8.3 第2课时 实数的性质及运算导学案--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数  

8.3 第2课时  实数的性质及运算

【学习目标】

1. 了解实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，会求一个数的相反数、绝对值.

2. 清楚有理数的运算法则和运算律在实数范围仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算.

3. 会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算.

4. 增强独立思考、合作探究的能力，进一步利用类比的方法探究实数的性质.

【学习重点】实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，利用实数的运算法则、运算律进行正确运算.

【学习难点】利用实数的运算法则、运算律进行正确运算.

【自主学习】

有理数中的几个重要概念：

①相反数：

②绝对值：

③倒数：

思考：无理数也有相反数吗？如果有怎么表示？有绝对值吗？如果有怎么表示？有倒数吗？如果有又该怎么表示？

 

【合作探究】

探究点一、实数的性质

填一填：

 

 

(1)  的相反数是_______；－π的相反数是_______；0的相反数是_______；

(2)  ||＝______；|－π |＝_____；| 0 |＝_____.

(3)  －5 的倒数为_____.

根据填空的内容，你能得出什么结论?

 

要点归纳

1. 若 a是一个实数，则实数a的相反数为－a.

2. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.即设 a 表示一个实数，当a＞0时 ，则|a|=a，当a＝0时；|a|=0；当a＜0时.|a|=－a，

一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离.

3.若 a 是一个非零实数，则 a 的倒数为 .

 

【典型例题】

例1 (1)分别写出－，π－3.14 的相反数；

 

(2) 指出 － ，1－ 分别是什么数的相反数；

 

(3) 求 的绝对值；

 

(4) 已知一个数的绝对值是，求这个数.

 

 

【练一练】1. 分别求出下列各数(式)的相反数和绝对值：

(1) ；           (2) ；         (3) － .

 

2. 已知|a|=，则a的值为 ______.

 

探究点二、实数的运算

思考：根据实数的性质试着完成下列各题，并猜想有理数中学过的运算法则及运算律对实数是否适用?

填空：设 a，b，c 是任意实数，则

（1）a + b =_________（加法交换律）；

（2）(a + b) + c =_________（加法结合律）；

（3）a + 0 = 0 + a =_________；

（4）a + (－a) = (－a) + a =_________；

（5）ab =_________（乘法交换律）；

（6）(ab)c =_________（乘法结合律）；

（7） 1 · a = a · 1 =_________；

（8）a(b + c) =_________（乘法对于加法的分配律），

    (b + c)a =_________（乘法对于加法的分配律）；

（9）实数的减法运算规定为 a － b = a +_________ ；

（10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足 a · b = b · a = 1，我们把b叫作a的＿＿＿；

（11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b= a ·_____ ；

（12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0， 那么 ab＿＿0.

归纳总结：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

实数的运算顺序：(1) 先算乘方、开方；(2) 再算乘除，最后算加减；(3) 如果遇到括号，先进行括号里的运算.

【典型例题】

例2 计算下列各式的值：

（1）（）－ ；         （2）

 

 

【练一练】

3. 计算下列各式：

(1) 2＋3－5－3；

 

 

(2)|1－|＋|－|；

 

 

(3) －(＋)＋.

 

 

 

【典型例题】

例3 计算(结果保留小数点后两位)：

(1) －；           (2) π·.

 

 

【练一练】

4 计算 (结果保留小数点后两位)：

(1) +π；           (2) ×

 

 

 

例4 如图，小明将一个小正方形 ABCD 和一个大正方形 CEFG 拼在了一起，其中小正方形的面积为 2 dm²，大正方形的面积为 3 dm²，请问这两个正方形的边长之和是多少? (结果保留两位小数)