1.3 直角三角形(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

三角形的证明及其应用 第一章 直角三角形（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24, ∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。 【分析】若证∠A+∠C=180°，只需证∠D+∠B=180°，即证∠D=90°。为 此，连接AC,首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理 例题图 证出∠D=90°，进而证出∠A+∠C=180°。 【证明】如图，连接AC。 .AB=20,BC=15,∠B=90°，∴.由勾股定理，得AC=20+152=625。 又.CD=7,AD=24,.CD2+AD2=625。.AC=CD2+AD。.∠D=90°。 .·∠DAC+∠D+∠DCA+∠ACB+∠B+∠BAC=360°， 例题答图 ∴.∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°。∴.∠DAB+∠DCB=360°-∠D-∠B=180°。 【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形内角和定理，综合运用勾股定理及 其逆定理是解决问题的关键。在解题过程中，若涉及三角形两边长或三边长，通常要构造直 角三角形或等腰三角形，以达到解决问题的目的。 基础巩固达标闯关 1.如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=10,AC=14,AD⊥BC,则BC= 0 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，则第个直角三角形的面积为 3.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD,对角线AC,BD交于点O。若AD=2,BC=4,则AB+CD= 4.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列命题中为假命题的是 A.如果∠C=∠A+∠B,则△ABC是直角三角形 B.如果b2=(c+a)(c-a),则△ABC是直角三角形 C.如果a-b2=c2,则△ABC是直角三角形，且∠C=90° D.若∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形 21 口数学 八年级下册（北师大版） 5.如果等腰三角形一腰上的高与底边夹角为60°，腰长为a,则底边上的高为() A20 B c D.a或Ya 2 6.写出下列命题的逆命题，并判断每个命题的真假。 (1)如果x2>0,那么x>0。 (2)直角三角形中有一个内角等于90°。 (3)等腰三角形是轴对称图形。(4)全等的两个三角形的面积相等。 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8,BC=6,CD=24,AD=26。求证：△ACD 是直角三角形。 第7题图 能力提升睡综合拓展 一s年多 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB,BC,AC为斜边向外作等腰直角三 角形，设所作的△ABD,△BCE,△ACF的面积分别为S,S2,S3。求证：S=S+S 第8题图 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线。 (I)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN。(保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状。 D 第9题图 三角形的证明及其应用 第一章 *10.在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC边的中点，把一块三角板的直角顶点放在点 D处，使三角板的两条直角边分别交AB,AC于点E,F,连接EF。 (1)如图1，若AB=AC,求证：EF2=BE2+FC2。 (2)如图2，若AB≠AC,其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出 证明；如果不成立，请说明理由。 友情提示：延长FD至点M,》 使DM=DF,连接BM,EM。 图1 图2 第10题图 中考链接⊙真题演练 EE 11.(2025·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1,BC=2。以点A为圆心， 以AB长为半径作弧，再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D, 连接BD,则BD的长为 D 第11题图 第12题图 第13题图 12.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边的 中点，连接AE,则图中的直角三角形共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 13.(2025·安徽)如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,边AC的中点为D,边BC 上的点E满足ED⊥AC。若DE=V3,则AC的长是（) A.4V3 B.6 C.2V3 D.3 23数学 八年级下册（北师大版） (SAS)。∴.∠BAD=∠BCE。又∠ABN=∠ABC+ ∠CBN=120°，∠CBM=180°-∠ABC=120°，.：.∠ABN= △ABE≌△CBE(SSS)。LAEB=LCEB=7乙AEC= ∠CBM。又AB=BC,.△ABN≌△CBM(ASA)。 1×120°=60°。由(1)知，∠GCE=60°，·∠EGC= .BN=BM。又：∠NBM=180°-∠ABC-∠DBE=60°， △BMN是等边三角形。 60°。∴.∠GEC=LGCE=LEGC=60°。.△CEG是等边三 角形。 7.(1)证明：PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB, ABPE-AG-PF,ABCW. 3直角三角形（第1课时） 1.162.m3.204.C5.A ABPE+ACPF-AB 2 6.解：(1)假命题。如果x>0,那么x2>0,真命 CH。AB=AC,.PE+PF=CH。(2)解：CH=PE- 题。(2)真命题。有一个内角等于90°的三角形是 PF。理由：PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,S△= 直角三角形，真命题。(3)真命题。轴对称图形是 AB-PE.S-AC-PF.BCH 等腰三角形，假命题。 (4)真命题。面积相等的两 个三角形是全等的三角形，假命题。 Sam-Sae,∴74B-CI=AB-PE-AC-R。又 7.证明：在△ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6, AB=AC,.CH=PE-PF。(3)解：在△ACH中， .由勾股定理得AC=VAB+BC=V8246F=10。在 ∠A=30,4C-2CH。5am=AB-CH,AB=AC, △ACD中，AC+DC=100+576=676,而AD=26=676, .AC+DC=AD。.△ACD是直角三角形。 ×20H-CH=49。C1=7。当P为底边C上-点时， 8.证明：在Rt△ABC中，.∠ACB=90°，.∴.由勾 股定理得AC+BC=AB2。.△ABD是等腰直角三角形， ,PE+PF=CH,PE=CH-PF=7-3=4;当P为BC延长线 ∴.∠D=90°，AD=BD。由勾股定理得AD+BDP=AB, 上的点时，.CH=PE-P℉，.PE=3+7=10。 8.(1)证明：△ABC与△ADE互为“顶补等腰 AD=BD=Y7AB。S=AD-BD=子AE。同理可 2 三角形”，AB=AC=AD=AE,∠BAC+∠DAE=180°。 ∠B=∠C。又AM⊥BC,AN⊥ED,.∠ANE=∠AMB= 得，=C,s=子AC。S+S,BC+子4C 90°，∠EAN=∠DAN,EN=ND。'·∠BAC+2∠EAN= (BC+MC=4AR,S+S=S,即S=+s 180°。又∠BAC+2∠B=180°，∴.∠B=∠EAN。∴ △ABM≌△EAN(AAS)。∴.NE=AM。 (2)解：当 9.解：(1)如图。 点P为AC的中点时，△PAB与 D △PDC互为“顶补等腰三角形”。 如图，在AC上截取CP=BC,连 接PB,PD,AD=AB,CD=BC, AC=AC,.△ADC≌△ABC (SSS)。∴.LADC=∠ABC=90°， D H ∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ACB。 第8题答图 第9题答图 ∠BAD=60°，LDAC=∠BAC=号∠BAD=30°。 2 (2)△ADF是等腰直角三角形。理由：AB=AC, ∠ACD=∠ACB=6O°。CP=BC,CD=BC,∴.CP=BC=CD。 AD⊥BC,.∠BAD=∠CAD。AF平分∠EAC, .△BCP和△CDP是等边三角形。PB=PC=PD, ∠EAF=∠FAC。:∠FPAD=∠FAC+∠DAC=号∠EAC+ 2 ∠CBP=∠PDC=∠CPD=∠CPB=6O°。.∠ADP=∠ABP= 90°-60°=30°。.∠BAP=∠ABP,∠DAP=∠ADP, 号∠B1C=×180-90,△ADF是直角三角形。 ∠APB=120°。AP=PB=PD=CP,∠APB+∠DPC=180°。 AB=AC,.∠B=∠ACB。:∠EAC=2∠EAF=∠B+ ∴.△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”。 ∠ACB,∴.∠EAF=∠B。AF∥BC。.∠AFD=∠FDC。 9.6或12 DF平分∠ADC,.∠ADF=∠FDC=∠AFD。:AD=AF, 10.(1)解：△ABC是等边三角形，.∠ACB= 即直角三角形ADF是等腰直角三角形。 60。D是AB的巾点，∠DCB=∠DCA=号∠ACB= 10.(1)证明：如图1，连接AD。∠BAC=90°， 30°。CE⊥BC,.∠BCE=90°。∴.∠DCE=∠BCE- AB=AC,∴.∠B=∠C=45°。又BD=DC,∠BAD= ∠DCB=60°。(2)证明：EF是由CD平移得到的， ∠CAD=45°，ADLBD。.∠B=∠DAF-45°。.∠BDE+ .CD∥EF。·.∠EAC=∠DCA=30°。又：∠ECA= ∠ADE=90°，AD=BD。又∠EDF=90°，.∠ADF+ ∠BCE-∠ACB=30°，.∠EAC=∠ECA。.AE=CE。. ∠ADE=90°。∴.∠ADF=∠BDE。.△ADF≌△BDE. ∠AEC=180°-2∠EAC=120°。又，AB=CB,BE=BE,. AF=BE。AE=FC。在Rt△AEF中，EF?=AE+AF2, 参考答案与提示 EF=FC2+BE2。(2)成立。证明：如图2，延长：过点E作EH∥AB,则△EHC为 FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,易证△DFC≌ 等边三角形。①如图1，当点D △DMB,.BM=CF,∠DBM=∠C。∴BM∥AC。∴. 在点H的左侧时，ED=EF, ∠ABM=∠BAC=90°。，DE⊥DF,DM=DF,ED=ED, ∠DEH=∠FEC,EH=EC, △MED≌△FED,.∴ME=EF。在Rt△BEM中，BE+ △EDH≌△EFC(SAS)。∴.∠ECF= D BMP=EMP,.BE+FC=EF2。 ∠EHD=120°。此时，△CEF不可 图1 能为直角三角形。②如图2，当点 D在点H的右侧且在线段CH上时，同理得△EDH≌ △EFC(SAS)。∴.∠FCE=LEHD=6O°，∠FEC=∠DEH< ∠HEC=60°。此时，只有∠CFE有可能为90°。当 ∠CFE=90°时，∠EDH=90°，即ED LCH。·.CH=CE= 2V万.CD=0H=V5。又A6,BD-6-V万。 图1 图2 第10题答图 ③如图3，当点D在点H的右侧且在HC的延长线上 1.4Y512.C13.B 时，只有∠CEF=90°。，∠DEF=60°，∴.∠CED=30°。 5 ∠ECH-60°，.∠EDC=∠CED=30°。∴.CD=CE=2V3。 3直角三角形（第2课时） :.BD=6+2V3 1.AB∥DC或BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或 LB=∠D 2.123.74.B5.D6.C7.B 8.证明：(1)AD平分∠BAC,.∠BAD= ∠CAD。AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°。又AD= H H AD,.△ADB≌△ADC(ASA)。AB=AC。(2) 图2 图3 △ADB≌△ADC,BD=CD。CD=CE,BD=CE。 第11题答图 EC⊥BC,.∠BCE=90°。：AB=BE,BD=EC, Rt△ABD≌Rt△BEC(HL)。 4线段的垂直平分线（第1课时） 9.(I)证明：BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB= 1.5cm2.17cm3.22.5°4.2或2V75.A ∠AEC=90°。在Rt△ABD和Rt△CAE中，AB=CA, 6.D AD=CE,.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)。.∠BAD=∠ECA。 7.证明：FE垂直平分AD,FA=FD。∠ADF= ∠CAE+LECA=90°，.∠BAD+∠CAE=90°。 ∠DAF。AD是∠BAC的平分线，∴.LCAD=∠BAD。 ∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE)=90°..AB⊥AC。 又∠ADF=∠B+∠BAD,∠FAD=∠CAF+∠CAD, (2)AB⊥AC。证明：同(1)一样可证得Rt△ABD≌ ∠B=∠CAF。 Rt△CAE,∴∠BAD=∠ECA。∠CAE+∠ECA=90°， 8.证明：：∠ACB=90°，ED⊥AB,∴.∠EDB= ∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°。：∴AB⊥AC。 ∠ECB=90°。BD=BC,BE=BE,.Rt△BEC≌Rt△BED 10.（1)证明：AP平分∠BAC,.∠DAP= (HL)。∴DE=CE。又BD=BC,∵BE垂直平分CD。 ∠EAP。PD⊥AB,PE⊥AC,∴.∠ADP=∠AEP=90°。 9.(1)证明：如图，连接AP,l是AB边的垂 AP=AP,∴△APD≌△APE(AAS)。AD=AE。(2) 直平分线，PA=PB。2是AC边的垂直平分线， 解：△APD≌△APE,∴PD=PE。又：∠PEN=∠PDM= PA=PC。PB=PC。.点P在线段BC的垂直平分线 90°，PM=PN,.Rt△PEN≌Rt△PDM(HL)。∴NE= 上。(2)解：·∠BAC=100°，.∠ABC+∠ACB= MD.AM =AD+MD =5,AD =AE =AN+NE =AN +MD, 180°-∠BAC=180°-100°=80°。l1是AB边的垂直平分 ∴AN+MD+MD=5。AN=3,∴.MD=1。AD=AM-MD=4。 线，∴DA=DB。是AC边的垂直平分线，·EA=EC。 1L.解：(1)①CE+CD=CA。理由：△ABC和 ∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB。∴.∠BAD+∠EAC= △ADE是等边三角形，，AB=AC=BC,AD=AE=DE, 80°。∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=100°-80°=20°。 ∠BAC=∠DAE=6O°。∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC。∴.∠BAD=∠CAE。.△ABD≌△ACE(SAS)。 .CE=BD。BD+CD=BC,.CE+CD=CA。②CA+CD= CE。理由：，△ABC和△ADE是等边三角形，AB= AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°。∴.∠BAC+ ∠DAC=∠DAE+∠DAC。·.∠BAD=∠CAE。.△ABD≌ 第9题答图 第10题答图 △ACE(SAS)。∴.CE=BD。·CB+CD=BD,.CA+CD= CE。(2)BD的长为6-V3或6+2V3。解析： 10.解：(1)猜想：DE⊥DP。证明：PD=PA,