8.3 第2课时 实数的性质及运算导学案--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 8.3 第2课时 实数的性质及运算 【学习目标】平方根 导学案（教学过程） 本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能区分平方根与算术平方根，培养学生的数感和逻辑推理能力，教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展提升—总结收获”五个环节展开，注重师生互动、分层教学，突出知识性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“什么是乘方运算？”，引导学生回忆乘方的定义——求n个相同因数积的运算叫做乘方，随后板书简单例题：$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$、$$3^2=9$$、$$0^2=0$$，让学生快速计算并回答，唤醒旧知。2. 情境导入：结合板书提问“已知一个数的平方是4，这个数是多少？”，引导学生发现有两个数（2和-2）的平方等于4，进而引出本节课主题——平方根，明确本节课学习任务：理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根计算问题。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究，注重概念讲解、实例分析和易错点强调，贴合七年级学生认知特点。 1. 平方根定义探究：结合复习题中的$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$，讲解“如果一个数x的平方等于a（即$$x^2=a$$），那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）”，强调定义中的关键：x是a的平方根，必须满足$$x^2=a$$，并举例说明：因为$$3^2=9$$、$$(-3)^2=9$$，所以3和-3都是9的平方根；因为$$0^2=0$$，所以0的平方根是0。 2. 平方根的表示方法：讲解平方根的规范表示——正数a的平方根记为$$\pm\sqrt{a}$$，其中$$\sqrt{a}$$叫做a的算术平方根（算术平方根是正数a的正的平方根），强调符号含义：“$$\sqrt{}$$”是平方根符号，“±”表示两个平方根（正、负），举例说明：9的平方根记为$$\pm\sqrt{9}=\pm3$$，其中$$\sqrt{9}=3$$是9的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0，即$$\pm\sqrt{0}=0$$。 3. 易错点与注意事项：着重强调三个关键要点：① 正数有两个平方根，它们互为相反数；② 0的平方根只有一个，就是0本身；③ 负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数），结合反例讲解：“-4有没有平方根？”，引导学生思考“没有一个数的平方等于-4，所以-4没有平方根”，避免学生混淆；同时区分“平方根”与“算术平方根”，明确算术平方根是平方根中的正数部分，只有一个，而平方根有两个（正数和负数）。 4. 初步尝试：让学生尝试说出64、25、16的平方根和算术平方根，教师巡视指导，对表述不规范的学生进行个别纠正，完成后邀请2-3名学生发言，师生共同点评，巩固概念和表示方法。 三、实操巩固，强化技能（10分钟） 本环节通过分层练习，让学生巩固平方根的定义、表示方法和求法，提升解题熟练度，兼顾基础和提升。 1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 求下列各数的平方根：100、$$\frac{1}{4}$$、0.09；② 求下列各数的算术平方根：36、81、0.16；③ 判断下列说法是否正确，错误的请改正：a. 5的平方根是$$\sqrt{5}$$；b. 0的算术平方根是0；c. -9有两个平方根。教师巡视，检查学生解题过程和格式，及时纠正错误，确保基础技能落实。 2. 提升练习：给出题目：① 若一个数的平方根是$$\pm5$$，求这个数；② 若$$\sqrt{x}=3$$，求x的值；③ 比较$$\sqrt{10}$$与3的大小（提示：结合算术平方根的定义，$$3=\sqrt{9}$$），引导学生思考逆向思维和简单的大小比较方法，培养逻辑推理能力。 3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸，小组内合作完成练习，互相检查解题过程，纠正错误，讨论易错点，教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。 四、拓展应用，深化理解（10分钟） 本环节将平方根知识与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，深化对概念的理解。 1. 实例应用：展示实际问题：一个正方形花坛的面积是25平方米，求这个正方形花坛的边长。引导学生思考：正方形的面积=边长×边长，设边长为x米，则$$x^2=25$$，所以x是25的平方根，又因为边长是正数，所以x是25的算术平方根，即$$x=\sqrt{25}=5$$，讲解解题思路，让学生明白平方根在实际问题中的应用，强调实际问题中需结合题意取舍平方根（取正数）。 2. 拓展思考：提问“若一个数的算术平方根是它本身，这个数是多少？”，引导学生自主思考、讨论，得出答案（0和1），并说明理由：$$\sqrt{0}=0$$，$$\sqrt{1}=1$$，培养学生的逆向思维和深度思考能力。 3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和思路，师生共同评价，肯定优点，指出不足，对思路清晰、方法正确的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么？”，让学生自主发言，梳理平方根的定义、表示方法、注意事项和求法，明确平方根与算术平方根的区别和联系，强调易错点（负数没有平方根、算术平方根是正数）。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调“求一个数的平方根，关键是找到一个数，使其平方等于这个数”，区分“平方根”与“算术平方根”的核心差异——正数的平方根有两个，算术平方根只有一个（正的），鼓励学生课后多练习，熟练掌握解题方法，将数学知识与生活实际结合起来。 3. 布置作业：让学生课后巩固平方根的知识，完成基础计算题（求各数的平方根和算术平方根），并解决1道实际应用题（如正方形面积求边长），下节课上台展示解题过程，进一步强化技能，深化对概念的理解。 整个教学过程注重知识性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根相关问题，同时培养学生的逻辑推理能力和合作意识。 1. 了解实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，会求一个数的相反数、绝对值. 2. 清楚有理数的运算法则和运算律在实数范围仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算. 3. 会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算. 4. 增强独立思考、合作探究的能力，进一步利用类比的方法探究实数的性质. 【学习重点】实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，利用实数的运算法则、运算律进行正确运算. 【学习难点】利用实数的运算法则、运算律进行正确运算. 【自主学习】 有理数中的几个重要概念： ①相反数： ②绝对值： ③倒数： 思考：无理数也有相反数吗？如果有怎么表示？有绝对值吗？如果有怎么表示？有倒数吗？如果有又该怎么表示？ 【合作探究】 探究点一、实数的性质 填一填： (1) 的相反数是_______；－π的相反数是_______；0的相反数是_______； (2) ||＝______；|－π |＝_____；| 0 |＝_____. (3) －5 的倒数为_____. 根据填空的内容，你能得出什么结论? 要点归纳 1. 若 a是一个实数，则实数a的相反数为－a. 2. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.即设 a 表示一个实数，当a＞0时 ，则|a|=a，当a＝0时；|a|=0；当a＜0时.|a|=－a， 一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离. 3.若 a 是一个非零实数，则 a 的倒数为 . 【典型例题】 例1 (1)分别写出－，π－3.14 的相反数； (2) 指出 － ，1－ 分别是什么数的相反数； (3) 求 的绝对值； (4) 已知一个数的绝对值是，求这个数. 【练一练】1. 分别求出下列各数(式)的相反数和绝对值： (1) ； (2) ； (3) － . 2. 已知|a|=，则a的值为 ______. 探究点二、实数的运算 思考：根据实数的性质试着完成下列各题，并猜想有理数中学过的运算法则及运算律对实数是否适用? 填空：设 a，b，c 是任意实数，则 （1）a + b =_________（加法交换律）； （2）(a + b) + c =_________（加法结合律）； （3）a + 0 = 0 + a =_________； （4）a + (－a) = (－a) + a =_________； （5）ab =_________（乘法交换律）； （6）(ab)c =_________（乘法结合律）； （7） 1 · a = a · 1 =_________； （8）a(b + c) =_________（乘法对于加法的分配律）， (b + c)a =_________（乘法对于加法的分配律）； （9）实数的减法运算规定为 a － b = a +_________ ； （10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足 a · b = b · a = 1，我们把b叫作a的＿＿＿； （11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b= a ·_____ ； （12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0， 那么 ab＿＿0. 归纳总结：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 实数的运算顺序：(1) 先算乘方、开方；(2) 再算乘除，最后算加减；(3) 如果遇到括号，先进行括号里的运算. 【典型例题】 例2 计算下列各式的值： （1）（）－ ； （2） 【练一练】 3. 计算下列各式： (1) 2＋3－5－3； (2)|1－|＋|－|； (3) －(＋)＋. 【典型例题】 例3 计算(结果保留小数点后两位)： (1) －； (2) π·. 【练一练】 4 计算 (结果保留小数点后两位)： (1) +π； (2) × 例4 如图，小明将一个小正方形 ABCD 和一个大正方形 CEFG 拼在了一起，其中小正方形的面积为 2 dm²，大正方形的面积为 3 dm²，请问这两个正方形的边长之和是多少? (结果保留两位小数) 课堂检测 1. － 的相反数为(　　) A. B. C.3 D.-3 2.实数－的绝对值是(　　) A.5 B. C.D.- D. 3.的倒数是(　　) A. 2 B. －2 C. D. － 4. 如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论正确的是(　　) A. a＞b B.｜a｜＞｜b｜ C.－a＜b D. a＋b＜0 5. 计算： (1)－5； (2)｜3－π｜＋； (3)＋｜－2｜－. 6. 已知x＋7的平方根是±3，2x－y－13的立方根是－2，求5x－6y的算术平方根. 参考答案 【自主学习】 ①相反数：只有符号不同的两个数互为相反数； ②绝对值：数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫作数 a 的绝对值，用 | a | 来表示. ③倒数：如果两个数的积是1，那么这两个数互为倒数. 【合作探究】 探究点一、实数的性质 填一填 （1） π 0 （2） π 0 （3） − 【典型例题】 例1 (1) ，3.14－π (2) ， －1 (3) 4 （4） 或 【练一练】1.(1) 相反数-15 绝对值15 (2)相反数 ；绝对值 (3) 相反数 绝对值 . 2. ±. 探究点二、实数的运算 （1）b + a；（2）a + (b + c)；（3）a （4）0；（5）ba；（6）a(bc)；（7） a； （8）ab + ac，ba + ca ；（9）(-b)；（10）倒数;（11） ；（12）≠. 【典型例题】 例2 5. 练一练 3. （1）－3 （2）－1 （3） 5 例3 (1) － ≈ 2.236－2.646 ＝－0.41； (2) π· ≈3.142×1.442≈4.53. 【练一练】 4 (1) +π ≈2.236+3.142≈5.38 (2) × ≈1.732×1.141≈2.45 例4 解：因为小正方形的面积为 2 dm2，所以小正方形的边长 BC 为 dm. 因为大正方形的面积为 3 dm²，所以大正方形的边长 CG 为 dm. 所以边长之和为：BC＋CG＝ ＋≈1.414＋1.732 ≈ 3.15 dm. 课堂检测 1. A 2. B 3. C 4. C 5.(1)解：原式＝2－5＝－3. (2)解：原式＝π－3＋4－π＝1. 解：原式＝－3＋2－ － ＝－ － . 6.解：因为x＋7的平方根是±3，所以x＋7＝(±3)2＝9，解得x＝2.因为2x－y－13的立方根是－2，所以2x－y－13＝(－2)3＝－8.即2×2－y－13＝－8，解得y＝－1.所以5x－6y＝5×2－6×(－1)＝16.则5x－6y的算术平方根为 ＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $