8.1 第1课时 平方根 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 8.1 第1课时 平方根平方根 导学案（教学过程） 本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能区分平方根与算术平方根，培养学生的数感和逻辑推理能力，教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展提升—总结收获”五个环节展开，注重师生互动、分层教学，突出知识性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“什么是乘方运算？”，引导学生回忆乘方的定义——求n个相同因数积的运算叫做乘方，随后板书简单例题：$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$、$$3^2=9$$、$$0^2=0$$，让学生快速计算并回答，唤醒旧知。2. 情境导入：结合板书提问“已知一个数的平方是4，这个数是多少？”，引导学生发现有两个数（2和-2）的平方等于4，进而引出本节课主题——平方根，明确本节课学习任务：理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根计算问题。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究，注重概念讲解、实例分析和易错点强调，贴合七年级学生认知特点。 1. 平方根定义探究：结合复习题中的$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$，讲解“如果一个数x的平方等于a（即$$x^2=a$$），那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）”，强调定义中的关键：x是a的平方根，必须满足$$x^2=a$$，并举例说明：因为$$3^2=9$$、$$(-3)^2=9$$，所以3和-3都是9的平方根；因为$$0^2=0$$，所以0的平方根是0。 2. 平方根的表示方法：讲解平方根的规范表示——正数a的平方根记为$$\pm\sqrt{a}$$，其中$$\sqrt{a}$$叫做a的算术平方根（算术平方根是正数a的正的平方根），强调符号含义：“$$\sqrt{}$$”是平方根符号，“±”表示两个平方根（正、负），举例说明：9的平方根记为$$\pm\sqrt{9}=\pm3$$，其中$$\sqrt{9}=3$$是9的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0，即$$\pm\sqrt{0}=0$$。 3. 易错点与注意事项：着重强调三个关键要点：① 正数有两个平方根，它们互为相反数；② 0的平方根只有一个，就是0本身；③ 负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数），结合反例讲解：“-4有没有平方根？”，引导学生思考“没有一个数的平方等于-4，所以-4没有平方根”，避免学生混淆；同时区分“平方根”与“算术平方根”，明确算术平方根是平方根中的正数部分，只有一个，而平方根有两个（正数和负数）。 4. 初步尝试：让学生尝试说出64、25、16的平方根和算术平方根，教师巡视指导，对表述不规范的学生进行个别纠正，完成后邀请2-3名学生发言，师生共同点评，巩固概念和表示方法。 三、实操巩固，强化技能（10分钟） 本环节通过分层练习，让学生巩固平方根的定义、表示方法和求法，提升解题熟练度，兼顾基础和提升。 1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 求下列各数的平方根：100、$$\frac{1}{4}$$、0.09；② 求下列各数的算术平方根：36、81、0.16；③ 判断下列说法是否正确，错误的请改正：a. 5的平方根是$$\sqrt{5}$$；b. 0的算术平方根是0；c. -9有两个平方根。教师巡视，检查学生解题过程和格式，及时纠正错误，确保基础技能落实。 2. 提升练习：给出题目：① 若一个数的平方根是$$\pm5$$，求这个数；② 若$$\sqrt{x}=3$$，求x的值；③ 比较$$\sqrt{10}$$与3的大小（提示：结合算术平方根的定义，$$3=\sqrt{9}$$），引导学生思考逆向思维和简单的大小比较方法，培养逻辑推理能力。 3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸，小组内合作完成练习，互相检查解题过程，纠正错误，讨论易错点，教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。 四、拓展应用，深化理解（10分钟） 本环节将平方根知识与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，深化对概念的理解。 1. 实例应用：展示实际问题：一个正方形花坛的面积是25平方米，求这个正方形花坛的边长。引导学生思考：正方形的面积=边长×边长，设边长为x米，则$$x^2=25$$，所以x是25的平方根，又因为边长是正数，所以x是25的算术平方根，即$$x=\sqrt{25}=5$$，讲解解题思路，让学生明白平方根在实际问题中的应用，强调实际问题中需结合题意取舍平方根（取正数）。 2. 拓展思考：提问“若一个数的算术平方根是它本身，这个数是多少？”，引导学生自主思考、讨论，得出答案（0和1），并说明理由：$$\sqrt{0}=0$$，$$\sqrt{1}=1$$，培养学生的逆向思维和深度思考能力。 3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和思路，师生共同评价，肯定优点，指出不足，对思路清晰、方法正确的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么？”，让学生自主发言，梳理平方根的定义、表示方法、注意事项和求法，明确平方根与算术平方根的区别和联系，强调易错点（负数没有平方根、算术平方根是正数）。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调“求一个数的平方根，关键是找到一个数，使其平方等于这个数”，区分“平方根”与“算术平方根”的核心差异——正数的平方根有两个，算术平方根只有一个（正的），鼓励学生课后多练习，熟练掌握解题方法，将数学知识与生活实际结合起来。 3. 布置作业：让学生课后巩固平方根的知识，完成基础计算题（求各数的平方根和算术平方根），并解决1道实际应用题（如正方形面积求边长），下节课上台展示解题过程，进一步强化技能，深化对概念的理解。 整个教学过程注重知识性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根相关问题，同时培养学生的逻辑推理能力和合作意识。 【学习目标】 1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根. 2. 体会平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯. 3. 会利用平方和开平方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆. 【学习重点】平方根的概念及平方根的求法. 【学习难点】求非负数的平方根. 【自主学习】 “西兰卡普”是一种土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产.如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为 4 m²，请问它的边长是多少? 问题 1：你算出的边长是多少? 问题 2：你是怎样算出这个边长的? 【合作探究】 探究点一、平方根的概念 问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少? 问题2：填写下表： x2 1 16 0.36 49 x 思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点? 思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么? 知识要点 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的______或________. 求一个数的平方根的运算，叫作_______. 比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？ 总结：平方与开平方互为_________.根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根. 【典型例题】 例1 分别求下列各数的平方根： (1) 64； (2) (3) 0.01. 【练一练】1.分别求下列各数的平方根： (1) (2) 1.44 (3) 121 2.判断对错: (1) 8 是 64 的平方根； ( ) (2) －8 是 64 的平方根； ( ) (3) ±8 是 64 的平方根； ( ) (4) 一个数的平方等于81，则这个数是9. ( ) 探究点二、平方根的性质 思考1：观察以上平方和开平方的过程你有什么发现? 思考2：1，4，9， 的平方根是多少?它们有什么特点？ 思考3：0 的平方根是多少? 思考4：－1，－4，－9，－ 的平方根是多少? 平方根的性质归纳 性质1：__________________________________； 性质2：__________________________________； 性质3：__________________________________. 追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢? 正数 a 的正的平方根记为“”，读作“根号 a ”， a 叫作被开方数； 正数 a 的负的平方根记为“－ ”，读作“负根号 a ” 0 的平方根记为 = 0 注意：只有当 a ≥ 0 时， 才有意义. 而当a ＜ 0 时，无意义. 【典型例题】 例2 下列各数有平方根吗? 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2. 【练一练】 3. m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( ) A. 4 B. 2 C. －2 D. － 4. 求下列式子中 x 的值. (1) x2 = 49 (2) 4x² = 9 课堂检测 1.16的平方根是(　　) A.4 B.-4 C.±4 D.±8 2. 下列说法正确的是(　　) A. 任何非负数都有两个平方根 B. 一个正数的平方根仍然是正数 C. 只有正数才有平方根 D. 负数没有平方根 3. 求下列各数（式）的平方根： (1) ； (2) 0.0001； (3) (－2)2.　 4. 求下列各式中x的值： (1) 81x2－49＝0； 　(2) 49(x2＋1)＝50. 5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数. 参考答案 【自主学习】 问题1 面积＝边长×边长 边长为 2 m 问题2 通过正方形的面积公式反推出来 【合作探究】 探究点一、平方根的概念 问题1 3或－3 问题2 ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 思考1 都有两个值，且这两个值互为相反数 思考2 开平方 知识要点 平方根 二次方根 开平方 总结 逆运算 【典型例题】 例1 解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64，所以 64 的平方根是 ±8； (2) 因为 (±)2 = ；所以 的平方根是 ±； (3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是±0.1. 【练一练】1.解：(1) 因为 (±)^2 = ，所以 的平方根是 ±. (2) 因为 ( ±1.2 )2 = 1.44，所以 1.44 的平方根是 ±1.2. (3) 因为 ( ±11)2 = 121，所以 121 的平方根是±11. 2.（1）√ （2）√ （3）√ （4）× 探究点二、平方根的性质 问题1 平方和开平方是一个互逆的过程 问题2 ±1，±2，±3，± 有两个平方根，且互为相反数 问题3 0 问题4 没有平方根 平方根的性质归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根. 【典型例题】例2 解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根， ± = ±0.6； (2) 因为 －5 是负数，所以 －5 没有平方根； (3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根， ±2 = ± = ±4. 3.B 分析：因为 m－1 和 3－2m是某正数的两个不同的平方根，则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0，解得 m＝2. 【练一练】4 解：(1) x = ± = ±7 .(2) x² = ， 课堂检测 1. C 2. D 3.解：(1)因为1 ，.(2)因为(±0.01)2＝0.0001，所以0.0001的平方根是±0.01. (3)因为(±2)2＝4＝(－2)2，所以(－2)2的平方根是±2. 4.(1)解：整理81x2－49＝0，得x2＝ ，开平方得x＝±＝± . 5.解：由于这个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0， 即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $