7.1.2 两条直线垂直-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（人教版2024）

数学 七年级下册（人教版） 7.1.21 两条直线垂直 知识梳理@形成联系 【知识点1】两条直线垂直的概念 ©一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是 时，我们说a 与b互相 ,记作“a b”.其中的一条直线叫作另一条直线的 它们的交点叫作垂足 如图7.1-5，直线AB,CD相交于点O,∠BOC=90°，则AB与CD的位 置关系是 ,记作 【知识点2】垂线的性质 ©在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直 图7.1-5 如图7.1-6，过点P画出线段AB的垂线 P 图1 图2 图3 图7.1-6 【知识点3】垂线段与点到直线的距离 ©垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成： ©点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离 1.如图7.1-7是某同学体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正 确解释这一现象的数学知识是() A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短 C.两点确定一条直线 D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A B A D 為 超市 图7.1-7 图7.1-8 2.如图71-8，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站， 且有A，B,C,D四个地点可供选择.若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在() A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 相交线与平行线 第七章 例题点拨Q素养导向 【例】如图7.1-9，直线AB,CD相交于点O,射线OD平分∠BOF,OE⊥CD于点O, ∠A0C=35. (1)求∠EOF的度数 (2)试判断射线OE是否平分∠AOF,并说明理由， 【点拨】本题考查垂线、角平分线的定义、对顶角等知识，解题 的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.(1)根据对顶角 图7.1-9 的性质，求出∠BOD的度数，再根据角平分线定义和垂直的定义，求出∠EOF(2)根据垂 直定义和平角定义，求出∠AOE,比较∠AOE与∠EOF的大小 夯实四基达标闯关 1.如图，点O在直线BD上，已知∠1=20°，OC⊥OA,则 ∠D0C的度数为() A.20° B.70° C.110° D.90° 第1题图 2.小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分 别为A,B,小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是( A●C 沙坑 沙坑 沙坑 沙坑 踏板二 踏板二 踏板二 踏板二 A B 0 0 3.如图，生活中有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是() A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释 B.现象1用垂线段最短来解释，现象2用经 过两点有且只有一条直线来解释 B C.现象1用垂线段最短来解释，现象2用两 点之间线段最短来解释 现象1：测量跳远的成绩现象2：弯曲的河道改直 D.现象1用经过两点有且只有一条直线来解 第3题图 释，现象2用垂线段最短来解释 数学 七年级下册（人教版） 4.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD, 若∠BOD=50°，则∠AOE的度数为 5.如图，0A⊥0B,0C⊥0D,若∠1=50°，则 2 ∠2的度数是 6.如图，已知直线BC及直线外一点A,按要 第4题图 第5题图 求完成下列问题， (1)画出射线CA,线段AB.过点C画CD⊥AB,垂足为D. (2)比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由 (3)在图中，互余的角为 ，互补的角为 (各写出一对即可) 第6题图 能力提升坤综合拓展 7.如图，直线AB,CD交于点O,过点O作射线OE,OF,使OE平分∠AOC,∠COF= 3∠C0E. (1)若∠AOD=134°，求∠B0F的度数. (2)若OE⊥OF,求∠BOD的度数. 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2025·山西模拟)哪吒在陈塘关玩耍时，突然发现东海海面 上出现了一群海妖，正朝着陈塘关袭来.假设陈塘关的城墙是一条 直线1，哪吒此时在点P处，他要尽快赶到城墙1上的某一点去察看 海妖下一步的动向.如图所示，则哪吒最先到达城墙的路线是线段 第8题图 理由是 E 9.(2025·北京模拟)如图，直线AB和CD相交于点O,OE⊥ 0C.若∠AOC=40°，则∠E0B的度数为 第9题图 6参考答 案 参考答案 第七章相交线与平行线 【知识点3】垂线段最短垂线段1.B 7.1相交线 2.C 7.1.1两条直线相交 【例】解：(1)OD平分∠BOF,.∠BOD 【知识点1】邻补角对顶角1.C2.(1) ∠D0F.∠B0D=∠AOC=35°，∴.∠D0F=35° ∠AOD,∠BOC(2)∠DOE (3)∠A0C, E0⊥CD,∴.∠EOD=90°，.∠EOF=90°-∠D0F ∠B0D(4)∠AOC 90°-35°=55°.(2)0E平分∠A0F理由如下： 【知识点2】相等∠A0D,∠B0C 50° ∠A0B=180°，∠E0D=90°，.∠AOE+∠B0D= 130° 90°.∠B0D=35°，∴.∠A0E=55°.∠E0F=55°， 【例】解：∠AME=104°，∠AME+∠BME= ∴.∠AOE=∠E0F,.OE平分∠A0E 180°，∴.∠BME=180°-104=76.MC平分∠AME, 1.C2.C3.C4.40°5.50° 6.解：(1)如图所示. ÷∠AMC=L∠AME=52,÷∠BMD=∠AMG=52. 2 (2)CD<CA,理由是 1.C2.C3.C4.67.5°5.138° 垂线段最短」 6.解：0E平分∠A0D,∠1=26°，.∠A0D= (3)∠DAC和∠DCA, 2∠1=52°，.∠2=∠A0D=52°.∠F0C=90°，∴.∠3= ∠ADC和∠BDC. 180°-∠A0D-∠F0C=180°-52°-90°=38°. 7.解：(1)∠A0D= 7.解：(1)∠B0D=∠A0C=76°，又0E平分 134°，∴.∠A0C=180°- ∠B0D,∴∠D0E=∠B0E=3∠B0D=2×76=38. ∠A0D=46°.0E平分 第6题答图 ∠C0E=180°-∠D0E=180°-38°=142°.，0F平分∠C0E, ∠A0C,∠C0E=3∠A0C=-23,ZC0F3200E, ∴∠B0F=3∠C0E=分×142=71，∠B0F=-∠B0r- ∠C0F=3×23°=69°.∠B0C=∠A0D=134°，∴.∠B0F= 2 ∠B0C-∠C0F-134°-69°=65°. ∠B0E=71°-38°=33°. (2)0E⊥0F,.∠C0E+∠C0F=∠E0F=90°.： (2)0E平分∠B0D,OF平分∠C0E,.∠B0E= ∠C0F=3∠C0E,.∠C0E=22.5°..0E平分∠A0C, ∠EOD,∠COF=∠FOE,∴.设∠BOE=x,则∠DOE=x, ∠A0C=2LC0E=45°，∴.∠B0D=∠A0C=45 故∠C0A=2,∠E0F=∠C0F=x+36°，则∠AOC+ 8.P℃垂线段最短9.50° ∠C0F+∠B0F=2x+(x+36°)+36°=180°，解得x=36°，故 7.1.3两条直线被第三条直线所截 ∠A0C=72°. 【知识点】(1)∠5∠7(2)∠8 ∠5 (3)由(1)知∠B0F=∠EOF-∠B0E=1∠COE- (3)∠3∠2 2 【例】解：(1)同位角：∠F4E和∠B.内错 3∠B0D2180P-∠D0E)7LA0C-90P-4∠B0D- 角：∠B和∠DAB.同旁内角：∠EAB和∠B. 3∠A0c=90-子∠A0C-7∠A0c=0P-∠A0C. (2)内错角：∠EAC和∠BCA,∠DAC和 4 ∠ACG.同旁内角：∠EAC和∠ACG,∠DAC和 即∠B0F-90°-3∠A0C. ∠BCA. 4 (3)内错角：∠BMC和∠ACG,∠FMC和 8.A9.40° ∠BCA.同旁内角：∠BAC和∠BCA,∠FAC和 7.1.2两条直线垂直 ∠ACG 【知识点1】直角垂直上垂线垂直 1.D2.D3.B4.①②③5.AB AC BD AB⊥CD 同旁内角 【知识点2】有且只有 6.(1)∠2(2)∠4(3)ED(4)AF同位 7.解：(1)如图所示 (2)∠1=2∠2，∠2= 2∠3，.设∠3=x,则∠2= 2x,∠1=4x.∠1+∠3=180°， x+4r=180°，解得x=36°， 故∠3=36°，∠2=72°，∠1= 图 图2 图3 144° 知识点2答图 第7题答图 49