专题02 实数及其简单运算（11大题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02实数及其简单运算 目录一 A题型建模·专项突破 题型一、无理数的识别， 题型二、无理数的大小估算 3 题型三、无理数整数部分有关计算… 5 颗型四、实数的分类 … ...6 题型五、实数的性质.… .8 题型六、实数与数轴… 10 题型七、实数大小比较.… .12 题型八、程序设计与实数运算.… .14 题型九、实数的混合运算. .18 题型十、新定义下的实数运算 .21 题型十一、与实数运算相关的规律题」 25 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、无理数的识别 22 1.(25-26八年级上江苏泰州：期末)下列实数，-π'3.14159,8，-27,7中无理数有（ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2.(25-26八年级上：四川眉山期末)实数22，元’5’0’8,2.560.494994999499994. (两个 4之间依次增加1个9)中，无理数出现的频数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26八年级上江西吉安月考)下列几个数：-元，√4,3.14159,9,2.020020002…（每两个 2之间依次增加一个0)，其中无理数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2526人年级上江苏无锡期末)在石314,0学6,2.023,5，-1212112…（每两个2之何依 1 次多一个1)中，无理数有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 题型二、无理数的大小估算 5.(25-26八年级上·江苏南京·期末)如图，在数轴上表示实数V2的点可能是() 4 B C D 01 234→ A.点A B.点B C.点C D.点D 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26九年级上重庆·月考)估计V18+2的值应在() A.8到9之间 B.7到8之间 C.6到7之间 D.5到6之间 7.(25-26八年级上·广东梅州月考)下列整数中，与5+√6的值最接近的是() A.7 B.8 C.9 D.10 8.(25-26八年级上山东菏泽·月考)设n为正整数，且n<V65<n+1,则n的值为() A.7 B.8 C.9 D.1 题型三、无理数整数部分有关计算 9.(25-26八年级上·河南郑州·月考)无理数√21的整数部分是 10.(25-26八年级上陕西西安·月考)若√13的整数部分为a,小数部分为b,则a=一，b=一 11.(25-26八年级上江西抚州月考)√3的整数部分是a,小数部分是b,则2a-b的值是 12.(25-26七年级上全国·期末)已知2a-1的算术平方根是3，b是5的整数部分，则2a+3b的平方根 为 题型四、实数的分类 13.(25-26八年级上·山东菏泽·月考)把下列各数填入相应的集合内： -7’0.32’3’46’0’V8’2’3216’-π (1)有理数集合{} (2)无理数集合：{} (3)正实数集合：{} (4)负实数集合：{} 14.(25-26八年级上，宁夏银川期中)把下列各数的序号填在相应的括号内： ①-3.8，②-10，③√12，④-1.010010001…（相邻两个1之间多一个0），⑤0，⑥/27，⑦-0.313， ⑧3 π 整数 分数 无理数 15.(25-26七年级上·浙江杭州期中)把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①25：②写：@：@054：@：©5：@0：⑧23：@030202002（相邻的两个2 之间依次多一个0). 分数：一； 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 无理数：一； 是整数而不是负数：一； 负实数：一· 16.(25-26八年级上江苏盐城期中)在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中. 5’0’3.14'2’-27,0,-5.1234.’0.25’- 有理数集合：{…}： 无理数集合：{…} 正实数集合：{…} 题型五、实数的性质 17.(25-26八年级上·全国周测) V2s的倒数是一， 64 的相反数是· 18.(24-25七年级下全国月考)2-5的相反数是一，绝对值是一：若=V万，则x=一 19.(24-25八年级上山西·开学考试)V6的相反数是一；5的倒数为：3-π= 20.(24-25七年级下海南省直辖县级单位·期中)V7的相反数是一，2-V5的绝对值等于一，比 较大小：-1-√5. 题型六、实数与数轴 21.(25-26七年级下·全国课后作业)已知点A,B,C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是-2， B是AC的中点，线段AB=V3+1,求点C表示的数. A B C -20 22.(25-26八年级上·上海浦东新·期末)己知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数1-3和 1+√3.点C向左平移4个单位长度后与点B重合， (I)求线段AB的长： (2)求点C表示的数； (3)对于数轴上三点，点A、点B关于点D对称，求点D对应的实数 23.(24-25八年级上四川成都期中)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了m个单位长度到达点B，点 4、点B分别表示实数a和b,且有口+2与√b-0.5互为相反数. 3/10 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (求la+l+la-的值： (2)锦怡同学说：“蚂蚁从点A沿数轴向右爬行的单位长度m大于2个单位长度”，请你判断她的说法是否 正确，并说明理由。 24.(25-26八年级上山东淄博·月考)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点 A表示-√2，设点B所表示的数为m. A B 3-2-10123→ (1)m的值是； (2)求m+1)+V(m-1)2的值： (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d,且有2c+6与√d-4互为相反数，求2c+3d的平方根. 题型七、实数大小比较 25.(25-26七年级下·全国课后作业)比较大小：2W65.(填“>*<”或“=”) 26.(25-26七年级下·全国课后作业)比较下列各组数的大小： 1D9一4：(2)6-1 21 红.(2526八年级上四川成都月考)比较大小：@25—35：②3 3—3 8(25-26八年级上山东青岛月考)比较大小：（①）5一2；(2）-25一-35：(3)V5-1 3(填“>或“<”) 题型八、程序设计与实数运算 29.(24-25七年级下·广西梧州期中)按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的'的 值是一 是无理数 输入x 取立方根 是有理数 是无理数 输出y 取算术平方根 是有理数 30.(25-26七年级上：浙江绍兴·期中)小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是有理数 取算术 是有理数 是无理数 输入x的值 取立方根 输出y 平方根 是无理数 (1)当输入x的值是64时，输出的y值是 (2)分析发现，当非负数x取时，该程序无法输出y值。 31.(25-26八年级上·江苏连云港·期中)如图是一个数值转换器(x<36) 输入x 计算x-2 取算术平方根 是无理数， 输出y 是有理数 (1)当输入的x为-7时，输出的y值是 (2)若输入实数x后，始终输不出'值，则所有满足要求的x的值为 (3)若输出的y是V6，求x的负整数值. 32. (25-26八年级上河南平顶山期中)如图，这是一个数值转换器。 是无理数 输出x 取算术平方根 输出y 是有理数 (I)当输入x的值为9时，输出y= (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”.请你判断输入x的 值可能是哪一个数据？并说明理由。备选数据：4，乙，一子 (3)小明输入了某个x的值后得到了√2，请你写出2个不同的x值. 题型九、实数的混合运算 33.(2026七年级下·全国·专题练习)计算： ()(-1)2026+16-|-31+38 (2)V2--27+11-V21--D」 34.(25-26七年级上·黑龙江绥化月考)计算： 5-2+W5-22-: 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②返+2- 35.(25-26七年级下·全国单元测试)计算： (05-V-62--27 2小5-2+8x+5 36.(2026七年级下·全国专题练习)计算： a8+p-x-: (2-1205xW5+-5+38; -得周 (4)-22+1-V2+(-1)225x38: -3+2-{8)xa, (642+64-(-1×9+V2-5 m5-54- (8)W0-10+V10-(-1)25×-27. 题型十、新定义下的实数运算 37.(24-25七年级下·全国周测)定义：对于任意的实数a,b,有a*b=a2+6+1.例如： 1*-8)=12+-8+1=0,则[-2)*64]*1=一· 38.(25-26七年级上浙江杭州期中)对于任意正数a,b,定义运算“*”如下： W5-Va.a<计算9*25116*4结果为—· a*b= a-b,(a≥b) 39.(25-26八年级上北京延庆期末)对于非负实数a,我们规定：用符号[]表示不大于Va的最大整 数，称[为a的根整数，例如，[16-4，[V]=1 B 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①计算：[V4] 「53 (2)若[V=3,则满足条件的x的取值范围是 (3)如图，数轴上的点A,B表示的数分别为1和√2，C是数轴上一点，且点A是BC的中点，设点C表示 的数为x,求x-+32+ 40.(24-25八年级上·甘肃兰州期中)阅读材料： 材料一：定义[y表示不大于x的最大整数，例如2.=2，[3)=3，[2]=1： 材料二：定义新运算a*b=[a-b,如2.5*2=2.5-[2]=2-2=0，对有序实数对a,b),若满足a*b=1,则 称该有序数对为“望一”数对：若满足a*b=0，,则称该有序数对为“望音”数对. ()计算：√4*V3=_ (2)下列数对是“望一”数对的有_，是“望音”数对的有_·（填序号） 002:@5万列：③-15，-2)：④x,291:⑥5,2西 (3)计算V*V2+V3*√4+V5*√6++V2023*√2024的值. 题型十一、与实数运算相关的规律题 41.(24-25七年级下·安徽滁州·月考)观察下列等式： 111 11√2 等式1：542：等式2：5g3；等式3：4164 (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为_，第10个等式为； (2)归纳猜想：用含n的式子表示第n个等式所反映的运算规律为_。 42.(24-25七年级下·安徽月考)观察下列等式，并回答下列问题： ①1-V2=2-1: ②小2-5=5-2： ③W5-4=4-5: @小4-5=5-4： (1)请写出第⑤个等式： ；计算5-4= (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的式子表示). 3此较8-1 2与1的大小 43.(24-25七年级下江苏南通期中)观察下列式子：①8+8=2+(-2)=0；②1+1=1+(1)=0： 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ®0两+=10+-100@否+-(-0， 1 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (I)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数α，b, 若 ,则a+b=0,反之也成立： (3)根据(2)中的结论，解答问题：若6-2x与x+1的值互为相反数，求x的值： (4)若4a2-10与6-3b的值互为相反数，且10a2-6b=16,求a的值 44.(25-26八年级上河北保定·月考)先观察下列等式，再回答问题. @y片 ,11 22+169 1111= ③++年=1+ Γ33+1-12 11 (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想1+ 4+5= (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式： (3)对任何实数a,用ad表示不超过a的最大整数，如4=4，[5]=1，计算 11 11 11 ++2+1+2京++1 1 3242+…+ 492502 的值 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上广东深圳·月考)与V17最接近的整数是() A.3 B.4 C.5 D.6 22π 2.（25-26八年级上全国期末)在-1.4144’-2,7,3,27,0.3,2.12112112.（相邻两个2之 间1不断增加)中，无理数的个数() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26七年级下·全国·课后作业)有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为64时，输出的y 是() 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是无理数 输入x√x 输出 是有理数 A.8 B.8 C.√12 D.8 4.(25-26七年级下·全国·周测)已知按照一定规律排成的一列实数：一1，√2,3，一2,5,6， -√万，√8,9，-V10,….按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是() A.V2026 B.-√2026 C.2026 D.2026 a当a≥b时) 5.(25-26八年级上·上海·月考)对任意两个实数、，定义两种运算：a⊕b= b当a<b时)’ b(当a≥b时) a☒b= a当a<b时)’ 并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（-2)⊕3=3'(-2)⑧3=-2’ [(-2⊕3]⑧2=2，那么V5⊕2⑧27等于() A.5 B.3 C.6 D.35 二、填空题 6（2526人华级上宁夏银川期)较大个：一1s:(领“·”政·) > 7.(2025九年级上·吉林长春，专题练习)若a<3W2<b,且a、b是两个连续整数，则a+b的值是一 8.(25-26七年级上·浙江湖州期中)已知a、b分别是6-√7的整数部分和小数部分，则2a+b=一· 9.(25-26八年级上·安徽宿州期中)新定义：对于任意实数a,b,都有a*b=√ab+1,则3*5=一 10.(25-26七年级上山西长治期中)规定：对于任意实数a,可用a表示不超过a的最大整数，如： 第1次操作 第2次操作 第3次操作 [2=2,[5]=1.现对38进行如下操作：38→[V38]=6→[√6]=2→V2]=1,这样对38只需进行3 次操作后变为1.某同学对实数2025进行了n次操作后变为1，那么n的值为一 三、解答题 11.(24-25八年级上广东肇庆·期末)计算： 0)25-27+2-√5 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)W-32--5-16+64 12.(2526七年级上请江宁波期中)把下列各数的序号填入相应的括号内：①3@子，®4，① -314@5,⑧0⑦号，®13 ⑨1.8080080008.（两个“8”之间依次多-个“0）. 分数： 负整数： 正有理数： 无理数： 13.(25-26八年级上广东深圳期中)已知V6的整数部分为a,小数部分为b. (I)求a和b的值； (2)计算a2+2b的值： (③)若m=2+√6，求m的整数部分和小数部分。 14. (24-25七年级上浙江舟山期中)如图所示为一个数值转换器. 输入x 取算术平方根 是无理数 输出y 是有理数 (1)当输入的x的值为49时，输出的y的值是 (2)若输入有效的x值后，始终无法输出y的值，请写出所有满足要求的x的值： (3)若输出的y值是V5,请写出两个满足要求的x的值： 15.(25-26七年级上·浙江月考)如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个 项点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个项点分别落在数轴上的点A和点B处. 432片01234> (I)点A表示的数为 ;点B表示的数为 (2)一只蚂蚁以2个单位长度/秒的速度从点A沿数轴向右爬了t秒到达点C，设点C表示的数为C. ①则实数c的值为 (用含t的代数式表示)： ②当t=1时，求c++e-的值. ⊙在数轴上，还有DE两点分别表示m只2m52m-列与，2 5n-2n 互为相反数，求 2m-4n的平方根. 10/10 专题02 实数及其简单运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、无理数的识别 1 题型二、无理数的大小估算 3 题型三、无理数整数部分有关计算 5 题型四、实数的分类 6 题型五、实数的性质 8 题型六、实数与数轴 10 题型七、实数大小比较 12 题型八、程序设计与实数运算 14 题型九、实数的混合运算 18 题型十、新定义下的实数运算 21 题型十一、与实数运算相关的规律题 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、无理数的识别 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列实数，，，，，中无理数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：是无理数； 3.14159 是有限小数，是有理数； ，是无理数，故是无理数； ，是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 故无理数有和，共2个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川眉山·期末）实数，，，，，，（两个4之间依次增加1个9）中，无理数出现的频数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是实数的分类，牢记有理数和无理数的概念是关键． 判断每个数是否为无理数，无理数是无限不循环小数. 【详解】是分数，是有理数； 是无理数； 是无理数； 是整数，是有理数； ，是有理数； 是循环小数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数. 无理数有、、，共个． 故答案为：C． 3．（25-26八年级上·江西吉安·月考）下列几个数：，，，，（每两个2之间依次增加一个0），其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无限不循环小数为无理数进行逐个分析，即可求解． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数， 是整数，不是无理数， 是有限小数，不是无理数， 开不尽方，是无限不循环小数，是无理数， （每两个2之间依次增加一个0）是无限不循环小数，是无理数， 综上所述，无理数有，，，共3个． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，常见类型包括含的式子、开方开不尽的数、以及有规律但无限不循环的小数，据此逐一判断即可． 【详解】∵ 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是含的式子，是无理数； ，是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； （每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数有、、（每两个2之间依次多一个1），共3个． 故选：C． 题型二、无理数的大小估算 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，估计无理数的大小，利用算术平方根估计出，再结合数轴即可得解． 【详解】解： ∵， ∴ ， ∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B． 故选：B． 6．（25-26九年级上·重庆·月考）估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数取值范围的估计，判断无理数在有理数之间的范围是解题的关键．首先通过估算的近似值，再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴估计的值应在6到7之间． 故选：C． 7．（25-26八年级上·广东梅州·月考）下列整数中，与的值最接近的是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估值，先计算的近似值，与选项比较找出最接近的整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的值最接近的整数是7． 故选：A． 8．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）设n为正整数，且，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，首先根据，得出，即可得出n的值． 【详解】解：∵ ∴， ∵n为正整数，且， ∴， 故选：B． 题型三、无理数整数部分有关计算 9．（25-26八年级上·河南郑州·月考）无理数的整数部分是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较平方数确定 的取值范围，进而得到整数部分即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 因此 的整数部分是 4， 故答案为：4． 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了对无理数整数部分和小数部分概念的理解与求解．解决本题的关键在于找到与根号下数字相邻的两个完全平方数． 通过比较平方数确定的整数范围，从而得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵，所以， ∴的整数部分，小数部分． 故答案为：，． 11．（25-26八年级上·江西抚州·月考）的整数部分是，小数部分是，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 先估算的值，确定其整数部分a和小数部分b，再代入表达式进行计算． 【详解】解：，即 的整数部分是，小数部分是， ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算．根据算术平方根的定义和无理数的估算，先求出a和b的值，再计算代数式的值，最后求平方根，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵， ∴ ∵b是的整数部分， ∴， 则， ∴16的平方根是， 故答案为：． 题型四、实数的分类 13．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，， (1)有理数集合{ } (2)无理数集合：{ } (3)正实数集合：{ } (4)负实数集合：{ } 【答案】(1)，，，，，， (2)， (3)，，，，， (4)， 【分析】本题主要考查有理数、无理数、实数的分类，根据定义判断每个数所属集合． 【详解】（1）解：根据有理数、无理数、实数的定义分类． 有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数，因此、、、、、、是有理数． （2）解：无理数是无限不循环小数，如开方开不尽的数或，因此（即）和是无理数． （3）解：正实数是大于的实数，因此、、、、、是正实数． （4）解：负实数是小于的实数，因此和是负实数． 14．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）把下列各数的序号填在相应的括号内： ①，②，③，④…（相邻两个1之间多一个0），⑤0，⑥，⑦，⑧． 整数_______________； 分数_______________； 无理数_____________． 【答案】整数：②⑤⑥；分数：①⑦；无理数：③④⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解本题的关键． 根据整数、分数和无理数的定义，整数包括正整数、负整数和零；分数是有理数中的有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 【详解】解：②是负整数，⑤0是整数，⑥是正整数，因此整数为②⑤⑥； ①是有限小数，⑦（循环节为3）是无限循环小数，因此分数为①⑦； ③是无理数，④…（相邻两个1之间多一个0）（无限不循环）是无理数，⑧是无理数，因此无理数为③④⑧． 故答案为整数：②⑤⑥；分数：①⑦；无理数：③④⑧． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（相邻的两个之间依次多一个）． 分数： ； 无理数： ； 是整数而不是负数： ； 负实数： ． 【答案】②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧ 【分析】本题考查实数的分类，解题的关键是根据分数、无理数、非负整数及负实数的意义依次对各个数进行判断即可．也考查了立方根及乘方． 【详解】解：①是无理数； ②是分数也是负实数； ③是整数，也是负实数； ④是分数； ⑤是无理数； ⑥是无理数； ⑦是整数而不是负数； ⑧是整数，也是负实数； ⑨（相邻的两个之间依次多一个）是无理数， ∴分数：②④； 无理数：①⑤⑥⑨； 是整数而不是负数：⑦； 负实数：②③⑧． 故答案为：②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧． 16．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，，0.31． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类、求立方根、求算术平方根，先根据立方根与算术平方根的定义进行化简，再根据实数的分类法则即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故有理数集合：{，3.14，，0，，0.31}； 无理数集合：{，，，}； 正实数集合：{，3.14，，，0.31}． 题型五、实数的性质 17．（25-26八年级上·全国·周测）的倒数是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根、立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的算术平方根、立方根，倒数和相反数的定义进行求解． 【详解】解：的倒数是， 的相反数是， 故答案为：，． 18．（24-25七年级下·全国·月考）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 19．（24-25八年级上·山西·开学考试）的相反数是 ；的倒数为 ； 【答案】 【分析】本题考查实数的相反数，倒数，绝对值，根据只有符合不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，负数的绝对值是它的相反数解答即可． 【详解】解：的相反数，的倒数为， 故答案为：，，． 20．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查相反数的定义、绝对值的性质以及实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；先判断的正负值，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求解；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】①解：的相反数是； 故答案为； ② 的绝对值是， 故答案为； ③， 即 ． 故答案为：． 题型六、实数与数轴 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，是的中点，线段，求点表示的数． 【答案】点表示的数是 【分析】本题考查了实数与数轴，正确地求出点表示的数是解题的关键． 先表示出点表示的数，再根据点是的中点进行求解即可． 【详解】解：点表示的数是，线段， 点表示的数是． 是的中点， 线段， 点表示的数是． 22．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数与数轴的知识，包括：数轴上两点距离为两点表示的数之差(右减左)；点向左平移时数减对应单位，向右平移时坐标加对应单位；两点关于某点对称时，该点到两点的距离相等． （1）通过数轴上两点距离公式计算长度； （2）根据平移规律列方程求点的数； （3）通过设未知数，利用线段长相等列方程求解表示点的数． 【详解】（1）解：∵点表示，点表示， ∴线段的长为； （2）解：∵点向左平移个单位长度后与点重合，即数减小4与相等， ∴点表示的数为； （3）解：设点对应的实数为， ∵点、点关于点对称， ∴，即， 解得，即点对应的实数为1． 23．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点、点分别表示实数和，且有与互为相反数． (1)求的值； (2)锦怡同学说：“蚂蚁从点沿数轴向右爬行的单位长度大于2个单位长度”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)她的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的混合运算，绝对值与算术平方根的非负性； （1）根据绝对值与算术平方根的非负性得出，代入代数式，化简绝对值即可求解； （2）根据题意得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数 ∴，， ∴， ∴； （2）她的说法不正确，理由如下， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点、点分别表示实数和，， 表示的数分别为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴她的说法不正确． 24．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和算术平方根非负性，求一个数的平方根和立方根，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据数轴上点的移动，左减右加，求出的值即可； （）根据点的位置，确定，，进而化简即可； （）根据绝对值和算术平方根非负性求出的值，进而求出代数式的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意知：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为：． 题型七、实数大小比较 25．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较大小： 5．（填“>”“<”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数的大小比较方法． 通过比较平方值来判断大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 故答案为：＜． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： （1） 4； （2） 1． 【答案】 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法，是解题的关键． （1）先将化成，然后比较即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． 27．（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小：① ；② ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数比较大小，正确将根号内的数字移到根号内部以及判断根式的大致范围是解题的关键． 对于①，通过平方比较两数的大小；对于②，通过比较分子的大小来判断分数的大小． 【详解】解：①比较和： ∵，， ∵， ∴； ②比较和： 由于分母相同，比较分子和， 计算， 因为，所以，即， 因此； 故答案为：；． 28．（25-26八年级上·山东青岛·月考）比较大小：（1） ；（2） ；（3） （填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较； （1）分别进行次方运算，再比较大小，即可求解； （2）分别平方，再根据两个负数的大小比较，即可求解； （3）根据得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∵ ∴ 故答案为：． （2）∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （3）∵ ∴ ∴ 故答案为：． 题型八、程序设计与实数运算 29．（24-25七年级下·广西梧州·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 30．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是 ． （2）分析发现，当非负数取 时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 31．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 32．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 题型九、实数的混合运算 33．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据幂的运算、算术平方根、绝对值、立方根的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可； （2）根据算术平方根、立方根、绝对值的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 34．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先去绝对值，然后再根据实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 35．（25-26七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根、立方根、绝对值、乘方的运算法则，及实数混合运算的顺序是解题的关键． （1）先分别计算式子中的结果，再按照加减运算顺序计算式子的值． （2）先依次计算的结果，再进行乘法运算，最后按顺序计算加减． 【详解】（1）解：∵ ， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴原式 ． 36．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）首先根据乘方运算，去掉绝对值进行化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算求解； （2）首先根据乘方运算，去掉绝对值，立方根的定义去掉根号，然后进行乘法运算，最后进行加减运算求解； （3）首先根据乘方运算，去掉绝对值，算术平方根的定义去掉根号，然后进行加减运算求解； （4）首先根据乘方运算，去掉绝对值，立方根的定义去掉根号，然后进行乘法运算，最后进行加减运算求解； （5）首先根据乘方运算，去掉绝对值，算术平方根的定义去掉根号，然后进行乘法运算，最后进行加减运算求解； （6）首先根据乘方运算，去掉绝对值，立方根的定义去掉根号，然后进行乘法运算，最后进行加减运算求解； （7）首先根据乘方运算，去掉绝对值，算术平方根、立方根的定义去掉根号，然后进行加减运算求解； （8）首先根据乘方运算，去掉绝对值，立方根的定义去掉根号，然后进行乘法运算，最后进行加减运算求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ． 题型十、新定义下的实数运算 37．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 38．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．根据运算定义，分别计算和，再对结果进行运算． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 即结果为0． 故答案为：0． 39．（25-26八年级上·北京延庆·期末）对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，=4，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，估算无理数的大小，理解符号表示不大于的最大整数是解题的关键． （1）先求出，，再根据符号表示不大于的最大整数求解即可； （2）先根据符号表示不大于的最大整数求出的取值范围，再求解即可； （3）根据数轴上两点间距离求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴=2； ∵， ∴， ∵符号表示不大于的最大整数， ∴； （2）∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴， ∴； （3）∵点，表示的数分别为和， ∴． ∵点表示的数为，点表示的数为，由数轴可知点在点的左边， ∴． ∵点是的中点， ∴， ， ， ， ∴点表示的数为． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 40．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，，，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 题型十一、与实数运算相关的规律题 41．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）分析中的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为； （2）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 以此类推可得第n个等式为． 42．（24-25七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 43．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． （4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 44．（25-26八年级上·河北保定·月考）先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查无理数大小的估算，通过比较与相邻整数的平方差，判断其最接近的整数即可． 【详解】解：因为， 则 ， 又 因为 ， 所以更接近4， 故选B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）在，，，，，，（相邻两个之间不断增加）中，无理数的个数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的识别，掌握无理数的定义，注意区分有限小数、循环小数与无限不循环小数． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数是否无理． 【详解】解：∵ 是有限小数， ∴是有理数； ∵是负的无理数， ∴是无理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵中π是无理数，除以有理数3后仍无理数， ∴是无理数； ∵， ∴是有理数； ∵是循环小数， ∴是有理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∴无理数有3个：， 故选：C． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 5．（25-26八年级上·上海·月考）对任意两个实数、定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的立方根． 根据新定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，可证明，再利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025九年级上·吉林长春·专题练习）若，且是两个连续整数，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了无理数的估算． 将化为，估算其范围，进而求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． ∵，且是两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：9． 8．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，以及代数式求值．先估算的范围，确定整数部分和小数部分，然后代入 计算． 【详解】解：∵， ∴，则 ． ∵ 、 分别是 的整数部分和小数部分， ∴ ，， 则 ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）新定义：对于任意实数，，都有，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算和算术平方根的计算，根据新定义运算，将，代入公式 直接计算即可，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山西长治·期中）规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、平方根、立方根以及乘方，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减法即可； （2）先化简算术平方根、立方根，再计算加减法即可； （3）先化简算术平方根、立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 12．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填入相应的括号内：①，②，③，④，⑧，⑨（两个“8”之间依次多一个“0”）． 分数：___________； 负整数：___________； 正有理数：___________； 无理数：___________． 【答案】④⑦⑧，①③，⑦⑧，②⑤⑨ 【分析】本题考查了实数的分类． 分别根据分数的定义、负整数的定义、正有理数的定义、无理数的定义作答即可． 【详解】解：， 分数：④⑦⑧； 负整数：①③； 正有理数：⑦⑧； 无理数：②⑤⑨． 故答案为：④⑦⑧，①③，⑦⑧，②⑤⑨． 13．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知的整数部分为a，小数部分为b． (1)求a和b的值； (2)计算的值； (3)若，求m的整数部分和小数部分． 【答案】(1)， (2) (3)整数部分为4，小数部分为 【分析】本题主要考查了无理数的估算，代数式求值，实数的混合运算． （1）根据，可知，即可求出答案； （2）将（1）中数值代入，再计算即可． （3）根据，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：∵，， ∴， ∴m的整数部分为， ∴m的小数部分为． 14．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 15．（25-26七年级上·浙江·月考）如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、数轴上点的表示、绝对值的化简、非负数的性质及平方根的计算，熟练掌握非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）是解题的关键． （1）根据正方形面积求边长，结合数轴上点的位置确定点、表示的数； （2）①根据蚂蚁爬行的速度、时间得到移动距离，结合点表示的数表示出点的数； ②代入的值得到，再计算绝对值表达式的值； （3）利用非负数的性质（算术平方根与绝对值的非负性）列方程，求解、后计算的平方根． 【详解】（1）解：∵面积为的正方形边长为，点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∵面积为的正方形边长为，点在原点右侧， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点表示，蚂蚁向右爬了个单位， ∴． ②当时，； ∵，， ∴． （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，① 且．② 解①得，则， ∴； 解②得，则， ∴． ∴， ∴的平方根为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $