8.2 第2课时　立方根的性质及计算导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 8.2 第2课时　立方根的性质及计算 【学习目标】 1. 能用有理数估计一个开立方不能开尽的数的立方根的大致范围，形成估算的意识，培养估算能力. 2. 经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力. 3. 体会数学与实际生活的紧密联系，培养善于发现问题和提出问题的习惯. 【学习重点】会用根号表示立方根，求千以内的完全立方数的立方根. 【学习难点】求千以内的完全立方数的立方根. 【自主学习】 某化工厂使用半径为 1 米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的 8 倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？ 平方根 导学案（教学过程） 本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能区分平方根与算术平方根，培养学生的数感和逻辑推理能力，教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展提升—总结收获”五个环节展开，注重师生互动、分层教学，突出知识性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“什么是乘方运算？”，引导学生回忆乘方的定义——求n个相同因数积的运算叫做乘方，随后板书简单例题：$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$、$$3^2=9$$、$$0^2=0$$，让学生快速计算并回答，唤醒旧知。2. 情境导入：结合板书提问“已知一个数的平方是4，这个数是多少？”，引导学生发现有两个数（2和-2）的平方等于4，进而引出本节课主题——平方根，明确本节课学习任务：理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根计算问题。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究，注重概念讲解、实例分析和易错点强调，贴合七年级学生认知特点。 1. 平方根定义探究：结合复习题中的$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$，讲解“如果一个数x的平方等于a（即$$x^2=a$$），那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）”，强调定义中的关键：x是a的平方根，必须满足$$x^2=a$$，并举例说明：因为$$3^2=9$$、$$(-3)^2=9$$，所以3和-3都是9的平方根；因为$$0^2=0$$，所以0的平方根是0。 2. 平方根的表示方法：讲解平方根的规范表示——正数a的平方根记为$$\pm\sqrt{a}$$，其中$$\sqrt{a}$$叫做a的算术平方根（算术平方根是正数a的正的平方根），强调符号含义：“$$\sqrt{}$$”是平方根符号，“±”表示两个平方根（正、负），举例说明：9的平方根记为$$\pm\sqrt{9}=\pm3$$，其中$$\sqrt{9}=3$$是9的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0，即$$\pm\sqrt{0}=0$$。 3. 易错点与注意事项：着重强调三个关键要点：① 正数有两个平方根，它们互为相反数；② 0的平方根只有一个，就是0本身；③ 负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数），结合反例讲解：“-4有没有平方根？”，引导学生思考“没有一个数的平方等于-4，所以-4没有平方根”，避免学生混淆；同时区分“平方根”与“算术平方根”，明确算术平方根是平方根中的正数部分，只有一个，而平方根有两个（正数和负数）。 4. 初步尝试：让学生尝试说出64、25、16的平方根和算术平方根，教师巡视指导，对表述不规范的学生进行个别纠正，完成后邀请2-3名学生发言，师生共同点评，巩固概念和表示方法。 三、实操巩固，强化技能（10分钟） 本环节通过分层练习，让学生巩固平方根的定义、表示方法和求法，提升解题熟练度，兼顾基础和提升。 1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 求下列各数的平方根：100、$$\frac{1}{4}$$、0.09；② 求下列各数的算术平方根：36、81、0.16；③ 判断下列说法是否正确，错误的请改正：a. 5的平方根是$$\sqrt{5}$$；b. 0的算术平方根是0；c. -9有两个平方根。教师巡视，检查学生解题过程和格式，及时纠正错误，确保基础技能落实。 2. 提升练习：给出题目：① 若一个数的平方根是$$\pm5$$，求这个数；② 若$$\sqrt{x}=3$$，求x的值；③ 比较$$\sqrt{10}$$与3的大小（提示：结合算术平方根的定义，$$3=\sqrt{9}$$），引导学生思考逆向思维和简单的大小比较方法，培养逻辑推理能力。 3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸，小组内合作完成练习，互相检查解题过程，纠正错误，讨论易错点，教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。 四、拓展应用，深化理解（10分钟） 本环节将平方根知识与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，深化对概念的理解。 1. 实例应用：展示实际问题：一个正方形花坛的面积是25平方米，求这个正方形花坛的边长。引导学生思考：正方形的面积=边长×边长，设边长为x米，则$$x^2=25$$，所以x是25的平方根，又因为边长是正数，所以x是25的算术平方根，即$$x=\sqrt{25}=5$$，讲解解题思路，让学生明白平方根在实际问题中的应用，强调实际问题中需结合题意取舍平方根（取正数）。 2. 拓展思考：提问“若一个数的算术平方根是它本身，这个数是多少？”，引导学生自主思考、讨论，得出答案（0和1），并说明理由：$$\sqrt{0}=0$$，$$\sqrt{1}=1$$，培养学生的逆向思维和深度思考能力。 3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和思路，师生共同评价，肯定优点，指出不足，对思路清晰、方法正确的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么？”，让学生自主发言，梳理平方根的定义、表示方法、注意事项和求法，明确平方根与算术平方根的区别和联系，强调易错点（负数没有平方根、算术平方根是正数）。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调“求一个数的平方根，关键是找到一个数，使其平方等于这个数”，区分“平方根”与“算术平方根”的核心差异——正数的平方根有两个，算术平方根只有一个（正的），鼓励学生课后多练习，熟练掌握解题方法，将数学知识与生活实际结合起来。 3. 布置作业：让学生课后巩固平方根的知识，完成基础计算题（求各数的平方根和算术平方根），并解决1道实际应用题（如正方形面积求边长），下节课上台展示解题过程，进一步强化技能，深化对概念的理解。 整个教学过程注重知识性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根相关问题，同时培养学生的逻辑推理能力和合作意识。 【合作探究】 探究点一：互为相反数的两个数的立方根的关系 计算：(1)因为 =____， =____，所以 ___ − ； (2)因为 =___， = ____ , ___ − (3)因为 =___， =____，所以 ___ − 思考：(1)各题中被开方数有什么关系? (2)这些数的立方根有什么关系? (3) 根据计算结果，可以得到什么初步结论? 讨论：(1) 表示 a 的立方根，那么 ())³ 等于什么? 等于什么? (2) 与 有什么关系? 要点归纳： 结论 1：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即______________. 结论2：“先开立方，再立方”与“先立方，再开立方”的结果相等，都等于原数，即_______________. 【典型例题】 例1 求下列各式的值: (1) ； (2) −； (3) . 【练一练】 1.的算术平方根是_________. 2. 若 与 的值互为相反数，则 x/y 的值为_____. 探究点二：利用计算器求立方根 由于一个数的立方根可能是无限不循环小数，所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值. 【典型例题】 例2 用计算器求下列各数的立方根：2197，3. 用计算器计算: (1) ＝_______， ＝_______，＝_______ . (2) ＝_______， ＝_______， ＝_______，＝_______， 观察题(2)中的式子，你能发现什么规律? 用计算器计算 (结果保留小数点后三位)，并利用你发现的规律求出，，的近似值. 【典型例题】例3 若 ≈ 0.6694，则 ≈ _______. 变式：已知 ≈ 1.26， ≈12.6，用含 n 的式子表示 m. . 课堂检测 1.估算的值在(　　) A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2.计算： (1)＝　 　； (2)＝　 　； (3)－＝　　. 3.若≈2.872，≈28.72，则x＝　 　. 4.计算(可以使用计算器)： (1)(结果精确到0.01)； (2)(结果精确到个位). 参考答案 【合作探究】 探究点一：互为相反数的两个数的立方根的关系 计算 （1）–2 –2 = （2）–3 3 = （3）–4 4 = 思考：(1)互为相反数. (2)互为相反数. (3)互为相反数的两个数的立方根也互为相反数. 讨论 （1）(1) ＝ a，( )³＝ a.（2）相等 要点归纳 ＝ − ()³＝ ＝ 【典型例题】例1 −8 0.1 −4 【练一练】 2 2/3 探究点二、 【典型例题】例2 11 7 0.8 0.06 0.6 6 60 例3 6.694 变式训练 1000n 课堂检测 1.　A　 2.(1)　－　； (2)－4　； (3)　6　. 3.　23700　. 4.解：(1)≈2.39. (2)≈171. 学科网（北京）股份有限公司 $