安徽省六安第一中学2025-2026学年高三下学期质量检测卷（二）数学练习卷

安徽省六安第一中学2025-2026学年高三下学期质量检测卷（二）数学练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，则在上的投影向量为（   ） A．8 B． C． D． 3．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（    ） A． B． C．4 D．8 4．下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越小，说明模型拟合的效果越好 C．一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D．在列联表中，若所有数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 5．已知，其中为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 6．某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 8．设，函数单调递增，且对任意实数x，有 (其中e为自然对数的底数)，则（    ） A． B．3 C． D．5 二、多选题 9．已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 10．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．图象在处的切线方程为 D．的极小值为 11．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．平面与平面间的距离为 三、填空题 12．已知某等比数列的首项为5，其前三项和为15，则该数列前六项的和为____. 13．记函数在区间上的最大值为，最小值为，则_____． 14．已知直线与椭圆在第一象限交于P，Q两点，与轴，轴分别交于M，N两点，且满足，则的斜率为______. 四、解答题 15．为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 17．如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，为的中点. (1)求证：平面. (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离. 18．已知抛物线，点在上，k为常数，.按照如下方式依次构造点，过斜率为k的直线交于另一个点，过点斜率为的直线交于另一个点，记的坐标为，的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是公差为的等差数列； (3)设为的面积，证明：对于任意正整数，. 19．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)设函数的表达式分别为，判断函数与是否具有性质，说明理由； (2)已知函数具有性质，求函数在上零点的个数； (3)在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《安徽省六安第一中学2025-2026学年高三下学期质量检测卷（二）数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C B B C D BCD ACD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】化简集合B，进而可求并集. 【详解】因为集合， 且集合，所以. 故选：C. 2．C 【分析】利用投影向量的定义计算即可. 【详解】因为，所以， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 3．B 【分析】记与轴的交点为D，依题意可得，利用勾股定理求出，最后根据计算可得. 【详解】记与轴的交点为D， 因为，所以， 又轴，所以四边形为平行四边形，所以， 由题意可知：， 因为轴，，所以轴， 又，所以，所以， ． 故选：B． 4．C 【分析】根据正态分布曲线的性质，可得判定A错误；根据决定系数和相关系数的性质，可得判定B错误，C正确；根据独立性检验的计算公式，可判定D错误. 【详解】对于A中，若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中，所以A错误； 对于B中，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越大，说明模型拟合的效果越好，所以B错误； 对于C中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，所以如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强，所以C正确； 对于D中，在列联表中，若所有数据均变成原来的2倍， 则， 此时是原来的2倍，所以D错误. 故选：C. 5．B 【分析】由同角三角函数的关系及角所在象限求正切值. 【详解】由，为第二象限角，所以，则. 故选：B 6．B 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解. 【详解】设小球的半径为，则小球的表面积为，解得， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：    由小球的半径， 得， 又都是等边三角形，则， 圆台的上、下底面圆的半径分别为， 母线长，因此圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为， 所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 故选：B 7．C 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 8．D 【分析】根据,可设,再利用单调性判断分析可得的解析式,再代入求即可. 【详解】由,设,且. 又,令有,故,显然为其中一根. 又为增函数.故为唯一解.故.故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解,主要根据函数的单调性与特殊根的方法等.属于中等题型. 9．BCD 【分析】A：考虑且时的情况；B：计算出的范围并判断；C：根据的范围作出判断；D：计算出的范围，则的范围可知. 【详解】选项A：当且时，为实数，故A错误； 选项B：因为，所以，所以的实部不为，所以不可能为纯虚数，故B正确； 选项C：因为，所以在复平面内表示的点在虚轴的左侧，故C正确； 选项D：因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10．ACD 【分析】通过求导分析函数单调性、极值、切线方程，从而确定正确答案. 【详解】， 当时，，单调递减；当时，，单调递减，A选项正确. 当时，，单调递增，B选项错误. 当时，，， 所以图象在处的切线方程为， 整理得，C选项正确. 由单调性可知，当时，取得极小值，，D选项正确. 故选：ACD 11．BD 【分析】对于A选项，由得到为异面直线与所成角，根据正方体的性质的即得；对于B选项，由平面，可以得到直线与平面所成角为，进而即得；对于C选项，利用空间向量法求解即得；对于D选项，求出平面的法向量为，由平面平面，可知平面与平面间的距离等于点到平面的距离，进而即得. 【详解】对于A选项，在正方体中， 即为异面直线与所成角， 因为，所以为等边三角形， 因此，故A错误. 对于B选项，因为平面，所以是在平面上的射影， 那么直线与平面所成角为， 在中，，， 则，，故B正确. 对于C选项，以D为原点，分别以，DC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，那么，， 根据点到直线的距离公式：， 又，，， 代入可得.故C不正确. 对于D选项，，，， 设平面的法向量为，则，所以， 令，得，，所以， 所以点到平面的距离， 因为平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 即该距离为，故D正确； 故选：BD. 12．或 【分析】根据等比数列通项公式表示出前三项和解出公比，将公比代入数列前六项的和计算即可. 【详解】设等比数列公比为，前项和为，根据题意， 所以， 由，得 ，即， 解得或， 当时，， 当时，. 故答案为：或. 13．/ 【分析】先将看作关于的函数，利用导数讨论其单调性后用表示其最大值，最后再利用导数求该最小值的最大值即可. 【详解】设，，则， 当，时，（不恒为零）， 所以是减函数，所以． 设，则， 当时，，单调递增， 所以． 故答案为：. 14．/ 【分析】不妨设P在Q的左侧，取的中点，根据点差法可得，再根据对勾函数可知，分析可得，即可得结果. 【详解】如图所示，不妨设P在Q的左侧，取的中点， 设，则， 可得直线的斜率，直线的斜率， 因为在椭圆上， 则，两式相减得， 整理得，即， 可知， 因为在内单调递增， 由可得， 即，整理得， 可知为的中点，则，可知， 结合可得，且，则， 检验符合题意，所以直线的斜率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法 对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 15．(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联． (2)分布列见解析，1 【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【详解】（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等式化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式，可得答案； （2）根据化简后的函数解析式，根据正弦型函数的对称性，可得答案； （3）利用整体思想，根据正弦型函数的零点，可得答案. 【详解】（1） ， 的最小正周期． （2）由可得，令，解得， 易知函数的图象在上关于直线对称， 因为且，所以， 则. （3）由（1）可知， 设． 在上有且仅有两个零点， ∴方程在时有且仅有两个实根， 由，得或， ∴方程的正根从小到大排列分别是， ，解得， ∴实数的取值范围为． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，求证四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理求证； （2）以为原点建系，设，再计算两个平面的法向量，根据面面角求出，再利用向量计算点到面的距离即可. 【详解】（1）取的中点，连接，. 因为是的中点，所以，， 又因为，，所以，， 可知四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，故平面 （2）在平面内过点作垂直于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以，， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则. 又平面的一个法向量为， 所以平面与平面所成角的余弦值为， 解得，则平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 18．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用联立方程组就可求得交点坐标即可； （2）利用（1）的解题思想，得到递推关系，再证明即可； （3）转化为证明，再利用等差数列性质和点在抛物线上即可证明. 【详解】（1）    点代入抛物线中，得，则抛物线方程为. 过点且斜率为4的直线方程为，与C的方程联立，消去x， 或，则当时，，即. 过点且斜率为的直线方程为， 与C的方程联立，消去x，，解得或， 则当时，，即. （2）由题意知，，， 过点且斜率为k的直线的方程为：， 与C的方程联立，消去x，化简得. 由根与系数的关系可得. 过点且斜率为的直线的方程为：， 与C的方程联立，消去x，化简得 由根与系数的关系可得. 则 化简得，即 所以数列是公差为的等差数列. （3）要证，即证与面积相等. 即证点到的距离与点到的距离相等， 即证，即证， 又因为， 由（2）可知是公差为的等差数列，点在曲线上， 所以，即可得，则可知是公差为的等差数列， 即是公差为的等差数列. 所以由等差数列的性质，所以，得证 19．(1)具有性质不具有性质，理由见解析； (2)2026个； (3). 【分析】（1）利用给定的定义直接分析判断即可. （2）利用函数具有性质的定义，赋值计算即得的值，进而求出，再借助二倍角的正弦公式求出的零点，结合给定区间求出零点个数. （3）由（2）结合三角函数图象变换求出，探讨在区间上的性质，再利用零点的意义转化为直线与函数的图象交点问题求解. 【详解】（1）函数具有性质不具有性质，说明如下： ，， 对任意，都有，所以具有性质； ，， 所以不具有性质. （2）由函数具有性质，得，即， 而，则，， 若，不妨设，由， 得，只要充分大时，将大于1， 而的值域为，则上述等式不可能成立，因此必有成立，即， 又，即，则，解得， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 令，即， ①当时，，即， 得或，得或； ②当时，，即，而，无解， 因此的解为，在内，，共2026个零点. （3）函数，由，得，函数在上递增， 函数值从增大到8，在上递减，函数值从8减小到，函数的图象如图： 令，即， 解得或，由在上有3个零点，得在上 方程有2个不同的实根，有1个实根 或有1个实根，有2个不同的实根， 因此或，解得或， 所以的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $