精品解析：安徽省安庆市桐城中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题

桐城中学2025—2026学年度下学期第一次学情调研 数学试卷 命题人：吴乐 审题人：余浩 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．） 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. 7 C. D. 8. 已知函数的零点为、函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 已知某扇形周长是4cm，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是 C. 命题“”的否定为“” D. 若角终边经过，则 10. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到 D. 若，则或 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期为4的函数 C. D. 的图象关于点对称 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 13. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．某条鱼把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数耗氧量增大为原来的________倍． 14. 已知实数x，y满足，，则_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算 （2）设，计算的值 16. 如图，一座小岛距离海岸线上最近点的距离是2km，从点沿海岸正东12km处有一个小镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点的距离． （1）请将表示为的函数；并求时，从小岛到城镇所需时间（结果精确到0.1h，参考数据）； （2）设，证明：，并求将船停在海岸处距点P多远时从小岛到城镇所花时间最短？ 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在锐角中，，求的取值范围. 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 19. 某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： （1）证明：； （2）解关于的方程：，其中； （3）证明：，其中，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城中学2025—2026学年度下学期第一次学情调研 数学试卷 命题人：吴乐 审题人：余浩 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．） 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式求三角函数的周期. 【详解】函数的最小正周期为：. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D； 【详解】解：对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误； 对于C：由，则，，所以，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确； 故选：D 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法得，由对数函数的性质可得，再由交集的定义求解即可. 【详解】解：由，可得， 所以； 由，可得，解得， 所以； 所以. 故选：B. 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 5. 已知，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，通过换元法转化为一元二次不等式求解的取值范围. 【详解】已知，得：， 设（），则，不等式变为：， 整理得： ， 因为，所以，不等式等价于，解得， 因为，所以. 故选：C. 6. 若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶函数的性质，将替换为得到关于和的另一个方程，联立方程组解出和的表达式，再根据指数函数的单调性判断的大小关系，计算与比较大小. 【详解】因为是R上的奇函数，是R上的偶函数， 因此满足： ，， 所以， 将替换为，代入得：，  消去得：，即  ， 消去得：，即 ， 中，是增函数，也是增函数，因此是R上的增函数， 所以，又因为， 所以， 故选：B. 7. 已知，，则（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合两角和与差的余弦公式求出、，再切化弦即可求解. 【详解】由题可得， 解得，， 所以. 故选：C 8. 已知函数的零点为、函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数零点的定义及零点存在性定理，结合反函数的性质及不等式性质逐项判断即可. 【详解】由，得，，则，， 因此分别是直线与函数、的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中作出函数，图象及直线，如图， 函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 直线也关于直线对称，则点关于直线对称， 即，则，CD错误； 函数在R上都是增函数，则函数在上是增函数， 又，，则， 因此，B错误，A正确. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 已知某扇形的周长是4cm，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是 C. 命题“”的否定为“” D. 若角的终边经过，则 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：若，，则，所以充分性成立； 若，如，，满足，但不满足，，所以必要性不成立，故A正确. 选项B：设扇形的半径为，弧长为，圆心角为. 则，，解得，. 所以圆心角，故B错误. 选项C：全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“”的否定为“”，故C正确. 选项D：角的终边经过，则， 当时，则；当时，则； 因此，故D错误. 10. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到 D 若，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象可知，最小正周期，特殊点，从而可得到的解析式，可判断A；计算是否为0可判断B；根据三角函数图象变换的规律可判断C；解正弦不等式可判断D. 【详解】由图知，，即，解得， 所以，将代入得， 所以，解得 又，所以，故A正确； 由上知，所以， 所以点是图象的一个对称中心，故B正确； 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到图象的函数解析式为， 与的解析式不同，所以C错误； 由得， 所以或， 解得或，故D正确. 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期为4的函数 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性及周期函数的求和求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且. 因为为偶函数，所以. 选项A：由，令，则， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确. 选项B：因为，即, 所以， ， 所以是周期为4的函数，故B正确. 选项C：因为函数的图象关于直线对称，所以. 因为是周期为4的奇函数，所以，. 所以一个周期内的和. 所以，故C正确. 选项D：奇函数的定义域为R，且，因此的图象关于点不对称，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，再根据函数图象过点，可得. 【详解】由函数为幂函数，得，即， 所以， 又函数过点， 则， 故答案为：. 13. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．某条鱼把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数耗氧量增大为原来的________倍． 【答案】9 【解析】 【分析】设原来游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组即可. 【详解】所以， 联立解得. 故答案为：. 14. 已知实数x，y满足，，则_____________. 【答案】e 【解析】 【分析】变形给定等式并构造函数，借助函数单调性求解即得. 【详解】由，得，即， 由，得，即， 因此，是方程的解，而函数都是增函数， 则函数是增函数，于是，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算 （2）设，计算的值 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数，对数运算法则和诱导公式，特殊角三角函数值计算出结果； （2）利用同角三角函数关系，齐次化，化弦为切，代入求值即可. 【详解】（1）原式 ； （2） 原式. 16. 如图，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是2km，从点沿海岸正东12km处有一个小镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点的距离． （1）请将表示为函数；并求时，从小岛到城镇所需时间（结果精确到0.1h，参考数据）； （2）设，证明：，并求将船停在海岸处距点P多远时从小岛到城镇所花时间最短？ 【答案】（1）（）； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，时间与路程的关系即可列出关系式；将已知值代入条件（1）中的关系式即可求得； （2）根据题设可求得关于的式子，由条件（1）化简可得到关于的式子，因此即可证得；由基本不等式即可求得的最小值. 【小问1详解】 由题意，此人驾驶小船行驶的距离为，步行的距离为， 所以（）. 当时，， 即从小岛到城镇的时间大约. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以， 所以. 所以， 又， 所以，. 由基本不等式，，当且仅当即，时取等号. 此时. 所以，将船停在海岸处距离点处时，从小岛到城镇所花时间最短，约为. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在锐角中，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，然后解不等式，可得出函数的单调递增区间； （2）利用已知条件求出角的取值范围，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：， 由，得， 所以，函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 解：由已知可得，解得， ， 因为，则，所以，. 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，， （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19. 某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： （1）证明：； （2）解关于的方程：，其中； （3）证明：，其中，且． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式证明即可； （2）根据（1）中的结论可得，结合已知等式列方程求解； （3）将待证式左边同乘后再利用积化和差公式即可证明. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 即. 【小问2详解】 由（1）知， 即， 又， 所以所以， 所以或. 当时，解得， 又，所以或1，即或； 当时，无解. 综上，方程的解为或. 【小问3详解】 设， 则由积化和差公式得，，，， 将上面n个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以，所以，所以，即原命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $