4.3 探素三角形全等的条件(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

三角形 第四章 探索三角形全等的条件（第2课时) 自主导学Q典例精析 例题如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AE= CE。请说明：△AEF≌△CEB。 【分析】由AD⊥BC,CE⊥AB,易得∠AFE=∠B,利用全等三角形的判 定得△AEF≌△CEB。 【解答】理由：因为AD⊥BC,CE⊥AB,所以∠ADC=∠AEC=∠CEB=90°。 例题图 所以∠BAD+∠AFE=90°，∠BAD+∠B=90°。 所以∠AFE=∠B。 在△AEF与△CEB中，因为∠AFE=∠B,∠AEF=∠CEB,AE=CE, 所以△AEF≌△CEB(AAS)。 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，以及余角的性质。 基础巩固飞)达标闯关 1.如图，在△ABC和△ADE中，BE与CD相交于点A,AC=AE,若添加条件 得△ABC≌△ADE(AAS);若添加条件 ,得△ABC兰△ADE(ASA) 2.如图，AB∥EF,DF∥BC,则△DEF≌ ,根据是 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，AB=CD,AD与BC相交于点O,若使△ABO≌△DCO,则应添加条件() A.AO=BO B.∠AOB=∠COD C.∠A=∠D D.∠A=∠B 4.如图，已知∠a和线段a,求作一个三角形，使它的一个内角为∠a,另一个内角为 2∠a,这两角的夹边为a。 人a 第4题图 85 口数学 七年级下册（北师大版） 5.如图，已知AB∥DE,AC∥DF,AB=DE,试说明：BE=CF。 E C 第5题图 6.如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB,DF交AC于点E,DE=EF。 (1)请说明：△ADE≌△CFE。 (2)若AB=5,CF=4,求BD的长。 第6题图 能力提升坤综合拓展 一 7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=AC,点E是BD上一 点，且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC。若BD=8,DC=5,求ED的长。 第7题图 8.如图，点B,C分别在射线AM,AN上，点E,F都在∠MAN内部的射线AD上，已 知AB=AC,且∠BED=∠CFD=∠BAC。 M (1)请说明：△ABE≌△CAF。 (2)猜想EF,BE,CF之间的数量关系，并说明理由。 第8题图 0 三角形 第四章 9.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，BD⊥AE于 点D,CE⊥AE于点E。 (1)△ABD≌△CAE成立吗？为什么？ (2)BD,DE和CE有怎样的数量关系？为什么？ (3)若直线AE在图2所示的位置时(BD<CE),其他条件不变，BD,DE和CE有怎样 的数量关系？（直接写出结论，不必说明理由） (4)若直线AE在图3所示的位置时(BD>CE),其他条件不变，BD,DE和CE有怎样 的数量关系？（直接写出结论，不必说明理由） 图1 图2 图3 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2025·云南)如图，AB与CD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D。求证：△AOC≌ △BOD. 第10题图 11.(2024·镇江)如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB。 (1)请说明：△ABC≌△BAD。 (2)若∠DAB=70°，求∠CAB的度数。 第11题图 ⑦数学 七年级下册（北师大版） 13,CD-60所以cDg(cm)。15.解：有2条角 平分线，其中AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE 的角平分线：有2条中线，其中BE是△ABC的中线 DE是△ADC的中线：有1条高线，EG分别是△BDE △BEG,△BEC,△DEC,△DEG,△CEG的高线。 16.解：(1)在△ABC中，因为∠A+∠ABC+∠ACB= 180°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A。在△BCP中， 因为∠P+∠PBC+∠PCB=180°，所以∠P=180°- (∠PBC+∠PCB)。又因为PB,PC分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，所以∠PBC=?∠ABC,∠PCB= 分∠ACB。所以∠P=I80P-(3LABC+∠ACB 180-7(∠ABC+∠ACB)=180-7(180°-∠A)。所以 LP-90+号∠A。(2)不成立。结论为LP=号∠A。 (3)∠P=90-1∠A。17.100°18.C19.B 2 2全等三角形 1.35°2.105°3.64.120°5.A6.B7.D 8.C9.解：因为△ABC≌△DEF,所以∠ACB= ∠DFE。所以BC∥EF。1O.解：因为△ABD≌△ACE 所以AD=AE,AB=AC。所以AD-AC=AE-AB,即CD=BE。 11.解：(1)因为△ABC≌△DEB,BC=3,所以BE= BC=3。所以AE=AB-BE=6-3=3。(2)因为△ABC≌ △DEB,所以∠ABC=∠DEB。因为∠A=25°，∠C=55°， 所以∠DEB=∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-25°-55°= 100°。所以∠AED=180°-∠DEB=180°-100°=80°。12. 解：(1)AC⊥AB。理由：因为CE⊥DE,所以 ∠CED=90°。所以∠AEC+∠BED=90°。因为△ACE≌ △BED,所以∠ACE=∠BED。所以∠ACE+∠AEC=90° 所以∠A=180°-（∠ACE+∠AEC)=180°-90°=90°。所以 AC⊥AB。(2)AB=AC+BD。理由：因为△ACE≌ △BED,所以AC=BE,AE=BD。所以AB=BE+AE=AC+ BD。13.解：(1)因为∠B=50°，∠BAE=70°，∠B+ ∠BAE+∠AEB=180°，所以∠AEB=60°。因为∠AEF= 60°，∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，所以∠FEC=60°。因 为∠C=50°，∠FEC+∠C+∠EFC=180°，所以∠EFC= 70°。(2)因为△ABE≌△AFE,∠BAF=100°，所以 ∠BAE=∠EAF=7∠BMF=-50°。因为∠B+∠BAE+ ∠AEB=180°，所以∠AEB=180°-50°-50°=80°。(3)当 △ABE≌△ECF时，EC=AB=2.5。因为BC=6,BE=BC- EC6-2.5=3.5。当△ABE≌△FCE时，BE=CE。因为 BC=6=BE+CE,所以BE=CE=BC=3。综上所述，BE 的长为3或3.5.14.100°15.C 3探索三角形全等的条件（第1课时）】 1.①与③，②与④ 2.三角形具有稳定性 3.B4.解：如图所示。 6 m 5解：在△ABC和△ADE B a D a 中，AB=AD,AC=AE, BC=DE,所以△ABC≌ 第4题答图 △ADE(SSS)。所以∠C=∠AED。又因为∠EAC=180° -∠AEC-∠C,∠DEB=180°-∠AEC-∠AED,所以 ∠EAC=∠DEB。6.解：(1)因为AF=DC,所以 AF-CF-DC-CF,即AC=DF。又因为AB=DE,BC=EF, 所以△ABC≌△DEF(SSS)。所以∠A=∠D。所以 AB∥DE。(2)成立，理由略。7.解：(1)因为 1 AD=BE,所以AD+BD=BE+BD,即AB=DE。在△ABC 和△DEF中，AB=DE,AC=DF,BC=EF,所以 △ABC≌△DEF(SSS)。(2)因为∠A=55°，∠E= 45°，△ABC≌△DEF,所以∠A=∠FDE=55°，所以 ∠F=180°-（∠FDE+∠E)=180°-(55°+45）=80°。 3探索三角形全等的条件（第2课时） 1.∠B=∠D∠C= ∠E2.△EDB ASA或 AAS3.C4.如图所示。 5.解：因为AB∥DE, 所以∠B=∠DEF。因为 2a AC∥DF,所以∠ACB=A a B ∠F。又因为AB=DE,所 以△ABC≌△DEF(AAS)。 第4题答图 所以BC=EF,即BE+EC=FC+EC。所以BE=CF。6. 解：(I)因为CF∥AB,所以∠ADF=∠F,∠A= ∠ECF。在△ADE和△CFE中，因为∠A=∠ECF, ∠ADE=∠F,DE=FE,，所以△ADE≌△CFE(AAS)。 (2)因为△ADE≌△CFE,所以AD=CF=4。所以 BD=AB-AD=5-4=1.7.解：因为∠BAC=∠EAD 所以∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC。所以∠BAE= ∠CAD。在△ABE和△ACD中，因为∠ABD=∠ACD AB=AC,∠BAE=∠CAD,所以△ABE≌△ACD (ASA)。所以BE=CD。因为BD=8,DC=5,所以ED= BD-BE=BD-CD=8-5=3.8.解：(1)因为∠BAE+ ∠AEB+∠ABE=180°，∠BED+∠AEB=180°，所以 ∠BED=∠BAE+∠ABE。因为∠BAC=∠BAE+∠CAF」 ∠BED=∠BAC,所以∠ABE=∠CAF。同理，得 ∠BAE=∠ACF。在△ABE和△CAF中，因为∠ABE= ∠CAF,AB=AC,∠BAE=∠ACF,..△ABE≌△CAF (ASA)。(2)EF+CF=BE。理由：因为△ABE≌ △CAF,所以AE=CF,BE=AF。因为AE+EF=AF,所 以CF+EF=BE。9.解：(1)成立。理由：因为 BD⊥AE,CE⊥AE,所以∠ADB=∠AEC=90°。所以 ∠BAD+∠ABD=90°。又因为∠BAC=90°，所以∠BAD+ ∠CAE=90°，所以∠ABD=∠CAE。又因为AB=AC,所 以△ABD≌△CAE(AAS)。 (2)BD=DE+CE。由 (1)知△ABD≌△CAE,所以AD=CE,BD=AE。因为 AE=AD+DE,所以BD=DE+CE。 (3)BD=DE-CE。 (4)BD=DE-CE。10.解：在△AOC和△BOD 中，因为∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,AC=BD,所以 △AOC≌△BOD(AAS)。11.解：(1)在△ABC 和△BAD中，因为∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB, AB=BA,所以△ABC≌△BAD(AAS)。(2)因为 ∠DAB=70°，∠D=90°，所以∠DBA=90°-70°=20°。由 (1)知△ABC≌△BAD,.∠CAB=∠DBA=20°。 3探索三角形全等的条件（第3课时） 1.SAS2.EA=BC3.B4.解：因为BD=CE, ∠CBD=∠ECB,BC=CB,所以△BCE≌△CBD(SAS)。 所以∠ACB=∠ABC。5.解：因为∠ABD=∠CBE, 所以∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE,即∠ABE= ∠DBC。又因为AB=DB,BE=BC,所以△ABE≌ △DBC(SAS)。6.如图所示。 第6题答图 80