8.3 第1课时 实数 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册
第八章 实数
【学习目标】
1. 经历无理数的探究过程，了解无理数和实数的概念，会把实数进行分类.
2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.
3. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【学习重点】对实数按照一定的标准进行分类,用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小.
【学习难点】用数轴上的点表示实数,并比较实数的大小.
【自主学习】
(1)什么是有理数? 有理数包括哪些类别?
(2) 什么是无限不循环小数? 我们接触的最常见的无限不循环小数有哪些?
展示视频“万物皆数”,了解无理数的起源.
【合作探究】
探究点一：无理数和实数的概念及实数分类
计算：把下列有理数写成小数的形式：
4= ____ 
= ____ −
= ____
= ____ 
= ____ 
= ____
思考 1：观察运算结果，请问你有什么发现? 请同学们自主讨论得出自己的结论.
思考 2：像 
这样的无限不循环小数属于有理数吗?为什么?
思考 3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材P52说说它属于哪一类数?
【知识要点】 类比有理数，我们将无限不循环小数叫作________.
无理数的 3 种常见的表现形式有：
(1) 构造型的无限不循环小数 【如 0.301 001 0001···（每相邻两个1之间依次增加1个0)】 ；
(2) 具有特定意义的数(如 π)；
(3) 含有根号且被开方数不能被开尽的数(如 
).
我们将有理数和无理数统称为实数.
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思考 4：类比有理数的分类，你能给实数分类吗?
因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？
【典型例题】例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
，0，
，
0.252252225…(相邻两个5之间依次增加一个2)
无理数：{ }
有理数：{ }
正实数：{ }
负实数：{ }
【练一练】
1.下列说法中，正确的是（ ）.
A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数
C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数
2.有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为 81 时，输出的y是（ ）.
A. 9 B.
C.3 D.
探究点二、实数与数轴上的点
演示1：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于 π. 如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少?
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思考 1： 点O′ 对应的数是多少?
思考 2： 点O′ 对应的数在数轴上的位置说明了什么?
演示2：你能在数轴上表示出
和-吗？
两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼 得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为_______，从而说明边长为1的小正方形的对角线长为____.
结合两个演示思考下面的问题:
(1)回顾有理数在数轴上的表示，π， 与 － 在数轴上的对应位置说明了什么?
归纳小结：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
(2) 通过上述探究，比较 π，－ ，，0，1，2，3 的大小，并说明如何比较实数的大小.
要点归纳
要点 1：实数和数轴上的点是一一对应的.
要点 2：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
要点 3：(1)正数大于零，负数小于零，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的数较大；(3)两个负数，绝对值大的数反而小.
【典型例题】
例2 在数轴上表示下列各数，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
1， ，－，π ，－
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