2.2 探索直线平行的条件(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 七年级下册（北师大版） 探索直线平行的条件（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，直线AB,CD被直线EF所截，∠1=∠2，直线AB与 CD是否平行？如果平行，请说明理由。 【分析】要判断直线AB与CD平行，只需判断同位角∠3与∠2或 ∠1与∠4相等即可。 【解答】AB与CD平行。 例题图 因为∠1=∠2，∠1=∠3， 所以∠3=∠2。所以AB∥CD。 【点拨】此题中已知的是有关角的条件，要证AB∥CD,只需找到与直线AB,CD有关 的同位角相等的条件即可。 基础巩固飞达标闯关 1.如图，∠BDE的同位角是 ∠ADE与∠DGC是由直线 和直线 被直线 所截形成的同位角。 2.如图，若∠A=∠3，则 若∠1=∠C,则 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，其中是同位角关系的是() A.∠1与∠4 B.∠2与∠4 C.∠3与∠4 D.不存在 4.三条直线两两相交于三点，可构成同位角的对数是() A.4 B.6 C.8 D.12 5.如图，如果∠1=72°，∠2=108°，你能确定哪两条直线平行？请说明理由。 B 第5题图 38 相交线与平行线 第二章 6.如图，AF与BD相交于点C,∠B=∠ACB,且CD平分∠ECF。判断直线AB,CE是 否平行。请说明理由。 第6题图 能力提升坤综合拓展 7.如图，已知∠1=∠3，∠1+∠2=180°，试说明：CD∥EF。 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2025·甘肃)如图1，三根木条a,b,c相交成∠1= 80°，∠2=110°，固定木条b,c,将木条a绕点A顺时针转动 至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转 器-移 第8题图 A.30° B.40° C.60° D.80° 9.(2023·苏州)如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在 格点上，网格内另有A,B,C,D四个格点，下面四个结论中，正确的是 () A.连接AB,则AB∥PQ B.连接BC,则BC∥PQ C.连接BD,则BD⊥PQ D.连接AD,则AD⊥PQ 第9题图 9参考答案与提示 即3n+5x×1×m=4。所以n=号。当x-2=-1时，3n+ 换一组19×13-20×12=247-240=7。证明：设方框框出 的四个数分别为a,a+1,a+7,a+8,则(a+1)(a+7) n(x+2y)(x-2y)=4,即3n+5×(-1)×n=4。.n=-2。综上， -a(a+8)=2+8a+7-2-8a=7。(2)①12×14-6x20= n的值是号或-2.13.2+4x+414.解：原式=+ 168-120=48。②再换一组9x11-3×17=99-51=48。证明： 设选择的四个数的中间数字为x,则四个数为x-1,x+ 2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2,当x=1,y=-2时，原式=2×12+ 1,x-7,x+7,则(x-1)(x+1)-(x-7)(x+7)=x2-1-(x2 (-2)2=6.15.解：(1)由图可知S=(a+2)(a+1)= 49)=x2-1-x2+49=48.17.解：原式=(x2+4x+4)-(x2+3) 2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,当a=2时，S+S2=4+6+2+ =x2+4x+4-x2-3=4x+1。当=-2时，原式=4×(-2)+1=-8+ 10+1=23。(2)S>S2。理由：S-S2=a2+3a+2-5a-1= 1=-7.18.解：原式=(4a2+4ab+b2-4a+b2)÷2b=(4ab+ -2a+1=(a-1)2。因为a>1,所以(a-1)>0,所以S>S2o 2b2)÷2b=2a+b。当a=2,b=-1时，原式=2×2-1=3。 3乘法公式（第4课时） 第二章相交线与平行线 1.10293.-8y4-2415-号4 1 1两条直线的位置关系（第1课时） 1.140°2.45°3.∠2-∠1=90°4.75°5.B 6.347.D8.C9.B10.D11.解：(1)872= 6.D7.解：设这个角为的度数x,则它的余角为90° (90-3)2=902-2×3×90+32=8100-540+9=7569。 (2)5042=(500+4)2=5002+2×4×500+42=250000+4000+ -x,补角为180°-x。依题意有180°-x=4(90°-x),解得 =60°。所以这个角的度数为60°。8.解：(1)因为 16=254016.12.解：(1)原式=42+5x+25- ∠BOC与∠BOD互为余角，所以∠BOC+∠BOD=90°。 4r-5+25）=4r+5x+25-4r45x-25-10。 (2) 因为LB0C=4LB0D,所以LB0C=号×90°=72。 原式=(m2-n2)(m+n2)(m4-n4)=(m4-n)2=m8-2mn+n8。 (2)因为∠AOC与∠B0C互为补角，所以∠AOC+ ∠B0C=180°。所以∠A0C=180°-∠B0C=180°-72°= (3)原式=3a+b了-4-9r+3h+16-16。 4 108°。因为0E平分∠A0C,所以∠C0E=1∠A0C= 2 (4)原式=3(m2+2m+1)-5(m2-1)+2(m2-2m+1)=3m2+ 6m+3-5m2+5+2m2-4m+2=2m+10.13.解：【验证】 号×108-54。所以∠B0E=∠00E+∠B0C=54+72 10的一半等于5,5=1+4=12+2。【探究】理由： 126°。9.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) (m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2n+n2-2m2+2n2=2(m2+ 10.144°11.B12.B13.C n),所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差的 1 平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两 两条直线的位置关系（第2课时） 个正整数的平方和。14.4x(答案不唯一)15.-1012 1.垂直2.5.133.C4.C5.C6.解： 如图，AD⊥BC。 提示：根据a2+b2=(a+b)2-2ab可得(m-2023)2+ (2024-m)2=[(m-2023)+(2024-m)]2-2(m-2023)(2024- D m)=2025。整理，得2(m-2023)(2024-m)=-2024。 4整式的除法 1.(1)2ab(2)ab(3)4x3y2 (4)-2×109 2.2+2ab+b2-13.34.a-2b5.10a+12b6.-3 7.B8A9.D10.A11解：()原式=号 2 6xy÷4xy2=-4xy2÷4xy2=-x2。（2)原式=9y2÷ (-9xy)-8.xy÷xy=-y-8y=-9y。(3)原式=y3-xy2+ 2x3z。 (④)原式-子g0片6122 12.解：原式=(92+462+12ab-9r+462-602+6ab)片1b= (26+18ab)片b=46+36a。将a=号，6=子代入，原 第6题答图 式=4x子+36x了)=-9.13.解：(1)由已知得 7.解：如图，沿着0E的方向 A=-2xy-3y2-x2+4y2+2x2+2xy=x2+y2。（2)x+y=4, 跑，最短的距离为OE的长。 8 y=3,∴A=x2+y2=(x+y)2-20y=42-2x3=10.14.解：(1) 解：(1)因为由平角定义∠AOB= 由图形，得SAa312rS4T30广-孕e。 180°，∠AOD:∠BOD=3:1,所以 ∠B0D=45°，∠A0D=135°。又因为 OD平分∠BOC,所以∠COD=∠BOD= 10 整个健身场地的面积=(a+4a+5a)(1.5a+3a+1.5a)=10a· 45°。所以∠A0C=∠AOD-∠C0D=90°。 6a-60d,S=60-12r-2c-1d。(2)由题 (2)因为∠AOC=90°，所以AB⊥ 第7题答图 意，得607：12-5。答：整座健身馆的面积是成年人 OC。9.B 活动场所面积的5倍。15.解：（2b)(-b)÷ 2探索直线平行的条件（第1课时） 号(ab-号或3wj[(2b(] 1.LBGC DE CG AB 2.AB DE BE CD 3.A4.D5.解：AB∥CD。理由：因为∠1+ 6.16.解：(1)①3x9-2x10=27-20=7。②再 ∠CGE=180°，∠1=72°，所以∠CGE=108°。因为∠2= 108°，所以∠2=∠CGE。所以AB∥CD。6.解： 数学 七年级下册（北师大版） AB∥CE。理由：因为CD平分∠ECF,所以∠ECD= ∠DEF=∠CDE。因为∠CDE=∠CDB+∠BDE,所以 ∠FCD。因为∠ACB=∠FCD,所以∠ECD=∠ACB ∠CDB=∠CDE-∠BDE。所以∠CDB=∠DEF-∠BDE 因为∠B=∠ACB,所以∠B=∠ECD。所以AB∥CE 因为AB∥CD,所以∠ABD+∠CDB=180°。所以 7.解：因为∠1+∠2=180°，∠4+∠2=180°，所以 ∠ABD+∠DEF-∠BDE=18O°。 *13.解：(1)相等 ∠1=∠4。又因为∠1=∠3，所以∠3=∠4。所以CD∥ (或∠1=∠2) 理由：因为AB∥EF,所以∠CGF= EF。8.A9.B ∠2。因为BC∥DE,所以∠CGF=∠1。所以∠1=∠2 2探索直线平行的条件（第2课时） (2)相等（或∠1=∠2）理由：因为AB∥DE 1.(1)DE BC AB同位(2)AB AC DE 所以∠1=∠CGE。因为BC∥EF,所以∠2=∠CGE 同位(3)DE BC AC内错(4)ABAC 所以∠1=∠2。(3)∠1+∠2=180°，如图所示。选 BC同旁内2.答案不唯一，如∠A=∠DCE, 图1的理由：因为AB∥DE,所以∠1+∠BGE=180° ∠ECB=∠B,∠A+∠ECA=180P。3.24.120°5.B 因为BC∥DF,所以∠2=∠BGE。所以∠1+∠2=180° 6.D7.D8.解：答案不唯一，如因为∠1+∠2= 选图2的理由：因为AB∥DF,所以∠DGC=∠1。因为 180°，∠2+∠CNE=180°，所以∠1=∠CNE。所以 ED∥BC,所以∠2+∠DGC=180°。所以∠1+∠2=180° AB∥CD。9.解：因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， (4)这两个角相等或互补14.70°15.C 所以∠1=∠3。所以a∥b。10.解：因为AE,CE分 别平分∠BAC和∠ACD,所以∠BAC=2∠1，∠ACD= 2∠2。又因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°。所 以∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=180°。所以AB∥CD 11.解：1∥2∥，4∥l5。理由：因为∠1=∠4，所 以1∥12。因为∠2=∠3，∠1+∠2=180°，所以∠3+ ∠1=180°，所以2∥13。又因为l∥12，所以1∥1，即 1∥12∥l。因为∠2=∠3，所以14∥15.12.解：答案 图1 图2 不唯一，如∠CGM=42°。理由：因为EF⊥MN,所以 第13题答图 ∠EFN=90°。所以∠BFN=∠EFN-∠BFE=42°。所以 ∠CGM=∠BFN。所以AB∥CD。如∠DGM=138°。理由： 3平行线的性质（第2课时） 因为EF⊥MN,所以∠EFN=90°。所以∠BFN=∠EFN- 1.95°2.50°3.70°，110°4.B5.C6.解： ∠BFE=42°。所以∠BFN+∠DGM=42°+138°=180°。所 成立。因为∠1=∠2，所以l∥l2。所以∠3=∠5。又因 以AB∥CD。13.解：(1)因为OA,OB分别平 为∠4+∠5=180°，所以∠3+∠4=180°。7.解：因为 分LC0E和LD0E,所以∠A0C=号∠C0E,L2= AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD。又因为∠1=∠2，所以 ∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，即∠MBC=∠NCB。所以 LD0E。因为LC0E+∠D0E=180°，所以∠A0C+ BM∥CN。8.解：(1)如图，过点E作EF∥AB, 所以∠B=∠BEF。因为∠BED=∠BEF+∠FED L2=)(∠C0E+∠D0E)-90。因为L1+L2=90°，所以 ∠BED=∠B+∠D,所以∠FED= ∠D。所以EF∥CD。所以AB∥A- ∠A0C=∠1。所以AB∥CD。(2)因为∠2：∠3=2：5， CD。(2)如图，过点E作 E<-------F ∠2=∠D0E,所以∠D0E:∠3=4：5。因为∠D0E+ EF∥AB,所以∠B=∠BEF。又因 为AB∥CD,所以EF∥CD。所以C ∠3=180.所以号∠3+∠3=号∠3=180。所以∠3= ∠FED=∠D。因为∠BED=∠BEF+ 第8题答图 ∠FED,所以∠BED=∠B+∠D。 100°。*14.解：(1)作∠EPF等于已知的∠CAD。 9.解：因为AD∥BC,所以∠A+∠ABC=180°。又因 (2)方法1：由作图可知，∠EPF=∠CAD,所以PF∥ 为DA⊥AB,所以∠ABC=∠A=90°。因为∠ABD=30°， 1。(内错角相等，两直线平行)方法2：由作图的 所以∠CBD=6O°。因为AD∥BC,所以∠ADB=∠CBD= 条件可知，在△ABP中，∠BAP+∠ABP+∠APB=18O° 又由作图可知，∠EPF=∠BAP,所以∠EPF+∠ABP+ 60°。因为∠ADB=∠BDC=3∠ADC,所以∠ADC ∠APB=180°。因为∠EPF+∠APB=∠BPF,所以 120°。10.解：BF平行于同一条直线的两条直线平 ∠BPF+∠ABP=180°。所以PF∥1。（同旁内角互补， 行∠CBF两直线平行，同旁内角互补90垂直 两直线平行)15.D16.B 的定义∠ABF27011.解：(1)理由：如图1， 3平行线的性质（第1课时）】 过点P作PE∥AC,则∠PAC=∠1。又因为AC∥BD, 1.50°2.60°3.(1)∠4两直线平行，内错 所以PE∥BD。所以∠PBD=∠2。所以∠1+∠2= 角相等(2)DC两直线平行，同位角相等4.D ∠PAC+∠PBD。又因为∠APB=∠1+∠2，所以∠APB= 5.D6.C7.D8.B9.解：因为AD∥BC,所以 ∠PAC+∠PBD。(2)不成立。(3)如图2，当 ∠A=∠ABF。又因为∠A=∠C,所以∠ABF=∠C。所 动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+ 以AB∥CD。10.解：因为AD∥BC,所以∠B= ∠APB;如图3，当动点P在射线BA上时，∠PBD= ∠EAD。因为∠B=LD,所以∠EAD=∠D。所以BE∥ ∠PAC+∠APB.∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=O° DF。所以∠E=∠F。11.解：因为∠1=32°，DE平分 ∠PBD=∠PAC(任写一个即可)；如图4，当动点P在 ∠BDC,所以∠BDC=2∠1=64°。AB∥CD,所以 射线BA的左侧时，∠PAC=∠PBD+∠APB。选择如图 ∠ABD+∠BDC=180°，∠ABF=∠2。所以∠ABD=180°- 2,理由：过点P作EP∥AC,所以∠EPA=∠PAC。因 ∠BDC=116°。因为BF平分∠ABD,所以∠ABF= 为AC∥BD,所以EP∥BD。所以∠PBD=∠EPB。因为 7∠ABD=-58°。所以∠2=58°。12解：LABD+ ∠EPB=∠EPA+∠APB,所以∠PBD=∠PAC+∠APB。 选择如图3，理由：因为动点P在射线BA上，所以 ∠DEF-∠BDE=180°。理由：因为CD∥EF,所以 ∠APB=O°。又因为∠PAC=∠PBD,所以∠PBD=