4.1认识三角形(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

三角形 第四章 第四章 三角形 知识网络 三角形的概念和表示 三边及其关系 三角形的基本要素和性质 三角形的性质 三个内角及其关系 与三角形相关的重要线段及其性质 三角形 三角形的分类 全等三角形的概念和表示 三角形的全等关系 全等三角形的条件及尺规作图 三角形全等的应用 1 认识三角形（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB,交AB于点E,∠A=45°，∠BDC=60°， 求△BDE各内角的度数。 【分析】先根据平角定义求∠ADB,再根据三角形内角和定理求∠ABD, 然后运用角平分线性质和平行线的性质得出∠BDE的度数，进而再次利用 R 三角形内角和定理求∠BED的度数。 例题图 【解答】因为∠ADB=180°-∠BDC,∠BDC=60°， 所以∠ADB=120°。 以∠ABD=180°-∠BDA-∠A=180°-120°-45°=15°。 因为BD是∠ABC的平分线，所以∠CBD=∠EBD=15°。 因为DE∥BC,所以∠BDE=∠CBD=15°。 所以∠BED=180°-∠EBD-∠EDB=150°。 【点拔】本题考查三角形内角和定理以及平行线性质的综合运用。解题的关键是利用 平角定义把两个已知角转化到一个三角形中，从而为运用三角形内角和定理提供前提 条件。 口数学 七年级下册（北师大版） 基础巩固（达标闯关 -e多e 1.如图，图中的三角形可表示为 ，它的三条边是 它的三个内角是 2.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是 81 3.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=50°，则△ABC是 三角形。 第1题图 4.一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形最大的内角是 ，这 个三角形是 三角形。 5.一个三角形三个内角中的最小角不能大于() A.30° B.45° C.60° D.90° 6.一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少为( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.在有一个锐角等于30的钝角三角形中，另一个锐角α的度数的取值范围是() A.0°<a<150° B.0°<a<90 C.60°<a<90° D.0°<a<60° 8.在△ABC中，AD⊥BC于点D,且AD将∠BAC分为两个度数为20°和50°的小角，则 此三角形一定为（) A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法判断 9.在条件：①∠A+∠B=2∠C:②∠A:∠B:∠C=1:1:2:③∠A=∠C-∠B:④∠A=∠B= ∠C:⑤LA=了LB=了∠C中，能确定△ABC是直角三角形的是() A.①②③④ B.②③④⑤ C.②③⑤ D.①③⑤ 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB。 (1)表示出图中的直角三角形及对应的斜边。 (2)写出与∠A相等的角。 (3)写出与∠A互余的角。 第10题图 11.如图，已知∠A=30°，∠B=37°，BD∥EF,求∠E的度数。 第11题图 三角形 第四章 能力提升睡综合拓展 12.如图，B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的 北偏东85°方向，求∠ABC和∠ACB的度数。 北D 南 第12题图 13.如图，将三角尺（△MPW,∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），三角 尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C。 (1)若∠A=50°，求∠PBC+∠PCB和∠ABP+∠ACP的度数。 (2)猜想∠ABP,∠ACP,∠A的数量关系，并说明理由。 第13题图 中考链接©真题演练 -一多eE 14.(2024连云港)如图，直线a∥b,直线1La,∠1=120°，则∠2= 609 第14题图 第15题图 第16题图 15.(2025·南充)如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线1上，则∠的度数是 ( A.120° B.130° C.140° D.150° 16.(2025.福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示 的方式摆放，其中点A,E,C,F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF= 60°。当AD∥BC时，∠ADE的大小为（) A.5° B.15° C.25° D.35° 73参考答案与提示 1+4+5=50。解得=14。所以标有8元的小球有14个， ∠PCB=90°，所以90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A=180°。所 则标有2元的小球有27个。从袋中任意摸出一个球， 以∠ABP+∠ACP+∠A=90°，即∠ABP+∠ACP=90°- 所有可能的结果有50种，且每种结果出现的可能性相 ∠A。 14.30°15.D16.B 同，摸出标有50元、8元、2元小球的结果共有45 1认识三角形（第2课时） 个，所以（获得奖品）费号：只摸出标有8元小球 1.3<c<72.15cm3.D4.C5.C6.A7. 解：共有3种。分别是：3cm,4cm,5cm;4cm, 的结果有14个，所以P(获得8元奖品)=4=7 50-250 5cm,7cm;3cm,5cm,7cm。8.解：因为AB= 5,BC=2,根据三角形三边之间的关系，得5-2<AC< (2)设需要把y个标有2元的小球改为8元，则标有 5+2,所以3<AC<7。因为AC为奇数，所以AC=5。所 8元的小球有+14)个。由题意，得-号。解 以△ABC的周长=5+5+2=12。因为AC=5,AB=5,所以 得y=6。所以需要把6个标有2元的小球改为8元的 AB=AC。所以△ABC是等腰三角形。9.解：如图， 连接AC,在△ACD中，AD=1,DC=3,根据三角形三 小球。11.解：由图形知，可将转盘分为12等份， 边之间的关系，得3-1< 1 D 每份扇形圆心角为30°，则打九折区域的扇形圆心角 为90°，为3份，打八折区域的扇形圆心角为60°，为 AC<3+1,所以2<AC<4。 在△ABC中，因为AB= 2份，不打折区域的扇形圆心角为210°，为7份，因 1,所以AC+AB<5,AC- 为这12个扇形的大小相同，转动的转盘又是自由停 AB>1。根据三角形三边 止，所以指针指向每个扇形的可能性相等。(1)所 之间的关系，得AC-1< 以八打九折是子，所以P打人折品名。(2) x<AC+1,所以1<x<5。 所以x可能的值为2或3 200×80%=160(元)，200×90%=180（元），200+160= 或4。 第9题答图 360(元)，180×2=360（元），所以他们获得优惠的情 10.解：AB+ 况分为两种：①一个不打折，一个打八折：②都打九 AC>BP+CP。理由：在△ABD和△PDC中，因为AB+ 折。12.解：因为取出9张红桃、10张黑桃、11张 AD>BD,CD>CP-PD,所以AB+AD+CD>BD+CP-PD 方块，所以共有30张，所以取出扑克牌的所有可能结 因为AC=AD+DC,BP=BD-PD,所以AB+AC>BP+CP 果有30种，且每种结果出现的可能性相同。(1)抽 11.B12.B 出扑克牌是红桃的结果有9种，所以（抽出一张是红 1认识三角形（第3课时） 桃)-0品2)①因为半件~再拍出的这张牌是方 1.212.62°3.104.25.7或36.B7.C 8.D9.C10.A11.解：因为∠BED+∠AEB= 块”为必然事件，则剩下的牌中只有方块，所以当m 180°，∠BED=40°，所以∠AEB=180°-∠BED=140°。 为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事 又因为∠BAD+∠AEB+∠ABE=180°，∠BAD=25°，所 件。②因为事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事 以∠ABE=180°-∠AEB-∠BAD=15°。因为BE平分 件，所以剩下的牌中有黑桃和方块。因为>6，所以 ∠ABC,所以∠ABC=2∠ABE=30°。因为AF为△ABC 当m为9,8,7时，事件“再抽出的这张牌是方块” 的高，所以∠AFB=90°。所以∠BAF=90°-∠ABF=90° 为随机事件，这个事件概率的最小值为04 30°=60°。12.解：(1)因为AE是△ACD的中线， DE=4,所以DC=2DE=8。因为AD是△ABC的中线， 13.}14.号15.B 所以BC=2DC=16。(2)因为AD是△ABC的中线， 所以BD=DC。因为△ABD与△ACD的周长差为3，所 第四章三角形 以(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=3。所以AB-AC=3. 1认识三角形（第1课时）】 因为△ABC的周长为37，BC=12,所以AB+AC=37- 12=25。所以AC+3+AC=25。所以AC=11.13.如图 1.△ABC AB,BC,AC∠A,∠B,∠C2. 80°3.钝角4.90°直角5.C6.C7.D8.A 所示。 9.C10.(1)Rt△ABC,AB;Rt△ACD,AC; Rt△BCD,BC。(2)∠BCD。(3)∠B,∠ACD。 11.解：在△ABC中，因为∠A+∠B+∠ABC=180°， ∠A=30°，∠B=37°，所以∠ACB=113°。因为∠DCE= ∠ACB,所以∠DCE=113°。又因为BD∥EF,所以 ∠DCE+∠E=180°。所以∠E=67°。 12.解：由题 意，得DB∥AE,∠BAE=40°，∠CAE=10°，所以 ∠BAC=∠BAE+∠CAE=50°.∠DBA=∠BAE=40°。因 为∠DBC=85°，所以∠ABC=∠DBC-∠DBA=45°。因为 ∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，所以∠ACB=180° ∠BAC-∠ABC=85°。13.解：(1)因为∠A=50°， ∠ABC+∠ACB+∠A=180°，所以∠ABC+∠ACB=130° B 因为∠P-90°，∠P+∠PBC+∠PCB=180°，所以∠PBC+ ∠PCB=90°。因为∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= 第13题答图 ∠ACB-∠PCB,所以∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB (∠PBC+∠PCB)=130°-90°=40°。 (2)结论： 14,解：(1)画图略。Sac=AC~BC=)×5x12= ∠ABP+∠ACP-90°-∠A。理由：因为（∠PBC+∠ABP) +(∠PCB+∠ACP)+∠A=180°，即（∠PBC+∠PCB)+ 30(cm2)。 (2)因为3AB-CD=BCC1,所以 (∠ABP+∠ACP)+∠A=180°。由(1)知∠PBC+