8.3 第1课时 实数 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 8.3 第1课时 实数 【学习目标】 1. 经历无理数的探究过程，了解无理数和实数的概念，会把实数进行分类. 2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小. 3. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 【学习重点】对实数按照一定的标准进行分类,用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小. 【学习难点】用数轴上的点表示实数,并比较实数的大小. 【自主学习】 (1)什么是有理数? 有理数包括哪些类别? (2) 什么是无限不循环小数? 我们接触的最常见的无限不循环小数有哪些? 展示视频“万物皆数”,了解无理数的起源. 【合作探究】 探究点一：无理数和实数的概念及实数分类 计算：把下列有理数写成小数的形式： 4= ____ = ____ −= ____ = ____ = ____ = ____ 思考 1：观察运算结果，请问你有什么发现? 请同学们自主讨论得出自己的结论. 思考 2：像 这样的无限不循环小数属于有理数吗?为什么? 思考 3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材P52说说它属于哪一类数? 平方根 导学案（教学过程） 本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能区分平方根与算术平方根，培养学生的数感和逻辑推理能力，教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展提升—总结收获”五个环节展开，注重师生互动、分层教学，突出知识性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“什么是乘方运算？”，引导学生回忆乘方的定义——求n个相同因数积的运算叫做乘方，随后板书简单例题：$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$、$$3^2=9$$、$$0^2=0$$，让学生快速计算并回答，唤醒旧知。2. 情境导入：结合板书提问“已知一个数的平方是4，这个数是多少？”，引导学生发现有两个数（2和-2）的平方等于4，进而引出本节课主题——平方根，明确本节课学习任务：理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根计算问题。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究，注重概念讲解、实例分析和易错点强调，贴合七年级学生认知特点。 1. 平方根定义探究：结合复习题中的$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$，讲解“如果一个数x的平方等于a（即$$x^2=a$$），那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）”，强调定义中的关键：x是a的平方根，必须满足$$x^2=a$$，并举例说明：因为$$3^2=9$$、$$(-3)^2=9$$，所以3和-3都是9的平方根；因为$$0^2=0$$，所以0的平方根是0。 2. 平方根的表示方法：讲解平方根的规范表示——正数a的平方根记为$$\pm\sqrt{a}$$，其中$$\sqrt{a}$$叫做a的算术平方根（算术平方根是正数a的正的平方根），强调符号含义：“$$\sqrt{}$$”是平方根符号，“±”表示两个平方根（正、负），举例说明：9的平方根记为$$\pm\sqrt{9}=\pm3$$，其中$$\sqrt{9}=3$$是9的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0，即$$\pm\sqrt{0}=0$$。 3. 易错点与注意事项：着重强调三个关键要点：① 正数有两个平方根，它们互为相反数；② 0的平方根只有一个，就是0本身；③ 负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数），结合反例讲解：“-4有没有平方根？”，引导学生思考“没有一个数的平方等于-4，所以-4没有平方根”，避免学生混淆；同时区分“平方根”与“算术平方根”，明确算术平方根是平方根中的正数部分，只有一个，而平方根有两个（正数和负数）。 4. 初步尝试：让学生尝试说出64、25、16的平方根和算术平方根，教师巡视指导，对表述不规范的学生进行个别纠正，完成后邀请2-3名学生发言，师生共同点评，巩固概念和表示方法。 三、实操巩固，强化技能（10分钟） 本环节通过分层练习，让学生巩固平方根的定义、表示方法和求法，提升解题熟练度，兼顾基础和提升。 1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 求下列各数的平方根：100、$$\frac{1}{4}$$、0.09；② 求下列各数的算术平方根：36、81、0.16；③ 判断下列说法是否正确，错误的请改正：a. 5的平方根是$$\sqrt{5}$$；b. 0的算术平方根是0；c. -9有两个平方根。教师巡视，检查学生解题过程和格式，及时纠正错误，确保基础技能落实。 2. 提升练习：给出题目：① 若一个数的平方根是$$\pm5$$，求这个数；② 若$$\sqrt{x}=3$$，求x的值；③ 比较$$\sqrt{10}$$与3的大小（提示：结合算术平方根的定义，$$3=\sqrt{9}$$），引导学生思考逆向思维和简单的大小比较方法，培养逻辑推理能力。 3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸，小组内合作完成练习，互相检查解题过程，纠正错误，讨论易错点，教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。 四、拓展应用，深化理解（10分钟） 本环节将平方根知识与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，深化对概念的理解。 1. 实例应用：展示实际问题：一个正方形花坛的面积是25平方米，求这个正方形花坛的边长。引导学生思考：正方形的面积=边长×边长，设边长为x米，则$$x^2=25$$，所以x是25的平方根，又因为边长是正数，所以x是25的算术平方根，即$$x=\sqrt{25}=5$$，讲解解题思路，让学生明白平方根在实际问题中的应用，强调实际问题中需结合题意取舍平方根（取正数）。 2. 拓展思考：提问“若一个数的算术平方根是它本身，这个数是多少？”，引导学生自主思考、讨论，得出答案（0和1），并说明理由：$$\sqrt{0}=0$$，$$\sqrt{1}=1$$，培养学生的逆向思维和深度思考能力。 3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和思路，师生共同评价，肯定优点，指出不足，对思路清晰、方法正确的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么？”，让学生自主发言，梳理平方根的定义、表示方法、注意事项和求法，明确平方根与算术平方根的区别和联系，强调易错点（负数没有平方根、算术平方根是正数）。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调“求一个数的平方根，关键是找到一个数，使其平方等于这个数”，区分“平方根”与“算术平方根”的核心差异——正数的平方根有两个，算术平方根只有一个（正的），鼓励学生课后多练习，熟练掌握解题方法，将数学知识与生活实际结合起来。 3. 布置作业：让学生课后巩固平方根的知识，完成基础计算题（求各数的平方根和算术平方根），并解决1道实际应用题（如正方形面积求边长），下节课上台展示解题过程，进一步强化技能，深化对概念的理解。 整个教学过程注重知识性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根相关问题，同时培养学生的逻辑推理能力和合作意识。 【知识要点】 类比有理数，我们将无限不循环小数叫作________. 无理数的 3 种常见的表现形式有： (1) 构造型的无限不循环小数 【如 0.301 001 0001···（每相邻两个1之间依次增加1个0)】 ； (2) 具有特定意义的数(如 π)； (3) 含有根号且被开方数不能被开尽的数(如 ). 我们将有理数和无理数统称为实数. 思考 4：类比有理数的分类，你能给实数分类吗? 因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？ 【典型例题】例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内： ，0，， 0.252252225…(相邻两个5之间依次增加一个2) 无理数：{ } 有理数：{ } 正实数：{ } 负实数：{ } 【练一练】 1.下列说法中，正确的是（ ）. A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数 2.有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为 81 时，输出的y是（ ）. A. 9 B. C.3 D. 探究点二、实数与数轴上的点 演示1：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于 π. 如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少? 思考 1： 点O′ 对应的数是多少? 思考 2： 点O′ 对应的数在数轴上的位置说明了什么? 演示2：你能在数轴上表示出和-吗？ 两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼 得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为_______，从而说明边长为1的小正方形的对角线长为____. 结合两个演示思考下面的问题: (1)回顾有理数在数轴上的表示，π， 与 － 在数轴上的对应位置说明了什么? 归纳小结：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. (2) 通过上述探究，比较 π，－ ，，0，1，2，3 的大小，并说明如何比较实数的大小. 要点归纳 要点 1：实数和数轴上的点是一一对应的. 要点 2：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 要点 3：(1)正数大于零，负数小于零，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的数较大；(3)两个负数，绝对值大的数反而小. 【典型例题】 例2 在数轴上表示下列各数，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们. 1， ，－，π ，－ 【练一练】3.如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有(　　) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 例3 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数． 课堂检测 1. 下列实数中，是无理数的是(　　) A. 0.2 B. C. D.－5 2. 下列各数：3.14159，π，，0.131131113…(相邻的两个3之间依次多一个1)，－，－ ，其中无理数有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 下列说法中错误的是(　　) A. 是有理数 B. 是无理数 C. 是有理数 D. 是分数 4. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有_______个. 5. 把下列各数填入相应的集合内： - ，－ ， ， ， ，0，π，－ 1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1). ①有理数集合：{ }. ②无理数集合：{ }. ③整数集合：{ }. ④分数集合：{ }. ⑤正实数集合：{ }. ⑥负实数集合：{ }. 参考答案 【自主学习】 (1)可以写成分数形式的数是有理数，包括整数和分数. (2)无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复.我们接触的最常见的无限不循环小数有 ，π等. 【合作探究】 探究点一、无理数和实数的概念及实数分类 计算 2.5 −0.6 6.75 1.222… 0.8181… 思考1 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 思考2 不属于，因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数.√2不能化成有限小数或无限循环小数，所以√2不属于有理数. 思考3 无理数 知识要点 无理数 思考4 【典型例题】 例1 无理数：{ ， ， ， ，0.252252225… } 有理数：{ ， ， ，0，， } 正实数：{ ， ， ， ， ，0.252252225… } 负实数：{ } 【练一练】 1.C 2.D 探究点二、实数与数轴上的点 问题1 π 问题2 无理数π可以在数轴上表示 演示2 （1）无理数也可以在数轴上表示出来 （2）－＜0＜1＜＜2＜3＜π，可以根据实数在数轴上对应的位置关系比较大小 【典型例题】例2 －＜－＜1＜＜π 【练一练】3.C 例3 解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和，所以点 B 到点 A 的距离为1＋，则点C到点A的距离为1＋.设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点C的距离为－1－x，所以－1－x＝1＋，所以 x ＝－2－. 课堂检测 1. C 2. B 3. D 4. 3 5. 把下列各数填入相应的集合内： - ，－ ， ， ， ，0，π，－ 1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1). ①有理数集合：{ - , ， ，0，－ }. ②无理数集合：{ － ， ，π，1.2020020002… }. ③整数集合：{ ，0， }. ④分数集合：{ - ， ， － }. ⑤正实数集合：{ ， ， ，π，1.2020020002… }. ⑥负实数集合：{- ，－ ，－ ，}. 学科网（北京）股份有限公司 $