专题01 一元一次不等式（阶段复习，十三大题型）-2025-2026学年 沪教版（五四制 )七年级数学下册期中期末专项练

专题01 一元一次不等式（阶段复习，十三大题型） 题型1：概念辨析Ⅰ 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2：概念辨析Ⅱ 4．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 5．如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3：概念的应用 7．若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 8．如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是______．（填“A”、“”或“”）．    9．下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 10．若的解集为，则的取值范围是________． 11．若是关于的一元一次不等式，则____________． 题型4：分析解一元一次不等式的过程 12．一元一次不等式去分母后正确的是（    ） A． B． C． D． 13．解不等式的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解：， 去分母，得，    第一步 移项，得，    第二步 合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 14．下面是小明解不等式的过程． 解：去分母得： ① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边同除以得：．⑤ (1)填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是_______； (2)请你写出正确的解答过程． 题型5：解一元一次不等式组 15．解不等式组 16．解不等式组： 17．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型6：整数解的问题 18．不等式负整数解有多少个？ 19．不等式的非负整数解的个数有______个； 20．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 21．求不等式组所有整数解的积． 题型7：一元一次不等式（组）的代数应用 22．当________时，代数式的值是非负数． 23．若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型8：一元一次不等式（组）的几何应用 24．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 25．如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在(    )    A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．数轴的任意位置 26．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 题型9：一元一次不等式（组）的实际应用 27．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元／块的价格售出60块，第二个月开始降价，以500元／块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.3万元．这批电话手表至少有（    ） A．99块 B．100块 C．101块 D．102块 28．甲步行的速度为，先走30min后，乙从甲的出发地沿相同方向追赶甲，乙步行的速度最快为．乙至少需要__________h才能追上甲． 29．小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 30．某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 31．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进，两种样式的剪纸用于课外拓展课，种剪纸每幅12元，种剪纸每幅9元，计划购进，两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半，则至少购进种剪纸多少幅？ 32．为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 33．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 题型10：含参数问题综合 34．关于x的不等式的解集为，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 35．如图表示某个关于x的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．关于的不等式组的解集为，则___________． 37．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和______． 题型11：程序框图 40．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是________． 41．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 题型12：一元一次不等式（组）在二元一次方程组的应用 42．若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．若关于、的方程组的解满足，求的取值范围． 44．已知关于的方程组 (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足均为正数，求的取值范围． 题型13：比较大小的特殊方法 45．若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 46．【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）； （2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式（阶段复习，十三大题型） 题型1：概念辨析Ⅰ 1．下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（ ， ， ， ， ）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴① ；② ；④ ；⑥ ，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③ 是等式；⑤ ；⑦ ，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有 个不等式. 故选：B． 2．下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、 化简得 ，是一元一次不等式，故A正确； B、 含有二次项，不是一元一次不等式，故B错误； C、 不含未知数，不是一元一次不等式，故C错误； D、 化简后为 ，不含未知数，不是一元一次不等式，故D错误； 故选：A． 3．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ② 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③ 含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④ 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤ 未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 题型2：概念辨析Ⅱ 4．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“非负数”的含义是大于等于0，即可根据题意列出不等式． 【详解】解：x与2的差可表示为 ， x与2的差的3倍可表示为 ， ∵该式子是非负数， ∴ ． 5．如果 ，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ ，A错误； ，B正确； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ 由 ，两边同乘 ，得 ，C错误； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变， ∴ 由 ，两边同除以 ，得 ，D错误； 综上，正确答案是B． 6．已知 ， ，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质变换是解题的关键． 根据不等式的基本性质，结合已知条件逐一分析选项，判断正误即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴根据不等式性质1，不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变， 可得 ， ，故A、B选项错误； ∵ ， ∴ （负数的平方是正数）， 又∵ ， ∴根据不等式性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得 ，故C选项正确； ∵ ， ， ∴根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得 ，故D选项错误； 故选C． 题型3：概念的应用 7．若 ，则 ________ ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数 ，不等号方向不变，直接得到比较结果． 【详解】解：由 ，两边同时乘 ，得 ， 故答案为： ． 8．如图， 、 、 三人在公园玩跷跷板，则 、 、 三人中体重最小的是______．（填“A”、“ ”或“ ”）．    【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较以及不等式的性质，掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据题意可得 ， ，再根据不等式的性质可得答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 、 、 三人中体重最小的是 ， 故答案为：B 9．下列说法中错误的是（   ） A． 是不等式 的解 B． 是不等式 的一个解 C．不等式 的解集是 D．不等式 的整数解有无数个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解与解集的概念，通过代入验证或解不等式即可判断各选项正误． 【详解】解：∵将 代入不等式 ，得 ，成立， ∴ 是不等式 的解， A说法正确，不符合题意； ∵将 代入不等式 ，得 ，成立， ∴ 是不等式 的一个解， B说法正确，不符合题意； ∵解不等式 ，解得 ，不是 ， ∴C说法错误，符合题意； ∵不等式 的整数解包括所有小于10的整数，有无数个， ∴D说法正确，不符合题意. 10．若 的解集为 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集 反推出系数 的符号，从而求出 的取值范围． 【详解】解：已知 的解集为 ． 根据不等式的基本性质 ：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数 ， 解得： ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，并能根据解集的变化反推系数的符号． 11．若 是关于 的一元一次不等式，则 ____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的指数必须为 ，且系数不能为 ，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且 ． 解得： 故答案为： 题型4：分析解一元一次不等式的过程 12．一元一次不等式 去分母后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式去分母的操作，解题思路是找到两个分母的最小公倍数，将不等式两边同时乘以最小公倍数去掉分母，过程中注意不等号方向不变． 【详解】解： ， 去分母，得 ． 13．解不等式 的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解： ， 去分母，得 ，    第一步 移项，得 ，    第二步 合并同类项，得 ，    第三步 系数化为1，得 ．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，去分母时的乘法分配律，掌握解不等式去分母时，每一项都要乘以公分母，注意括号内的符号变化是解题的关键． 检查解不等式的每一步，重点在于去分母时是否正确处理符号和分配律． 【详解】解：∵原不等式为 ， 去分母时，两边应同乘 ， 左边： ， 右边： ， ∴正确结果应为 ， 但步骤中写为 ，即 ， ∴第一步错误，开始出现错误的步骤是第一步． 故选：D． 14．下面是小明解不等式 的过程． 解：去分母得： ① 去括号得： ② 移项得： ③ 合并同类项得： ④ 两边同除以 得： ．⑤ (1)填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是_______； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)①⑤ (2) 【分析】此题考查解一元一次不等式．其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去分母时两边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向． （1）运用不等式性质、去括号法则、移项法则，合并同类项法则逐步检查，发现错误； （2）据解一元一次不等式的一般步骤和相关法则求解． 【详解】（1）解：第①步给两边乘以6时，不等式的右边没有乘，所以从第①步开始出现错误； 第⑤步两边同除以 时，不等号的方向没有改变，所以第⑤步也错误； 故答案为：①⑤； （2） ， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边同除以 得： ． 题型5：解一元一次不等式组 15．解不等式组 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 先求出两个不等式的解集，再得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 故原不等式组的解集为 ． 16．解不等式组： 【答案】 【详解】解： ， 由不等式①得 ， ， 由不等式②得 ， ， 不等式组得解集为 ． 17．解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，数轴见解析 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴不等式组的解集为 ， 在数轴上表示为： ． 【点睛】在数轴上表示解集时要注意是否包括x，若包括则x在该点是实心的，反之x在该点是空心的． 题型6：整数解的问题 18．不等式 负整数解有多少个？ 【答案】不等式的负整数解为 ，共3个． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．根据运算法则求出 ，即可得到负整数解． 【详解】解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 不等式的负整数解为 ，共3个． 19．不等式 的非负整数解的个数有______个； 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法与非负整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解题步骤并准确筛选非负整数解是解题的关键． 先求解不等式 的解集，再从解集中找出所有非负整数解并统计个数． 【详解】解： ， ， ， ， ， 非负整数解为 ， ， ，共3个． 故答案为：3． 20．不等式组 的负整数解是（　　） A． ，0， B． C． ， D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【详解】解：不等式组 的解集为： ， ∴该不等式组的负整数解是 ， ． 21．求不等式组 所有整数解的积． 【答案】0 【详解】解： ， 解不等式 得， ， 解不等式 得， ， ∴不等式组的解集是 ， ∴不等式组的整数解是： ， ∴ ， ∴不等式组的所有整数解的积为0． 题型7：一元一次不等式（组）的代数应用 22．当 ________时，代数式 的值是非负数． 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式解不等式即可． 【详解】依题意 EMBED Equation.DSMT4 去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得： 化系数为1，得： 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 23．若代数式 的值始终不大于－1，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解法，注意解不等式的依据是不等式的性质，理解不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变是关键． 将代数式化简为 ，然后根据值不大于 列出不等式求解． 【详解】解：∵ ， 又∵ 值始终不大于 ， ∴ ， 两边乘 （正数，不等号方向不变）： ， 移项： ， 两边乘 （负数，不等号方向改变）： ， ∴ 的取值范围是 ， 故选： A． 题型8：一元一次不等式（组）的几何应用 24．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式 即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得： ， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 25．如图，在数轴上，已知点 ， 分别表示数1， ，那么数轴上表示数 的点应落在(    )    A．点 的左边 B．线段 上 C．点 的右边 D．数轴的任意位置 【答案】B 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边． 【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：-2x+3＞1， 解得x＜1； -x＞-1． -x+2＞-1+2， 解得-x+2＞1． 所以数轴上表示数-x+2的点在A点的右边； 作差，得：-2x+3-（-x+2）=-x+1， 由x＜1，得：-x＞-1， -x+1＞0， -2x+3-（-x+2）＞0， ∴-2x+3＞-x+2， 所以数轴上表示数-x+2的点在B点的左边,点A的右边． 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式． 26．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是 ． (1) ______（用含m的代数式表示）； (2)求当 与 的差不小 时，m的最小整数值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用 ，建立方程求得 ，求解即可． 【详解】（1） ． （2）∵ 与 的差不小于 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，m的最小整数值为7． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． 题型9：一元一次不等式（组）的实际应用 27．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元／块的价格售出60块，第二个月开始降价，以500元／块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.3万元．这批电话手表至少有（    ） A．99块 B．100块 C．101块 D．102块 【答案】C 【分析】设总手表数为x块，根据销售额超过53000元列出不等式，求解即可． 本题考查了根据题意列不等式，熟练掌握根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设这批电话手表有x块 ∵ 第一个月销售额为 元， 第二个月销售额为 元， 总销售额为 元， 且总销售额 元， ∴ ， 化简得： ， ∴ ， ∴ ， ∵ x为整数， ∴ x至少为101． 因此，这批电话手表至少有101块． 故选：C ． 28．甲步行的速度为 ，先走30min后，乙从甲的出发地沿相同方向追赶甲，乙步行的速度最快为 ．乙至少需要__________h才能追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了追及问题的一元一次不等式应用，掌握追及问题中，用不等式表示追上的条件，求解时间的最小值是解题的关键． 设乙行走时间为 小时，根据乙走的路程 甲的总路程建立不等式，求解得到追及时间的最小值． 【详解】解：设乙需要 小时才能追上甲．甲先走30分钟，即 小时， 乙走的路程为 ，甲的总路程为 ， 追及的条件是乙的路程 甲的总路程， 因此： 解不等式： ． 故答案为： ． 29．小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑 ，则步行时间为 ，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设要跑 ，则步行时间为 ， ∵她步行每分钟可走 ，跑步每分钟可跑 ． ∴她跑步距离为 ，步行距离为 ， ∵总距离至少为 ， ， ∴总距离需满足 ， 故选：B． 30．某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最少需要54名七年级学生参加活动 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x名七年级学生参加活动，则需要 名六年级学生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360次，可列出关于x的一元一次不等式，解得x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要 名六年级学生参加活动， 根据题意得： ， 解得： ， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为54． 答：最少需要54名七年级学生参加活动． 31．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进 ， 两种样式的剪纸用于课外拓展课， 种剪纸每幅12元， 种剪纸每幅9元，计划购进 ， 两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的 种剪纸数量不少于 种剪纸数量的一半，则至少购进 种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的应用，掌握实际问题中的不等关系是解决此题的关键． 设购进 种剪纸 幅，则购进 种剪纸 幅，根据“购买预算不超过1100元，且购进的 种剪纸数量不少于 种剪纸数量的一半”列不等式组求解即可． 【详解】解：设购进 种剪纸 幅，则购进 种剪纸 幅， ， 由①得， ， 由②得， ， 不等式组解集为 ， 为整数， ， 答：至少购进A种剪纸34幅． 32．为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著和人物传记各25，20元 (2)33本 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设每本文学名著和人物传记各x元、y元，根据30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设人物传记买m本，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每本文学名著和人物传记各x元、y元，依题意，得 ， 解得： ， 答：每本文学名著和人物传记各25，20元． （2）设人物传记买m本，依题意，得 ， 解得： ， ∴m取最大整数为33． 答：人物传记至多买33本． 33．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量 （单位： ）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出 应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）所需甲种原料的质量 ，则所需乙种原料的质量 ，根据“至少含有3600单位的维生素C”可得不等式； （2）所需甲种原料的质量 ，则所需乙种原料的质量 ，根据“甲、乙两种原料的费用不超过65元”列出不等式. 【详解】（1）解：设所需甲种原料的质量 ，由题意得： . （2）解：根据题意，得 ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式. 题型10：含参数问题综合 34．关于x的不等式 的解集为 ，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集．解题的关键在于正确的解不等式．解一元一次不等式得 ，由关于x的不等式 的解集为 ，可得 ，计算求解即可． 【详解】解：∵不等式 的解集为 ， ∴解不等式得 ，即 ， ∴ ， 解得 ． 故选：A． 35．如图表示某个关于x的不等式的解集，若 是该不等式的一个解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，不等式解的定义及解一元一次不等式，先分析数轴表示的不等式，再利用“解的定义”列不等式，最后解出关于m的不等式即可． 【详解】解：由图形得： ， ∵ 是 的一个解， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 36．关于 的不等式组 的解集为 ，则 ___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出 ，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解： ， 由①得： ， 由②得： ， ∵不等式组解集为 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 37．若关于x的不等式组 ，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据恰有3个整数解确定具体整数解，最后结合解集边界确定 的取值范围，需注意边界值的取舍． 【详解】解：∵不等式组 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解为1、0、 ， ∴ ． 故选B． 38．若关于 的不等式组 的解集为 ，那么 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，得出 ，然后根据不等式组的解集为 ，求出m的取值范围即可． 【详解】解：解不等组式得： ， ∵不等式组的解集为 ， ∴ 的范围为 ． 故选：D． 39．若关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和______． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到 ，解得 ，整数 的值为 ， ， ，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式 ，得 ， 解不等式 ，得 ， 故不等式组的解集为 ， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为 ， ， ， ， ∴ ， 解得： ， ∴整数 的值为 ， ， ， ∴和为 ， 故答案为： ． 题型11：程序框图 40．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是________． 【答案】64 【分析】根据第一次操作没有停止可得不等式 ，根据第二次操作后停止可得不等式 ，由此建立不等式组求解即可．本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解得 ， ∴x的最大值是64． 故答案为：64 41．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于 ”为一次运算，若结果大于 ，则输出此结果；若结果不大于 ，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当 时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于 输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当 时，第一次运算： ， ∵若结果不大于 ，则将此结果 作为m的值再进行第二次运算： ， 结果大于 ，则输出此结果 ； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于 ， ∴                                    解得： ， ∴ ． 题型12：一元一次不等式（组）在二元一次方程组的应用 42．若关于 ， 的方程组 的解满足不等式 ，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 直接把两方程相减，得到 关于 的表达式，再代入不等式求解即可． 【详解】解：方程组 ，得： ， ， ， 解得 ， 故选：A． 43．若关于 、 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，不等式，解题的关键是用 表示出 、 的值，再根据题意列出不等式．先把 当作已知表示出 、 的值，再根据 列出不等式，求出 的取值范围即可． 【详解】解：解方程组 得： ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ． 44．已知关于 的方程组 (1)若该方程组的解满足 ，求 的值； (2)若该方程组的解满足 均为正数，求 的取值范围． 【答案】(1) 的值为2024 (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式； （1）用 得到 ，再根据条件 ，得到 ，解方程即可； （2）利用加减消元法求出 ，再根据 均为正数，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得 ，即 ③， 代入 ， 得 ， 解得 ， 故 的值为2024； （2）解方程组 ， 得 均为正数, 解得 ． 题型13：比较大小的特殊方法 45．若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式 与 的值之间的大小关系； (2)已知代数式 与 相等，试用等式的性质比较 的大小关系． (3)已知 ，试用等式的性质比较 的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可； （2）等式两边同时减去 即可得到 ，由此即可得到结论； （3）等式的性质两边同时乘以6可得 ， ，由此可得结论． 【详解】（1）解： ∵不论 为何值，都有 ∴ （2）解：∵ ， ∴等式两边同时减去 ，得 ， 整理得 ， ∴ ． （3）解：∵ ， 根据等式的性质两边同时乘以6可得 ， 整理得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 46．【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式 的大小，只要作出差 ．若 ，则 ：若 ．则 ：若 ，则 ． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______ （填 或 ）； （2）已知 ，当 时，比较 与 的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为 元／升，第二次油价为 元/升（ ）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）当 时，方式二加油更划算；当 时，方式一加油更划算 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质并灵活运用是解此题的关键． （1）计算 ，由此即可得出答案； （2）计算 ，并根据 作出判断即可； （3）计算两种方式加油的平均油价为： ，再计算出 ， ，分两种情况：当 时，当 时，分别进行计算即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为： ； （2） ， ， ， ， ， ； （3）由题意可得： 两种方式加油的平均油价为： ， ， ， 当 时， ， ，此时 ， ， ，此时方式二加油更划算； 当 时， ， ，此时 ， ， ，此时方式一加油更划算； 综上所述，当 时，方式二加油更划算；当 时，方式一加油更划算． 学科网（北京）股份有限公司 $