1.3 直角三角形(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级下册（北师大版） 直角三角形（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD,AC与BD相交于点O。 请猜想△OBC的形状并证明你的猜想。 【分析】根据已知条件，用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DCB,进而证出对应角相等， 再由等角对等边证得△OBC是等腰三角形。 A D 【解答】△OBC是等腰三角形。 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中， .BC=CB,AC=DB,.Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)。 例题图 ∴.∠ACB=∠DBC,.OB=OC,△OBC是等腰三角形。 【点拨】此题主要考查直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定。题目本身并不难， 但这是一个全等三角形的基本图形，在学习中应学会从复杂图形中分解出基本图形。 基础巩固)达标闯关 。s多多 1.如图，已知AC⊥BD于点P,AP=CP,请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添 加辅助线)，你增加的条件是 2.如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD=AB,过点D作BC的垂线，交AC于 点E,若AE=12cm,则DE的长为 cm MA D P B C O 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D和B,C分别在直线MN与PQ上，点E在AB 上，AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB= 4.下列条件中：①两条直角边对应相等：②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一条直角 边对应相等；④面积相等。其中能判定两个直角三角形全等的是() A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①③ 5.利用尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是() A.已知斜边和一锐角 B.已知两直角边 C.已知斜边和一直角边 D.已知两个锐角 6.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B,D,C,E在同一条直线上，点C和点E重 24 三角形的证明及其应用 第一章 合。∠B=∠DEF=90°，AB=DE,若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌ Rt△DEF,添加的条件是() A.BC=EF B.∠BCA=∠F C.AC=DF D.BA∥EF D C(E) 第6题图 第7题图 7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的 面积为() A.15 B.12.5 C.14.5 D.17 8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC于点D,EC⊥BC于点C,且AB=BE, CD=CE。求证： (1)AB=AC。 (2)Rt△ABD≌Rt△BEC。 第8题图 能力提升蹄综合拓展 9.在△ABC中，AB=AC,DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且 AD=CE。 (1)如图1，若B,C在DE的同侧，求证：AB⊥AC。 (2)如图2，若B,C在DE的两侧，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给 出证明；若不是，请说明理由。 图1 图2 第9题图 25 口数学 八年级下册（北师大版） 10.AP平分∠BAC,PDLAB,PE⊥AC,垂足分别为点D,E。 (1)如图1，求证：AD=AE。 (2)如图2，点M,N分别在AB,AC上，且PM=PN,AM=5,AN=3,求AD的长。 图1 图2 第10题图 中考链接©真题演练 。多P 11.(2024·新疆)【探究】(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形。 ①如图1，当点D在BC上时，连接CE。请探究CA,CE和CD之间的数量关系，并说 明理由。 ②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE。请再次探究CA,CE和CD之间 的数量关系，并说明理由。 【运用】(2)如图3，在等边三角形ABC中，AB=6,点E在AC上，CE=2V3。点D 是直线BC上的动点，连接DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF。当 △CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长。 g 图2 图 备用图 第11题图 2西参考答案与提示 EF=FC2+BE2。(2)成立。证明：如图2，延长：过点E作EH∥AB,则△EHC为 FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,易证△DFC≌ 等边三角形。①如图1，当点D △DMB,.BM=CF,∠DBM=∠C。∴BM∥AC。∴. 在点H的左侧时，ED=EF, ∠ABM=∠BAC=90°。，DE⊥DF,DM=DF,ED=ED, ∠DEH=∠FEC,EH=EC, △MED≌△FED,.∴ME=EF。在Rt△BEM中，BE+ △EDH≌△EFC(SAS)。∴.∠ECF= D BMP=EMP,.BE+FC=EF2。 ∠EHD=120°。此时，△CEF不可 图1 能为直角三角形。②如图2，当点 D在点H的右侧且在线段CH上时，同理得△EDH≌ △EFC(SAS)。∴.∠FCE=LEHD=6O°，∠FEC=∠DEH< ∠HEC=60°。此时，只有∠CFE有可能为90°。当 ∠CFE=90°时，∠EDH=90°，即ED LCH。·.CH=CE= 2V万.CD=0H=V5。又A6,BD-6-V万。 图1 图2 第10题答图 ③如图3，当点D在点H的右侧且在HC的延长线上 1.4Y512.C13.B 时，只有∠CEF=90°。，∠DEF=60°，∴.∠CED=30°。 5 ∠ECH-60°，.∠EDC=∠CED=30°。∴.CD=CE=2V3。 3直角三角形（第2课时） :.BD=6+2V3 1.AB∥DC或BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或 LB=∠D 2.123.74.B5.D6.C7.B 8.证明：(1)AD平分∠BAC,.∠BAD= ∠CAD。AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°。又AD= H H AD,.△ADB≌△ADC(ASA)。AB=AC。(2) 图2 图3 △ADB≌△ADC,BD=CD。CD=CE,BD=CE。 第11题答图 EC⊥BC,.∠BCE=90°。：AB=BE,BD=EC, Rt△ABD≌Rt△BEC(HL)。 4线段的垂直平分线（第1课时） 9.(I)证明：BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB= 1.5cm2.17cm3.22.5°4.2或2V75.A ∠AEC=90°。在Rt△ABD和Rt△CAE中，AB=CA, 6.D AD=CE,.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)。.∠BAD=∠ECA。 7.证明：FE垂直平分AD,FA=FD。∠ADF= ∠CAE+LECA=90°，.∠BAD+∠CAE=90°。 ∠DAF。AD是∠BAC的平分线，∴.LCAD=∠BAD。 ∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE)=90°..AB⊥AC。 又∠ADF=∠B+∠BAD,∠FAD=∠CAF+∠CAD, (2)AB⊥AC。证明：同(1)一样可证得Rt△ABD≌ ∠B=∠CAF。 Rt△CAE,∴∠BAD=∠ECA。∠CAE+∠ECA=90°， 8.证明：：∠ACB=90°，ED⊥AB,∴.∠EDB= ∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°。：∴AB⊥AC。 ∠ECB=90°。BD=BC,BE=BE,.Rt△BEC≌Rt△BED 10.（1)证明：AP平分∠BAC,.∠DAP= (HL)。∴DE=CE。又BD=BC,∵BE垂直平分CD。 ∠EAP。PD⊥AB,PE⊥AC,∴.∠ADP=∠AEP=90°。 9.(1)证明：如图，连接AP,l是AB边的垂 AP=AP,∴△APD≌△APE(AAS)。AD=AE。(2) 直平分线，PA=PB。2是AC边的垂直平分线， 解：△APD≌△APE,∴PD=PE。又：∠PEN=∠PDM= PA=PC。PB=PC。.点P在线段BC的垂直平分线 90°，PM=PN,.Rt△PEN≌Rt△PDM(HL)。∴NE= 上。(2)解：·∠BAC=100°，.∠ABC+∠ACB= MD.AM =AD+MD =5,AD =AE =AN+NE =AN +MD, 180°-∠BAC=180°-100°=80°。l1是AB边的垂直平分 ∴AN+MD+MD=5。AN=3,∴.MD=1。AD=AM-MD=4。 线，∴DA=DB。是AC边的垂直平分线，·EA=EC。 1L.解：(1)①CE+CD=CA。理由：△ABC和 ∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB。∴.∠BAD+∠EAC= △ADE是等边三角形，，AB=AC=BC,AD=AE=DE, 80°。∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=100°-80°=20°。 ∠BAC=∠DAE=6O°。∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC。∴.∠BAD=∠CAE。.△ABD≌△ACE(SAS)。 .CE=BD。BD+CD=BC,.CE+CD=CA。②CA+CD= CE。理由：，△ABC和△ADE是等边三角形，AB= AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°。∴.∠BAC+ ∠DAC=∠DAE+∠DAC。·.∠BAD=∠CAE。.△ABD≌ 第9题答图 第10题答图 △ACE(SAS)。∴.CE=BD。·CB+CD=BD,.CA+CD= CE。(2)BD的长为6-V3或6+2V3。解析： 10.解：(1)猜想：DE⊥DP。证明：PD=PA,