第11讲 导数在研究函数中的应用（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】讲义-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册重难点讲义与测试

第11讲 导数在研究函数中的应用 知识清单 知识点01：导数与不等式的证明 知识点02：恒成立问题与能成立问题 知识点03：零点问题 题型讲解 （举三反三） 题型1：利用导数证明不等式 题型2：利用导数研究不等式恒成立问题 题型3：利用导数研究能成立问题 题型4：利用导数研究函数的零点 题型5：利用导数研究方程的根 题型6：利用导数研究双变量问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01导数与不等式的证明 规律方法　利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 知识点02恒成立问题与能成立问题 规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 知识点03零点问题 规律方法　(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 隐零点的处理思路 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 题型1：利用导数证明不等式 【例1-1】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明、，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】现在证明一个不等式：， 设,则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而， 故. 故选：D. 【例1-2】（24-25高二下·江苏徐州·期末）若实数满足，则______． 【答案】 【分析】利用导数可证，当且仅当时等号成立，从而可得. 【详解】即为， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故即，当且仅当时等号成立， 故，故且， 故答案为：. 【例1-3】（2025高二·全国·专题练习）求证：当时，． 【答案】证明见解析 【分析】法一：构造函数、、与，利用导数研究其单调性可得、，即可得证； 法二：构造函数，求导后再构造函数、，利用导数研究其单调性可得，，即可得单调性，即可得证. 【详解】法一：令，则， 令，则， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，则， 则当时，； 令，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，故， 即当时，， 故，即. 法二：令，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递增，则，即； 令，则， 故在上单调递增，故，即； 故，故在上单调递增， 故，即有. 【变式1-1】（24-25高二下·四川达州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时，和的结论即可选出答案 【详解】令，则， 所以在处单调递增，在处单调递减 所以， 所以时，， 另一方面，令,则 所以在处单调递减，在处单调递增 所以 所以时， 当时，， 故选：C 【变式1-2】用不等号“<”将，，按从小到大排序为______. 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性可得；利用导数证明不等式，进而可得，即可得出结果. 【详解】由正弦函数的单调性可知， 设函数，则， 令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 得，即，当且仅当时等号成立， 令，得， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）已知x为正实数． (1)比较与的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性及最值，判断的正负，从而得出与的大小； （2）构造函数，，结合导函数得出在上成立，在上成立. 【详解】（1）令函数，则， 令，则，则在上递增， 即在上递增，又， 所以在上恒成立，即在上递增， 又因为，所以在上恒成立， 所以. （2）令函数，则， 令，则， 当 时，，，则， 当时，， 则在恒成立， 所以在上递增， 即在上递增， 又，所以在上恒成立， 所以在上递增， 又，所以在上成立， 所以. 题型2：利用导数研究不等式恒成立问题 【例2-1】（2025高二·全国·专题练习）若对于任意的正实数，，都成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题化为恒成立，令并构造，应用导数求其最大值，即可得范围. 【详解】由，可得，令， 设，则，易知在定义域上单调递减且， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 所以，可得，即. 故选：D 【例2-2】（2025高二·全国·专题练习）若对于，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】法一：问题转化为在恒成立，求出的范围即可；法二：通过拆分常数项，凑出和对数相关的特殊形式，即可求出的范围. 【详解】法一：问题等价于在恒成立． 设，对求导：, 令，即，解得。 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，； 法二：由于，可得， 故， 根据对数函数的性质，当且仅当时取等， 则，当时，得到，解得. 故答案为：． 【例2-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）设函数在及时取得极值．若对于任意的仍有成立，求c的取值范围． 【答案】 【分析】将题设中极值条件转化为的两根为或，利用韦达定理即可求解，进而求出的单调性，再结合题设中的恒成立条件列不等式组即可计算求解的取值范围． 【详解】，， 函数在及时取得极值， 的两根为或， ，， ， 的解为或，的解为， 在和上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 对于任意的仍有成立， ，即，解得或， 的取值范围是． 【变式2-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，参变分离得在上恒成立，然后利用正弦函数的性质求解最值即可求解. 【详解】由得， 由题意得在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以恒成立，故实数的取值范围是． 故选：B 【变式2-2】（24-25高二下·福建泉州·期中）恒成立，则的取值范围是________.． 【答案】≥ 【分析】将不等式进行变换，构造新函数，求导判断单调性，求出最值，进而求得的范围. 【详解】因为，所以令， 则，即恒成立. 设，则. 当时，；当时，. 所以在单调递减，在上单调递增， 所以， 要使得不等式恒成立，则，解得. 故答案为：. 【变式2-3】（26-27高二上·重庆·期末）已知函数令 (1)当时，求的单调区间及最值 (2)①讨论在上的单调性； ②当时，函数对任意的恒成立，求的取值范围？ 【答案】(1)单调减区间为；单调增区间；最小值为0，无最大值 (2)①答案见解析；② 【分析】（1）直接求导得，分析其单调性即可得到最值； （2）①求导得，再对分和讨论即可； ②分析的单调性即可得到其最值，则得到关于的不等式，解出即可. 【详解】（1）当时，，，， 令， 当，，在单调递减； 当，，在单调递增， 所以其单调增区间为，单调减区间为， 所以，无最大值. （2）①， ，， 当，，所以在上单调递增， 当，，当时，； 当，， 故在上单调递减，在上单调递增. ②当时，由①可知在上单调递增，且， 故当，； 当，故在上单调递减，在上单调递增， 故，所以. 题型3：利用导数研究能成立问题 【例3-1】（2026高二·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是. 故选：A 【例3-2】已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】的图象经过第一象限，即，使得，即，令，求出的最小值可得的取值范围. 【详解】由的图象经过第一象限，得，使得，即， 设，求导得， 当时，， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 则有，即，所以实数的取值范围是 【例3-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】． 【分析】将问题转化为，再求导并分、、讨论求其最大值即可. 【详解】因关于的不等式在上有解，则， 由题意得，，， ①当时，可得，所以在上单调递增， 则有，解得； ②当时，列表如下． － 0 ＋ 减 最小值 增 则有与条件矛盾，舍去； ③当时，可得，所以在上单调递减， 可得，不满足题意． 综上所述，的取值范围为． 【变式3-1】（24-25高二下·陕西商洛·期末）已知存在两个正实数m，n（），使，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边取自然对数，可得，令，得．设函数，求导，结合函数的单调性可得的范围，进而得的范围． 【详解】对两边取自然对数，可得，则， 令，得． 设函数，则， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为，且， 所以，即． 故． 故选：D． 【变式3-2】（24-25高二下·浙江·月考）若存在，满足，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先把问题转化为函数在上最大值大于.对求导，令导数为得.然后分情况讨论：当，确定单调性，得出最大值，构造分析其单调性，判断满足条件.当，可知单调递增，，不满足条件.最终得到的取值范围. 【详解】定义函数 原问题等价于存在使得，所以在区间内的最大值大于 0， 令，解得 ①当时，，故，且 令，解得，令，解得 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以的极大值也是最大值 故 构造函数 因，所以 故单调递增，且，故当时，，满足条件； ②当时，，所以函数在内单调递增， 所以当恒成立.故不满足条件， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间； （2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， . ①当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为； ③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为； ④当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）若，，使得，则， ，故在上单调递增， 当时，取得最大值1，即. 由（1）知，当时，， 令，得，故. 当时，无最大值，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 题型4：利用导数研究函数的零点 【例4-1】（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究的单调性，由此列不等式组求得的取值范围. 【详解】函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，且， 所以要使函数存在两个不同的零点， 则需，解得. 故选：B 【例4-2】已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据零点将问题转化为有两个交点，构造函数，由导数求解函数的单调性，即可结合图象求解. 【详解】由有两个零点，故有两个实数根， 记，则， 当和时， ， 当时，， 故在单调递减，在单调递增， 作出函数的图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点， 故实数的取值范围 故答案为： 【例4-3】（2025高二·全国·专题练习）当时，讨论函数的零点个数． 【答案】1 【分析】利用导数求得的单调性，再利用函数零点的判定规则即可求得的零点个数． 【详解】因为，当时，在上单调递增，故函数至多有一个零点． ，当时，有，故， 所以取，， 所以使有唯一零点. 即函数零点个数为1. 【变式4-1】（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，根据导数极值列不等式组计算即可. 【详解】，则， 当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意； 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，，当，， 所以，在，上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】设切点为，进而得，再构造函数，用导数研究函数的图象和性质，将问题转化为直线与的图象的交点个数问题，数形结合求解即可． 【详解】设切点为，因为，所以， 所以，所以切线方程为， 所以， 即． 令， 则． 令，则； 令，则或． 所以函数在和上单调递减，在上单调递增． 因为，且当时，， 且,所以函数的大致图象如图． 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，此时过点可作3条直线与函数的图象相切，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若方程有两个不同的根、，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，直线与函数的图象有两个交点， 函数的定义域为，， 由可得，由可得， 所以函数的增区间为，减区间为，故， 当时，；当时，. 如下图所示，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 题型5：利用导数研究方程的根 【例5-1】（24-25高二下·福建福州·期中）若直线与曲线相切，则（   ） A．2 B．e C．2e D． 【答案】A 【分析】设切点，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，对函数求导得， 则在点处的切线的斜率， 又切点在直线上， 所以，即， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 则由得，所以， 所以. 故选：A. 【例5-2】（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数的图象与直线有且仅有一个公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数求出的单调区间、极值，画出图象，数形结合即可求解. 【详解】由题可得， 令，得， 令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为：，；减区间为：， 可得极大值为，极小值为， 时，；时，， 的大致图象如图， 若函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 观察图象得，或时仅有一个公共点. 故答案为：. 【例5-3】（24-25高二下·江西·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为0 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）首先设切点，再求切线方程，根据切线方程过点，转化为关于的方程有3个实数根，通过构造函数，利用导数分析函数的性质，从而根据函数有3个零点，求参数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以． 令，得或， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且， 所以的极大值为，极小值为0． （2）设过点的直线与的图象切于点，切线斜率， 则该切线的方程为， 把代入方程并整理得， 由过点可作3条直线与的图象相切， 则关于的方程有3个不同实根， 设， 则， 令，得或， 所以， 所以或且， 所以的取值范围是． 【变式5-1】（24-25高二下·广东惠州·月考）已知， 若曲线 与曲线有且只有一个公共点，那么实数m的值为（   ） A． B．e C． D． 【答案】A 【分析】先将问题转化为直线和曲线只有一个交点，再构造函数，求导分析单调性得到最大值即可. 【详解】由题意可得只有一个解，即方程只有一个解，即直线和曲线只有一个交点. 令，则， 由函数的单调性可得在定义域内单调递减，且， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 且,, 所以， 所以方程只有一个解时，. 故选：A 【变式5-2】（24-25高二下·四川达州·期中）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】分析可知原题意等价于在定义域内有两个零点，求导，利用分析单调性和最值，进而分析零点即可. 【详解】令，可得， 构建， 原题意等价于在定义域内有两个零点， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，且当趋近于或时，趋近于， 可知，即， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25高二下·湖北武汉·月考）已知是函数的极值点. (1)求实数的值 (2)过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据函数的极值点是导函数的零点，对函数求导，代入极值点数值求解方程即可求参数. (2)根据导函数的实际意义，写出函数切线方程得通式，根据在点上有三条曲线的情况，代入坐标，则新的方程有三个解.构造函数，求函数单调性和极值点，推断有三个解的条件. 【详解】（1）由得，. 是的极值点，故，整理得. 解得，或 经检验，当时，不是的极值点，不合题意，故舍去. 故； （2）由（1）可知，， 设切点坐标为，切线的斜率为. 则切线方程为，将点代入并整理得. 记，由题意得，直线与曲线有三个不同的交点. ，令，得或， 当或时，单调递减，当时，单调递增且. 故. 题型6：利用导数研究双变量问题 【例6-1】已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 【例6-2】已知函数，若，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由得，，令，利用导函数研究其单调性和最值即可得到结果. 【详解】因为，若，则， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 【例6-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数.若存在，，使得.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由，可得，利用对数平均值不等式可得，得，得证. 【详解】由函数，可得，， 设，由，可得，则， 令，则， 所以函数在上单调递增，故， 由，得，即， ，即，整理得， ， 故，得证! 【变式6-1】已知，都是正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，构造函数求解即可. 【详解】因为，所以，令， 所以，故在上单调递增，由已知得， 故，因为，都是正整数，即. 故选：A. 【变式6-2】已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据对，，使得成立，只需求解即可. 【详解】因为， 所以， 当时，，当时，， 所以， 因为开口方向向下， 所以在区间上的最小值的端点处取得， 所以要使对，，使得成立， 只需，即或， 即或， 解得， 所以a的取值范围是， 故答案为： 【变式6-3】（24-25高二下·四川眉山·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导后，分和讨论即可，根据导数的符号判断原函数单调性； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，根据函数单调性求最值即可得解. 【详解】函数，则， 因函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因在区间上单调递减，则， 故，即实数的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 3．（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解. 【详解】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 4．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为时，恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由对恒成立， 即对恒成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，即为恒成立， 设，，则， 设，， 则， 所以函数在上单调递减，则， 即，所以函数在上单调递减， 而时，，且时，， 则时，， 所以时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为在上只有一解，设，用导数确定函数的性质得参数范围． 【详解】，所以在上只有一解， 设，则，由得， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上，， 又时，，时，， 所以，的取值范围是， 故选：C． 6．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定，借助同构思想转化为恒成立，再构造函数，由求出值. 【详解】不等式恒成立， 若，恒成立，而当时，此不等式不成立； 若，则，而当时，，不符合题意； 因此，，不等式， 令函数，求导得，函数在上递增， 不等式， 因此不等式在恒成立，令， 即恒成立，而，则， 又，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则方程有唯一解，由，得，解得， 所以的值为. 故选：D 7．（24-25高二下·贵州·期中）已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将不等式等价转化为恰有1个整数解．利用导数研究函数的性质并画出草图，结合图形列出关于a的不等式组，解之即可. 【详解】函数的定义域为． 由，得， 则不等式恰有1个整数解． 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，所以当时，，当时，， 易知为过原点的一条直线， 在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示． 要使不等式恰有1个整数解， 则，解得，即实数a的取值范围为. 故选：B 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在上有两个零点，则的取值为（   ） A．0或 B． C．4 D．0或4 【答案】A 【分析】由题可得或，据此可得答案. 【详解】，， ，则在上单调递增，在上单调递减. 为使在R上有两个零点， 则或，得或， 从而或. 故选：A 二、多选题 9．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】首先构造函数利用导数求出最值，即可判断A，B正确，利用特殊值即可判断C，D错误. 【详解】对选项A，设，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即，故A正确. 对选项B，设，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即，故B正确. 对选项C，当时，，此时，故C错误. 对选项D，当时，，故D错误. 故选：AB 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．既有极大值又有极小值 B．当时，最大值为 C．有三个零点 D．若且，则 【答案】AC 【分析】根据题意，求导分析函数单调性，根据单调性确定极值，可判断AB，由零点存在定理可判断零点个数判断C，利用极值点偏移问题可证明判断D. 【详解】因为，所以. 由；由或. 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极小值为：，极大值. 故A正确，B错误； 又，. 所以在，和上各有1个零点，所以函数有3个零点，故C正确； 对D：若，且，则，. 设，. 所以. 所以， 令， ， ， ， 所以在时单调递减， 则， 即，在时单调递增， ，即， 则在时单调递减，所以， 即， 又，所以， 又，，，且在上单调递减， 所以，故D错误； 故选：AC. 11．（25-26高二上·浙江台州·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，在区间上单调递增 B．当时，在上单调递增 C．当时，是函数的极小值点 D．当时，函数有三个零点 【答案】BCD 【分析】求函数的导数，代入相应的的值，利用导数分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】函数，定义域为. . 当时，. 当时，，所以在区间上单调递减，所以A错误. 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以B正确. 当时，令，则或. 所以当时，；当或时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以是函数的极小值点，所以C正确. 当时，. 所以当时，；当或时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以函数在上各有一个零点，共三个零点，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知，恒成立，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据题意，分离参数得，令，，利用导数求出的最小值，得解. 【详解】由条件，可得，令，， 则， 故在单调上递增，即的最小值为，则. 故答案为：. 13．（24-25高二下·青海西宁·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】先分离参数然后构造函数，然后换元得到函数，利用导数求其最小值进而得到的取值范围. 【详解】因为，所以可化为. 令， 设，，则，设， 令，即，则，所以的单调递增区间为； 令，即，则，所以的单调递减区间为； 所以 在上的最小值为，即在上的最小值为 则，解得. 故答案为： 14．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设，将题意转化为，即存在两个不同的零点，设，分和，对求导，得出的单调性和最值即可得出答案. 【详解】令，得， 设，显然在上单调递增， 而，则， 依题意，方程有两个不等的实根， 显然，故存在两个不同的零点， 设，则， （i）当时，则，，此时在上单调递增， 最多一个零点，不合题意； （ii）当时，此时，当时，，当时，， 在（0，1）上单调递增，在上单调递减，所以， 要使有两个零点，则，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性与最值，即可证明不等式. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以． 所以，命题得证． 16．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【详解】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令，. 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 17．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值 (2)证明见解析 【分析】(1)求出，，可得答案； (2)将问题转化为证明函数恒成立，结合导数研究的最小值即可求解. 【详解】（1）定义域为，， 易知在上单调递增，所以的零点为1，列表如下： x 1 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为，无极大值. （2）设，， ，令，得，列表如下： x - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， 所以，即， 即，所以. 18．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知函数. (1)若，，求函数的单调区间及极值； (2)若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是，极大值为，无极小值； (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，求导判断函数的单调性，进而求出极大值，判断无极小值即可； （2）依题求出的值，即得函数解析式，由不等式参变分离可得在上恒成立，令，利用求导判断其单调性求出其最小值，即得参数范围. 【详解】（1）当，时，，函数的定义域为，      所以，令，得，      当时，，在上是增函数；      当时，，在上是减函数，      所以的极大值为，无极小值，      所以函数的单调增区间是，单调减区间是， 极大值为，无极小值； （2）由，，得，则，故，     由，可得，      又∵，由上式可得在上恒成立，     令，可得，      令，解得，      当时，，在上是减函数；     当时，，在上是增函数，      ∴，所以，     故实数b的取值范围是. 19．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知函数，． (1)证明：当时，． (2)若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合端点值证明不等式成立； （2）通过求二阶导数分析极值点条件，分情况讨论参数对函数单调性的影响，从而确定极大值点对应的参数范围. 【详解】（1）证明：，则， 当时，，所以在上单调递减. 又，所以．故当时，． （2）的定义域为，， 令，，则． ①若，即，则.令，则， 所以在上单调递增， 当时，．当时，， 所以，在上单调递增，不符合题意. ②若，即，则必存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． ③若，即，则同理可得，存在，使得当时，， 所以在上单调递减． 又，所以当时，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， 所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 导数在研究函数中的应用 知识清单 知识点01：导数与不等式的证明 知识点02：恒成立问题与能成立问题 知识点03：零点问题 题型讲解 （举三反三） 题型1：利用导数证明不等式 题型2：利用导数研究不等式恒成立问题 题型3：利用导数研究能成立问题 题型4：利用导数研究函数的零点 题型5：利用导数研究方程的根 题型6：利用导数研究双变量问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01导数与不等式的证明 规律方法　利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 知识点02恒成立问题与能成立问题 规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 知识点03零点问题 规律方法　(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 隐零点的处理思路 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 题型1：利用导数证明不等式 【例1-1】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高二下·江苏徐州·期末）若实数满足，则______． 【例1-3】（2025高二·全国·专题练习）求证：当时，． 【变式1-1】（24-25高二下·四川达州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】用不等号“<”将，，按从小到大排序为______. 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）已知x为正实数． (1)比较与的大小； (2)求证：． 题型2：利用导数研究不等式恒成立问题 【例2-1】（2025高二·全国·专题练习）若对于任意的正实数，，都成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【例2-2】（2025高二·全国·专题练习）若对于，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 【例2-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）设函数在及时取得极值．若对于任意的仍有成立，求c的取值范围． 【变式2-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·福建泉州·期中）恒成立，则的取值范围是________.． 【变式2-3】（26-27高二上·重庆·期末）已知函数令 (1)当时，求的单调区间及最值 (2)①讨论在上的单调性； ②当时，函数对任意的恒成立，求的取值范围？ 题型3：利用导数研究能成立问题 【例3-1】（2026高二·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【例3-2】已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是_________． 【例3-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【变式3-1】（24-25高二下·陕西商洛·期末）已知存在两个正实数m，n（），使，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·浙江·月考）若存在，满足，则实数的取值范围为__________. 【变式3-3】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 题型4：利用导数研究函数的零点 【例4-1】（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______. 【例4-3】（2025高二·全国·专题练习）当时，讨论函数的零点个数． 【变式4-1】（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是______． 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若方程有两个不同的根、，且，求的取值范围． 题型5：利用导数研究方程的根 【例5-1】（24-25高二下·福建福州·期中）若直线与曲线相切，则（   ） A．2 B．e C．2e D． 【例5-2】（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数的图象与直线有且仅有一个公共点，则的取值范围是______. 【例5-3】（24-25高二下·江西·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【变式5-1】（24-25高二下·广东惠州·月考）已知， 若曲线 与曲线有且只有一个公共点，那么实数m的值为（   ） A． B．e C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·四川达州·期中）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________． 【变式5-3】（24-25高二下·湖北武汉·月考）已知是函数的极值点. (1)求实数的值 (2)过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围 题型6：利用导数研究双变量问题 【例6-1】已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】已知函数，若，则的最小值为______. 【例6-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数.若存在，，使得.证明：. 【变式6-1】已知，都是正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______． 【变式6-3】（24-25高二下·四川眉山·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 3．（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 7．（24-25高二下·贵州·期中）已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在上有两个零点，则的取值为（   ） A．0或 B． C．4 D．0或4 二、多选题 9．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．既有极大值又有极小值 B．当时，最大值为 C．有三个零点 D．若且，则 11．（25-26高二上·浙江台州·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，在区间上单调递增 B．当时，在上单调递增 C．当时，是函数的极小值点 D．当时，函数有三个零点 三、填空题 12．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知，恒成立，则a的取值范围是________. 13．（24-25高二下·青海西宁·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 14．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知，证明：． 16．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 17．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)证明：. 18．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知函数. (1)若，，求函数的单调区间及极值； (2)若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 19．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知函数，． (1)证明：当时，． (2)若是的极大值点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $