9.1.1 平面直角坐标系 导学案--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第九章 平面直角坐标系 ( 本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解平面直角坐标系的概念，掌握横轴、纵轴、原点、坐标的定义，能准确识别点的坐标并在坐标系中描出对应点，培养学生的数形结合意识和抽象思维能力。教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展应用—总结收获”五个环节展开，注重直观演示、师生互动和分层教学，突出概念的逻辑性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求，确保学生能扎实掌握平面直角坐标系的核心概念。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“我们之前学过如何表示数轴上的点？”，引导学生回忆数轴的定义——规定了原点、正方向和单位长度的直线，随后板书一条数轴，标注原点O、正方向（向右）和单位长度1，让学生说出数轴上标注的3、-2、0对应的点，唤醒旧知，强调“数轴上的点可以用一个数（坐标）来表示，实现了数与点的对应”。2. 情境导入：展示问题“在教室里，如何准确描述你的座位位置？”，引导学生思考“需要两个数据，比如第几排、第几列”，进而引出课题——平面直角坐标系的概念，明确本节课学习任务：理解平面直角坐标系的组成，掌握点的坐标表示方法，能在坐标系中描点，学会用坐标描述平面内点的位置。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究平面直角坐标系的概念，注重直观演示、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。 1. 平面直角坐标系的组成：教师用直尺在黑板上绘制平面直角坐标系，边画边讲解组成部分：① 横轴：水平放置的数轴，叫做x轴（或横轴），规定向右为正方向；② 纵轴：垂直放置的数轴，叫做y轴（或纵轴），规定向上为正方向；③ 原点：x轴和y轴的交点，记作O，原点对应的数为0；④ 单位长度：x轴和y轴上统一的单位长度（可根据实际情况设定，如1个单位长度代表1cm），强调“x轴和y轴互相垂直，且单位长度要统一，共同组成平面直角坐标系”，明确平面直角坐标系也叫做笛卡尔坐标系。 2. 点的坐标概念：结合绘制的坐标系，讲解点的坐标表示方法：① 对于平面内任意一点P，过点P作x轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的横坐标（记作x）；过点P作y轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的纵坐标（记作y）；② 点的坐标用有序数对（x，y）表示，先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，外面加小括号，举例说明：在坐标系中，过点A作x轴垂线垂足为2，作y轴垂线垂足为3，则点A的坐标为（2，3），其中2是横坐标，3是纵坐标；特别强调“有序”，说明（2，3）和（3，2）是两个不同的点，因为横坐标和纵坐标的顺序不同，对应平面内不同的位置。 3. 象限与特殊点的坐标：简单介绍象限概念（为后续学习铺垫）：x轴和y轴将平面分成四个部分，从右上开始依次为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限；重点讲解特殊点的坐标：① 原点O的坐标为（0，0）；② x轴上的点，纵坐标为0，如（5，0）、（-3，0）；③ y轴上的点，横坐标为0，如（0，4）、（0，-2），结合实例让学生快速区分，避免混淆。 4. 初步尝试：教师在坐标系中标出3个点，让学生尝试说出它们的坐标；再给出3个有序数对，让学生尝试在坐标系中指出对应点，教师巡视指导，对坐标表示不规范、描点错误的学生进行个别纠正，完成后邀请2-3名学生上台展示，师生共同点评，巩固概念和操作方法。 三、实操巩固，强化技能（10分钟） 本环节通过分层练习，让学生巩固平面直角坐标系的组成、点的坐标表示和描点方法，提升实操熟练度，兼顾基础和提升，落实教学目标。 1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 说出平面直角坐标系的组成部分，标注出x轴、y轴、原点和单位长度；② 写出坐标系中给定的5个点（包含x轴、y轴上的点和象限内的点）的坐标；③ 根据给定的5个有序数对（包含原点、x轴、y轴上的点），在坐标系中准确描出对应点。教师巡视，检查学生的表述和描点规范性，及时纠正错误，如坐标顺序颠倒、描点时未作垂线、单位长度不统一等问题，确保基础技能落实。 2. 提升练习：给出题目：① 已知点A（m，0）在x轴上，求m的值；② 已知点B（0，n）在y轴上，求n的值；③ 判断点（-2，3）、（4，-1）、（0，0）分别在哪个象限或坐标轴上，引导学生思考特殊点的坐标特征，培养学生的逻辑推理能力，深化对概念的理解。 3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸（印有平面直角坐标系），小组内合作完成练习，互相检查描点准确性和坐标书写规范性，讨论易错点（如坐标顺序、特殊点的坐标特征），教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。 四、拓展应用，深化理解（10分钟） 本环节将平面直角坐标系的概念与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，让学生体会数学与生活的联系，深化对概念的理解。 1. 实例应用：展示实际问题：在校园平面图中，以教学楼为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，1个单位长度代表10米，已知图书馆在教学楼的右上方，横坐标为3，纵坐标为2，写出图书馆的坐标，并说明它距离教学楼的水平距离和竖直距离分别是多少。引导学生思考：坐标（3，2）中，横坐标3代表水平距离3×10=30米，纵坐标2代表竖直距离2×10=20米，让学生明白平面直角坐标系在描述位置中的应用，体会数形结合的优势。 2. 拓展思考：提问“平面内任意一个点，都能找到唯一的有序数对与之对应吗？反过来，任意一个有序数对，都能在平面内找到唯一的点与之对应吗？”，引导学生自主思考、讨论，得出“平面内的点与有序数对是一一对应的”这一结论，培养学生的抽象思维能力和深度思考能力。 3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和思路，师生共同评价，肯定优点，指出不足，对思路清晰、表述规范的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识，体会平面直角坐标系的应用价值。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么？”，让学生自主发言，梳理平面直角坐标系的组成（x轴、y轴、原点、单位长度）、点的坐标表示方法（有序数对（x，y））、特殊点的坐标特征，强调易错点（坐标的有序性、坐标轴上的点不属于任何象限）。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调“平面直角坐标系的核心是实现了平面内点与有序数对的一一对应，是数形结合的重要工具”，引导学生明白，有了平面直角坐标系，我们可以用数来描述平面内点的位置，为后续学习函数、图形的平移等知识打下基础，鼓励学生课后多练习描点和写坐标，熟练掌握概念和操作方法。 3. 布置作业：让学生课后巩固平面直角坐标系的概念，在练习本上绘制一个平面直角坐标系，标注出各部分名称，写出5个不同位置点的坐标（包含象限内、x轴、y轴上的点），并根据给定的5个有序数对描出对应点，下节课上台展示，进一步强化技能，深化对概念的理解。 整个教学过程注重直观性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解平面直角坐标系的概念，掌握点的坐标表示和描点方法，能解决简单的坐标相关问题，同时培养学生的数形结合意识和抽象思维能力。 )9.1.1 平面直角坐标系的概念 【学习目标】 1. 认识平面直角坐标系，了解平面直角坐标系中点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的位置. 2. 经历探索认识平面直角坐标系的过程，渗透对应关系，提高数感. 3. 体验数和符号是描述现实世界的重要手段. 【学习重点】平面直角坐标系和点的坐标. 【学习难点】根据点的位置写出点的坐标，根据点的坐标描出点的位置. 【自主学习】 在庆祝中华人民共和国成立70周年联欢活动中，天安门广场上出现了“祖国万岁”等壮观的图案，你知道它们是怎么组成的吗? 原来，表演现场设置了由有序数对标识的点位，3000多名表演者手举光影屏，根据预先编排的流程，不停地变换所在的点位，就拼出了不同的图案. 类似于生活中用有序数对确定位置.那么在数学中可以通过建立什么来刻画平面内点的位置呢？ 前面我们学习过数轴，数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标. 那么平面内的点该如何确定位置? 今天我们来学习平面直角坐标系，它与数轴有怎样的区别和联系? 【合作探究】 探究点一、平面直角坐标系的概念 思考：结合图形,回答下列问题： (1) 如何确定一条直线上的点的位置？请以图1为例说明. (2) 电影院如何确定一名观众的位置？可以直接用一条数轴上的点来表示吗？ 讨论：阅读教材P64 思考，和同桌讨论下列问题： 问题1：什么是平面直角坐标系?它由什么组成?各部分的名称是什么? 问题 2：什么叫横坐标、纵坐标?如何来表示一个点的坐标? 思考：类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢(例如图中 A，B，C，D，E 各点)? 提示：可以参照数轴上表示点的方法. 优化 知识要点: 平面内画两条__________，原点________的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为 x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向。竖直的数轴称为 y 轴或纵轴，习惯上取向上为正方向。两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的______. 根据平面直角坐标系，如何来表示一个点的坐标? 由点 A 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 3，我们说点 A 的横坐标是 3 .垂足 N 在 y 轴上的坐标是 4，我们说点 A 的纵坐标是 4 .A 的横坐标是3，纵坐标是4.有序数对(3，4)就叫作点 A 的坐标，记作“A(3，4)”. 合作探究 点 A 的坐标可以用有序数对 (3，4)表示，请类比写出点 B，C，D，E 的坐标. 【典型例题】 例1 试着写出下列地点的坐标. 【练一练】 1. 点 P(-3，-4) 到 x 轴的距离是_____，到 y 轴的距离是____. 2. 若点 P(1，b) 到 x 轴的距离是 2，则 b 等于_______. 总结归纳： 平面内点到 x 轴的距离是它的______________，到 y 轴的距离是它的_______________. 探究点二、用坐标描述平面内点的位置 讨论：阅读教材 P65 内容，和同桌讨论下列问题. 问题1：平面直角坐标系分成哪几个部分?各部分的名称是什么?根据坐标系上的点的坐标确定各部分的符号特点. 建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分，每个部分称为象限.坐标轴上的点不属于任何象限. 问题 2：试着在教材图 9.1-4 的坐标系中找到(1，0)，(2，0)，(－2，0)；(0，1)，(0，2)，(0；－2).试着总结这些点的特征. 问题 3：你能表示出原点 O 的坐标吗？ 【典型例题】 例2 在平面直角坐标系中描出下列各点：A(4，5)，B(-2，3)，C(-2.5，-2)，D(4，-2)，E(0，-4). 例3 点 A (m＋3，m＋1)在 x 轴上，则 A 点的坐标为( 　) A．(0，－2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，－4) 例4 已知：A (2，3)，B(-2，3)，C(-2，-3)，D(2，-3).请按要求回答下列问题： (1) 请在坐标系中描出下列坐标. (2) 请回答点 A，B，C，D 分别在第几象限? 【练一练】 3. 已知在平面直角坐标系中，点 P (m，m－2) 在第一象限内，则 m 的值可能为( ) A. -1 B.1 C. 2 D.3 课堂检测 1. 在平面直角坐标系中，点P(2，－3)在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 写出一个平面直角坐标系中第四象限内点的坐标:_______________(任写一个只要符合条件即可). 3. 如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为_______. 4. 在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点：A(4，3)，B(－2，3)，C(－4，－1)，D(2，－3). 拓展练习： 1. 已知 a < b < 0，那么点 P（a，－b）在第 象限. 2. 已知 P 点坐标为（a + 1，a－3） ①点 P 在 x 轴上，则 a = ； ②点 P 在 y 轴上，则 a = ； 3. 若点 P（x，y）在第四象限，| x | = 5，| y | = 4，则 P 点的坐标为 . 参考答案 【合作探究】 探究点一：平面直角坐标系的概念 思考（1）可以利用数轴上的点的坐标.（2）用有序数对来确定 不能. 知识要点 互相垂直 重合 原点 合作探究 例1图 例1 市政府(2，2) 市场(4，3) 医院(-2，4) 体育馆(-3，2) 文化宫(1，-1) 火车站(4，-4) 【练一练】 1. 4 3 2. 2 或 -2 总结归纳 纵坐标的绝对值 横坐标的绝对值 探究点二、用坐标描述平面内点的位置 问题1： 4个部分 象限 问题2： x 轴上的点纵坐标为 0 x 轴上的点纵坐标为 0 问题3; (0，0) 例2图 例4图 例2 例3 B 例4 A 点在第一象限；B 点在第二象限；C 点在第三象限；D 点在第四象限. 【练一练】 3.D 课堂检测 1. D 2. (2，－3)(答案不唯一) 3. (－3， 4) 4.解：如图所示. 拓展练习：1. 二 2 -1 3.（5，-4） 学科网（北京）股份有限公司 $