第8章实数章末测试卷（培优卷）2025-2026学年人教版七年级下册数学

人教版新教材七年级下册数学第8章实数 章末测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分） 1．的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．在下列实数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 3．下列选项正确的是（   ） A．的平方根是 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 4．对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 5．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．在实数，，0，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 8．若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 9．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的结果是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 11．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 12．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分） 13．比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 14．的算术平方根是___________，的立方根是________． 15．定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：，若有理数x满足，则x的值为______． 16．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 _____(用含 的代数式表示)． 三、解答题(共72分) 17．已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 18．如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 19．已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 20．某数学小组提出了一个问题：一个实数的算术平方根为，平方根为，求这个实数．小红的解答过程如下图所示．老师看后说小红的答案是错误的，你知道小红错在哪里吗？请写出正确的解答过程． 解：一个实数的算术平方根为， 平方根为， 或． ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个实数为16或4． 21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 22．【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 23．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 24．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版新教材七年级下册数学第8章实数 章末测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分） 1．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正数的平方根有两个且互为相反数，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．在下列实数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵整数和分数都属于有理数，无限不循环小数是无理数； ∴A选项中2是整数，属于有理数，不符合要求； B选项中0.3是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； C选项中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； D选项中是分数，属于有理数，不符合要求． 3．下列选项正确的是（   ） A．的平方根是 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 【答案】D 【分析】本题需根据平方根、算术平方根、立方根的定义，以及实数的除法运算，解题关键在于需熟练掌握相关定义．根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、，4的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，即有理数除以无理数的商不一定是无理数，原说法错误，不符合题意； D、，原说法正确，符合题意． 故选：D． 4．对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，平方根、算术平方根、立方根的定义．先根据新定义运算求出的值，再结合平方根、算术平方根、立方根的定义判断选项 【详解】解：∵ ∴ ∵实数范围内，负数没有平方根与算术平方根，故A、B选项错误 又∵ ∴的立方根是，故C选项错误，D选项正确 故选：D． 5．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 6．在实数，，0，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：，， 在实数，，0，，，，中，无理数有，，，共3个． 7．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 8．若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根的概念，整体思想，解题的关键是掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0． 根据绝对值和平方的非负性列出方程组，根据整体思想求出的值，再根据平方根的概念解答即可． 【详解】解：， ①－②，得， 的平方根是． 故选：C． 9．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【详解】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 10．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的结果是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：当输入的值为8时，，取算术平方根为，有理数则输出的结果为， 当输入的值为27时，，取算术平方根为，有理数则输出的结果为， 故选：B 11．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 12．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 二、填空题（每题3分） 13．比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查比较实数的大小，先比较与5的大小，进而即可解答． 【详解】解：∵，即， ∴． 故答案为：＞． 14．的算术平方根是___________，的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根．先计算的值，再求其算术平方根；直接计算的立方根 【详解】解：，的算术平方根是；的立方根是． 故答案为：； 15．定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：，若有理数x满足，则x的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义运算法则． 根据运算定义，分两种情况讨论：当时和当时，分别求解方程，并验证是否满足条件． 【详解】解：若有理数x满足， ①当时，， 即， 解得，符合； ②当时，， 即， 解得，但不满足，故舍去； 因此，x的值为4， 故答案为：4． 16．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 _____(用含 的代数式表示)． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，规律探索，掌握二次根式的性质和化简方法，发现代数式所呈现的规律是正确解答的关键．先计算出四个代数式的值，发现规律后进行求解即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ． 故答案为：． 三、解答题(共72分) 17．已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的求法是关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先求出代数式的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 解得：； （2）解：， ∴的平方根是． 18．如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用、正方形与长方形的面积计算． （1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长． （2）通过设长方形纸片的宽为，长为，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断裁剪的可行性． 【详解】（1）解：∵小正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的边长为； 故答案为：； （2）解：设长方形纸片的宽为，则长为，由题意得：， 解得（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴不能剪出这样的长方形． 19．已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，以及用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先根据立方根和平方根的定义，求出a和b的值，再估算的值，最后将a、b、c的值代入，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵的立方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴， ∴， ∴的平方根是． 20．某数学小组提出了一个问题：一个实数的算术平方根为，平方根为，求这个实数．小红的解答过程如下图所示．老师看后说小红的答案是错误的，你知道小红错在哪里吗？请写出正确的解答过程． 解：一个实数的算术平方根为， 平方根为， 或． ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个实数为16或4． 【答案】见解析 【分析】本题考查了算术平方根与平方根，掌握这两个概念是关键；由题意知，或，再分别求出x的值并检验即可． 【详解】解：实数的算术平方根不能是负数，即，应当舍去， 正确的解答过程如下： 一个实数的算术平方根为，平方根为， 或． ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ， 算术平方根不能为负数， 舍去． 综上所述，这个实数为16． 21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和算术平方根非负性，求一个数的平方根和立方根，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据数轴上点的移动，左减右加，求出的值即可； （）根据点的位置，确定，，进而化简即可； （）根据绝对值和算术平方根非负性求出的值，进而求出代数式的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意知：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为：． 22．【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【答案】(1)4 (2)或4 (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解． （2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． （3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得； 综上所述，的值为或4． （3）解：∵， ， 当时，原式， 解得， 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式， 解得（舍去）， 综上所述：a的取值范围为． 23．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 24．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 试卷第8页，共15页 试卷第7页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $