE2-CD=V2.5-(1.5+0.5)P=1.5(m), 4x2V3=8V3. 1 2-x=1.5,x=0.5,即AE=-0.5m.答：滑杆顶端 17.B18.C19.解：原式=2V3-V3=V3. 4下滑0.5m. 第二十章勾股定理 1.A2.D3.C4.解：设AB=xm,∠ABD= 90°，.在Rt△ABD中，根据勾股定理得x2+5-(x+1)2, 20.1勾股定理及其应用（第一课时） 解得x=12,AB的长为12m.答：旗杆AB的长为 【知识点1】2+b2=c21.D2.14412 12m. 【知识点2】1.(1)5(2)12(3)V14 5.解：展开后由题意得∠C=90°」 2.4V23.V5或V13 AC=3×10+3×6=48,BC=55,由勾股 【例】解：(1)AB=BC=AC,∴.∠B=60°. 定理得AB=VAC+BC=V482+55= AD⊥BC,BD=DC.在Rt△ADB中，AD= 73(cm)·答：最短路线的距离为C V3,∠BAD=30°，.∴AB=2BD,.AB2=AD2+BD2 73cm. 第5题答图 .(2BD)2=(V/3)+BD2,BD=1,∴AB=2BD=2 6.解：(1)由新定义，得(2n)⑧(2)=2a2- 2a+2a (2).BC=AB=2,AD=V3,SADE=2 1 4址-a.故答案为a 4a BC.AD=V3. (2)对正实数a,b,c,运算“☒”满足结合律 1.D2.B3.①5②24③36④17 (a⑧b)⑧c=a⑧(b⑧c).理由如下：左边(a⑧b)⑧c= 4.解：如题图，根据勾股定理，AB=V-3= b·c abc 4(m),利用平移线段，可知地毯长为3+4=7(m),. ⑧c=+ a+b abc 右边a☒ a+b ab+c ab+ac+bc ab+ac+bc 地毯的面积为28×7=19.6(m).答：需要购买19.6m2 atb a+b 的地毯才能铺满所有台阶. bc a' abc 5.解：作DE⊥AB,垂足 4 (b⑧c)=a8bc= b+c b+c b+c ab+ac+bc 为点E,DE即为点D到AB a+bic ab+ac+bc,.. 6+c 的距离.又：∠C=90°，AD平 左边=右边，.对正实数a,b,c,运算“②”满足结 分LCAB,DE=DC.在△ABC 合律(a⑧b)⑧c=a⑧(b⑧c）. 中，∠C=90°，BC=8,AC= (3)由题意，得∠AFB=90°，∴AFP+BFP=AB 6,AB=10.设CD=x,则DE= D AF=a,BF=b,且a>b,正方形ABCD的面积为26， CD=x,BD=8-x在Rt△ACD 第5题答图 ∴a2+b2=26.:四个直角三角形全等，AE=BF=b,∴EF= ∠C=∠AED=90°， AF-AE=a-b.正方形EFGH的面积为16，.(a-b)2= 与Rt△AED中，∠CAD=∠EAD, .Rt△ACD≌ a2+b2-2ab=16,.26-2ab=16,∴.ab=5,∴.(a+b)2=(a-b)P+ AD=AD. 4ab=16+4×5=36,a+b=6（舍负)，.(2a)☒b⑧(2a)= Rt△AED(AAS),AE=AC=6,∴BE=4.在Rt△BED 中，DE+EB=DB,即x2+42=(8-x)2,解得x=3, 2nl82a@6-u8:-名敢答案为名 6 Sew-]AB-DE-]xI0x3-15. 201勾股定理及其应用（第三课时)】 6.D 【知识点1】1.B2.A 20.1勾股定理及其应用（第二课时) 【知识点2】1.D2.解：由已知，△4DE沿 【知识点】1.D2.B3.A4.A DE翻折，A,B两点重合，AE=BE设CE=X, 5.解：CB=60m,AC=20m,AC⊥AB, 则AE=BE=8-x.在Rt△BCE中，BCP+CE2=BE2, .4B=V602-202=40V/2(m). (8=以解得=子答：CE的长为子 4 【例】解：AB=DE=2.5m,BC=1.5m,∠C= 【例】解：设EC的长为xcm,则DE=(8-x) 90°，.∴MC=VAB2-BC2=V2.52-1.52=2(m). cm.△ADE折叠后的图形是△AFE,AD=AF 63 数学 八年级下册（人教版） ∠D=∠AFE.又AE=AE,∴△AFE≌△ADE,t .DE=EF,AD=BC=10cm,∴4F=AD=10cm.又 (②)当2，日时.则1名名月-4。 :,AB=8cm,在Rt△ABF中，根据勾股定理，得 即a2+b=c2,.三角形为直角三角形. AB2+BF=AF,..82+BF2=102,..BF=6 cm..FC= 20.2勾股定理的逆定理 BC-BF=10-6=4(cm).在Rt△EFC中，根据勾 及其应用（第二课时） 股定理，得FC+ECP=EFP,.42+x2=(8-x)2,∴x=3. 【知识点】正整数1.D2.B 答：EC的长为3cm. 【例】解：(1)在R△ABC中，AB=24m, 1.C2.2V63.34.D5.D6.A BC=7m,∴4C=V24+7P=25(m).在△MDC中 20.2勾股定理的逆定理 CD=15 m,AD=20 m,AC=25 m,.CD2+AD2= 及其应用（第一课时） 152+20=252=AC,.△4DC为直角三角形， 【知识点】+b2=c21.D2.C ∠D=90° 【例】证明：E为BC的中点，AB=BC=CD= (2)△ADC是直角三角形，Sa= 2十 DA,AB=4,..BC=CD=DA=4,BE=CE=2..CF=1, DF=3.∠B=∠C=∠D=90°，∴AE=VAB+BE2 ADXDC=-2×20xI5=150(m)·SAw=号x4Bx V4+22 =2V5,EF=VCE2+CR =V22+12= BC=X24×7=84(m2),:.S四边形AD=S△A+S△c= 2 V5,AF=VAD2+DF =V42+32 =5..AE2+EP= 150+84=234(m2). 20+5=25,AF=52=25,.AE2+EP=A..LAEF= 1.B2.C3.A4.西北 90°. 5.解：(1)是.理由如下：在△CHB中，.CHP+ 1.A2.C3.①② BP=60+80=1002,BC=100,∴.CP+BP=BC,.CH⊥ 4.解：如图，连接AB AB,:.CH是从村庄C到河边的最近路线」 :∠ACB=90°，AC=4,BC=3, (2)设AC=xm,在Rt△ACH中，由已知得AC= .AB=VAC+BC=5.又，BD= x,AH=x-60,CH=80,由勾股定理得AC=AP+CHP, 12,AD=13,.'AB2+BD2=169= =(-60)480,解得=250.答：原来的路线AC的 AD2,∠ABD=90°，.△ABD 3 第4题答图 是直角三角形，.阴影部分的 长为250m. 3 面积为7 xARxBD-号×1CxBC-7×5x12-7×4x3=24 6.(1)解：DE=BD+EC.(2)证明：DE=BD+ 5.解：设AB=3xcm,CB=4xcm,CA=5xcm, EC2仍然成立.如图1，将△EAC绕点A顺时针旋转 3x+4x+5x=72,x=6,AB=18cm,CB=24cm,CA= 90°得到△TAB,连接DT, 30cm..AB+CB2=182+242=900,CA2=302=900,.AB+ .∠ABT=∠C=45°，AT= CB=C4A2,△ABC是直角三角形，.∠B=90°.当t= AE,∠TAE=90°.∠ABC= 4时，BM=AB-AM=18-2×4=10(cm),BN=3×4= 45°，.∠TBC=∠TBD=90°. D B 12(cm),m-BN-60cm,经过4s时， ∠DAE=45°，.∠DAT= 图1 ∠DAE..AD=AD,∴.△DAT≌△DAE(SAS),.DT=DE. △BMN的面积为60cm2. .DT-DB2+EC2,..DE2-BD2+EC2. 6.(1)证明：∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC- (3)解：当AD=BE时，线段 ∠DAC=∠DAE-∠DAC,.∠EAC=∠BAD.AB=AC,DE,ADEB能构成一个等腰三角 AD=AE,∴.△ACE≌△ABD(SAS),∴CE=BD. 形.如图2，与(2)类似，以CE (2)解：△ACE≌△ABD,BD=EC=4.BC= 为一边，作LECF=∠ECB,在CF AC2+AB-22+22-8,CD=(2V2)2=8,BD=42-16,.BC+ 上截取CF=CB,可得△CFE≌ CD2-BD2,.∠BCD-90°.LACB=45°，.∠ACD=∠BCD+ △CBE,△DCF≌△DCA..·AD=DF, EF=BE,.∴.∠DFE=∠1+∠2=∠A+ 图2 ∠ACB=135° (3)2V10. ∠B=120°.若使△DFE为等腰三角 第6题答图 7.解：(1)由题，可知t=1+1=1+1=2,故答案 形，只需DF=EF,即AD=BE,.当AD=BE时，线段 为2. DE,AD,EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE