1.2 等腰三角形(第3课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级下册（北师大版） 等腰三角形（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，点D在等边三角形ABC的外部，AD=CD。过点D作 DE∥BC交AB于点E,交AC于点F。 (1)求证：△AEF是等边三角形。 (2)若∠ADC=140°，求∠ADE的度数。 【分析】(1)先根据等边三角形的性质及平行线的性质证明∠AFE= ∠ACB=∠BAC=60°，然后证明∠EAF=∠AFE=∠AEF即可。 例题图 【解答】(1).△ABC是等边三角形，.∠BAC=∠ACB=60°。 .DE∥CB,.∠AFE=∠ACB=60°。.∠EAF=∠AFE=∠AEF。∴.△AEF是等边三角形。 (2)DA=DC,∠ADG=140°，∠D1C=∠DCA=(I80°-∠ADC)=20°。 .∠ACB=60°，.∠DCB=∠DCA+∠ACB=80°。 .DE∥CB,∴.∠EDC=180°-∠DCB=100°。∴.∠ADE=∠ADC-∠EDC=140°-100°=40°。 【点拨】本题主要考查等边三角形的判定和性质，以及等腰三角形、平行线的性质。判 定一个三角形是等边三角形可从两个角度出发：若已知三角形是一般的三角形，需要证明三 个内角都相等；若已知三角形是等腰三角形，需要证明其中一个内角等于60度。 基础巩固飞达标闯关 1.在△ABC中，∠A=60°，请你添加一个适当的条件，使△ABC是等边三角形，添加的 条件可以是 。(只要写出一个符合题意的条件即可) 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E,若AE= 2,则BE的长为 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，AD=CD,E为AC上任意一点，∠B= ∠BDC,若DE的最小值为2，则DC的长为 4.如图，已知射线OM,以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再 以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B,画射线OB,作BD LOA,垂足为点D, 那么∠OBD的度数是() 181 三角形的证明及其应用 第一章 A.90° B.60° C.45 D.30° 5.如图，P,Q是△ABC中BC边上的两点，且BP=AP=AQ=QC,∠PAQ=60°。 (1)求证：AB=AC。 (2)求∠BAC的度数。 第5题图 能力提升蹄综合拓展 。多多与 6.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，以BD为边在△ABC右侧作等边 三角形DEB,连接CE并延长交AB的延长线于点M,连接AD并延长与BE的延长线交于点 N,连接MN。求证：△BMW是等边三角形。 第6题图 7.如图1，在△ABC中，AB=AC,P为底边BC上一点，PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB, 垂足分别为E,F,H。 (1)求证：PE+PF=CH。 (2)如图2，P为BC延长线上的点时，其他条件不变，猜想PE,P℉，CH又有怎样的 数量关系。并说明理由。 (3)若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且点P到直线AC的距离为 PF。当PF=3时，求AB边上的高CH,以及点P到AB边的距离PE。 图1 图2 第7题图 口数学 八年级下册（北师大版） 8.定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰 三角形的腰长相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”。 (1)如图1，若△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”。∠BAC>90°，AM⊥BC于点 M,AN⊥ED于点N。求证：NE=AM。 (2)如图2，在四边形ABCD中，AD=AB,CD=BC,∠B=90°，∠BAD=60°，在对角线 AC上找一点P,使得△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”。请确定点P的位置，并说明 理由。 图1 图2 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2024·新疆)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8。若点D在直线AB上（不 与点A,B重合)，且∠BCD=30°，则AD的长为 10.(2025·福建)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为点 C,EF是由CD沿CE方向平移得到的。已知EF过点A,BE交CD于点G。 (1)求∠DCE的大小。 (2)求证：△CEG是等边三角形。 第10题图 20参考答案与提示 (SAS)。EF=FM。FM=CM+CF,∴.EF=BE+CF。 9.证明：(1)AD平分∠BDE,.∠ADB= (2)·△AEF的周长=AE+AF+EF,由(I)知EF=BE+ ∠ADE。AD=AB,.∠B=∠ADB=∠ADE。∠BAD= CF,.△AEF的周长=AE+AF+BE+CF=AB+AC。: ∠CAE,∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC。∴.∠BAC= △ABC是等边三角形，.AB=AC=5。.△AEF的周长= ∠DAE。又∠B=∠ADE,AB=AD,∴.△BAC≌△DAE 5+5=10。 (ASA)。AC=AE。.△ACE是等腰三角形。(2)在 15.解：(1)45°(2)∠DAC的度数不会改变。 △ABD中，设∠B=∠ADB=∠ADE=Q,.∠BAD=180°- 理由：EA=EC,∴∠CAE=∠C。.∠AED=2∠CAE。: (∠B+∠ADB)=180°-2ax。.∠BAD=∠CAE=180°-2a。 ∠BAE=90°，∴.∠B=180°-∠BAE-∠AED=90°-2∠C。 ∠ADB=∠ADE=Q,∴.∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE= BA=BD,ZBAD=∠ADB。∴ZBAD=2I80-∠BF 180°-2a。∴.∠CAE=∠CDE。 10.(1)证明：如图1， 3[180-(90-2∠C]=45+∠C。∠DME=∠BME- 过点P作PF∥AQ交BC于点 F,∴.∠PFB=∠ACB,∠DPF ∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C。∴.∠DAC=∠DAE+ ∠CAE=45°-∠C+∠C=45°。(3)EA=EC,. ∠Q。AB=AC,∴LB=LACB。 ∠CAE=∠C。∠AED=2∠C。∠BAE=n°，∠B= ∴.∠B=∠PFB。∴.BPPF。BP= 180°-n°-∠AED=180°-n°-2∠C。BA=BD,∴.∠BAD= CQ,PF=CQ。又：∠PDF= 图1 ∠QDC,∴.△DPF≌△DQC(AAS)。.PD=DQ。(2) ∠ADB。∠BAD-2(180P-∠B)=7[180-(180P-n- 解：线段ED的长度保持不变。理由：①如图2，若点 P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于点F。与 2∠C)]=7n+LC。∠DAB=∠BAE-∠BAD=n2 (I)同理可证，PB=PF,△DPF≌△DQC。DF=DC。 -∠C=7-LC。∠DAC=∠DAE+∠CAE= PE1BC,BE=ER。ED=EF+Fm=BF+C=月 L0+zG2。 BC=3。②如图3，若点P在线段BA的延长线上，过 点P作PM∥AC交BC的延长线于点M,设PQ与CM 16.V3-117.B 交于点D,.∠M=∠ACB。AB=AC,∴.∠B=∠ACB。 18.证明：，△ACD,△BCE分别是以AC,BC为 ∴∠B=∠M。PM=PB。PE⊥BC,BP=CQ,∴BE=EM, 底边的等腰三角形，AD=DC,CE=BE。.∠A= PM=CQ。PM∥AC,∴.∠MPD=∠CQD,∠M=∠DCQ。 ∠DCA,∠ECB=∠CBE。·∠A=∠CBE,∴∠A=LECB= ∴.△PMD≌△QCD(ASA)。.CD=DM。∴ED=EM-DM= ∠DCA=∠CBE。.CD∥BE。∴∠DCE=∠CEB。EF= AD,.EF=DC。又CE=BE,∴.△DCE≌△FEB(SAS) BM-CM=宁(BM-CW)=BC=3。综上所述，线 ·DE=BF。 段ED的长度保持不变。 2等腰三角形（第2课时）】 1.32.B3.D4.C 5.证明：：∠BAC=90°，.∠ABE+∠AEB=90°。 AD⊥BC,.∠DBF+∠BFD=90°。∠ABE=∠CBE, ∠AEB=∠BFD。:∠BFD=∠AFE,∴.∠AEB=∠AFE ·AE=AF。 6.证明：AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD。 图2 图3 第10题答图 DE∥AC,∠ADE=∠CAD。.∠ADE=∠BAD。 11.D AE=DE。∠EBD=∠EDB,∴EB=ED。AB=AE+EB, ·AB=2DE。 2等腰三角形（第3课时） 7.证明：，·∠B+∠BDE+∠BED=180°，∠BED+ 1.答案不唯一，如：∠B=60°或∠C=60°或AB=AC ∠DEF+∠FEC=l80°，∠B=∠DEF,.∠BDE=∠FEC。 或AC=BC或AB=BC :AB=AC,∠B=∠C。又BD=CE,∴.△BED≌△CFE。 2.63.44.D DE=EF,即△DEF是等腰三角形。 5.(1)证明：BP=AP=AO=OC,∴.∠B=∠PAB 8.(1)证明：△ABC是等边三角形，∠ABC= ∠C=∠QAC。∠PAQ=60°，∴.△APQ为等边三角形。 LACB=60°。·BD是等边三角形ABC的中线，： ∴.∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°。∠APQ=∠B+∠PAB, ∠ABD=∠CBD=30°。∠ACB=∠E+∠CDE,CE=CD, LAQP=∠C+∠QAC,∴∠B=∠PAB=∠C=∠QAC=30°。 ∠E=∠CDE=30°。.∠CBD=∠E。.DB=DE。(2) AB=AC。(2)解：∠B=∠C=30°，∴.∠BAC=180° 解：成立。若BD是△ABC的角平分线或高，根据等 -∠B-∠C=120°。 腰三角形的三线合一性质，BD即是三角形的中线，转 6.证明：△ABC和△DEB为等边三角形，.BC= 化为(1)的问题。 AB.∠ABC=∠DBE=60°.DB=EB。.·.△ADB≌△CEB 数学 八年级下册（北师大版） (SAS)。∴.∠BAD=∠BCE。又∠ABN=∠ABC+ ∠CBN=120°，∠CBM=180°-∠ABC=120°，.：.∠ABN= △ABE≌△CBE(SSS)。LAEB=LCEB=7乙AEC= ∠CBM。又AB=BC,.△ABN≌△CBM(ASA)。 1×120°=60°。由(1)知，∠GCE=60°，·∠EGC= .BN=BM。又：∠NBM=180°-∠ABC-∠DBE=60°， △BMN是等边三角形。 60°。∴.∠GEC=LGCE=LEGC=60°。.△CEG是等边三 角形。 7.(1)证明：PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB, ABPE-AG-PF,ABCW. 3直角三角形（第1课时） 1.162.m3.204.C5.A ABPE+ACPF-AB 2 6.解：(1)假命题。如果x>0,那么x2>0,真命 CH。AB=AC,.PE+PF=CH。(2)解：CH=PE- 题。(2)真命题。有一个内角等于90°的三角形是 PF。理由：PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,S△= 直角三角形，真命题。(3)真命题。轴对称图形是 AB-PE.S-AC-PF.BCH 等腰三角形，假命题。 (4)真命题。面积相等的两 个三角形是全等的三角形，假命题。 Sam-Sae,∴74B-CI=AB-PE-AC-R。又 7.证明：在△ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6, AB=AC,.CH=PE-PF。(3)解：在△ACH中， .由勾股定理得AC=VAB+BC=V8246F=10。在 ∠A=30,4C-2CH。5am=AB-CH,AB=AC, △ACD中，AC+DC=100+576=676,而AD=26=676, .AC+DC=AD。.△ACD是直角三角形。 ×20H-CH=49。C1=7。当P为底边C上-点时， 8.证明：在Rt△ABC中，.∠ACB=90°，.∴.由勾 股定理得AC+BC=AB2。.△ABD是等腰直角三角形， ,PE+PF=CH,PE=CH-PF=7-3=4;当P为BC延长线 ∴.∠D=90°，AD=BD。由勾股定理得AD+BDP=AB, 上的点时，.CH=PE-P℉，.PE=3+7=10。 8.(1)证明：△ABC与△ADE互为“顶补等腰 AD=BD=Y7AB。S=AD-BD=子AE。同理可 2 三角形”，AB=AC=AD=AE,∠BAC+∠DAE=180°。 ∠B=∠C。又AM⊥BC,AN⊥ED,.∠ANE=∠AMB= 得，=C,s=子AC。S+S,BC+子4C 90°，∠EAN=∠DAN,EN=ND。'·∠BAC+2∠EAN= (BC+MC=4AR,S+S=S,即S=+s 180°。又∠BAC+2∠B=180°，∴.∠B=∠EAN。∴ △ABM≌△EAN(AAS)。∴.NE=AM。 (2)解：当 9.解：(1)如图。 点P为AC的中点时，△PAB与 D △PDC互为“顶补等腰三角形”。 如图，在AC上截取CP=BC,连 接PB,PD,AD=AB,CD=BC, AC=AC,.△ADC≌△ABC (SSS)。∴.LADC=∠ABC=90°， D H ∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ACB。 第8题答图 第9题答图 ∠BAD=60°，LDAC=∠BAC=号∠BAD=30°。 2 (2)△ADF是等腰直角三角形。理由：AB=AC, ∠ACD=∠ACB=6O°。CP=BC,CD=BC,∴.CP=BC=CD。 AD⊥BC,.∠BAD=∠CAD。AF平分∠EAC, .△BCP和△CDP是等边三角形。PB=PC=PD, ∠EAF=∠FAC。:∠FPAD=∠FAC+∠DAC=号∠EAC+ 2 ∠CBP=∠PDC=∠CPD=∠CPB=6O°。.∠ADP=∠ABP= 90°-60°=30°。.∠BAP=∠ABP,∠DAP=∠ADP, 号∠B1C=×180-90,△ADF是直角三角形。 ∠APB=120°。AP=PB=PD=CP,∠APB+∠DPC=180°。 AB=AC,.∠B=∠ACB。:∠EAC=2∠EAF=∠B+ ∴.△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”。 ∠ACB,∴.∠EAF=∠B。AF∥BC。.∠AFD=∠FDC。 9.6或12 DF平分∠ADC,.∠ADF=∠FDC=∠AFD。:AD=AF, 10.(1)解：△ABC是等边三角形，.∠ACB= 即直角三角形ADF是等腰直角三角形。 60。D是AB的巾点，∠DCB=∠DCA=号∠ACB= 10.(1)证明：如图1，连接AD。∠BAC=90°， 30°。CE⊥BC,.∠BCE=90°。∴.∠DCE=∠BCE- AB=AC,∴.∠B=∠C=45°。又BD=DC,∠BAD= ∠DCB=60°。(2)证明：EF是由CD平移得到的， ∠CAD=45°，ADLBD。.∠B=∠DAF-45°。.∠BDE+ .CD∥EF。·.∠EAC=∠DCA=30°。又：∠ECA= ∠ADE=90°，AD=BD。又∠EDF=90°，.∠ADF+ ∠BCE-∠ACB=30°，.∠EAC=∠ECA。.AE=CE。. ∠ADE=90°。∴.∠ADF=∠BDE。.△ADF≌△BDE. ∠AEC=180°-2∠EAC=120°。又，AB=CB,BE=BE,. AF=BE。AE=FC。在Rt△AEF中，EF?=AE+AF2,