8.1 第3课时 算术平方根的估算及其大小比较 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 8.1 第3课时 算术平方根的估算及其大小比较平方根 导学案（教学过程） 本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能区分平方根与算术平方根，培养学生的数感和逻辑推理能力，教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展提升—总结收获”五个环节展开，注重师生互动、分层教学，突出知识性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“什么是乘方运算？”，引导学生回忆乘方的定义——求n个相同因数积的运算叫做乘方，随后板书简单例题：$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$、$$3^2=9$$、$$0^2=0$$，让学生快速计算并回答，唤醒旧知。2. 情境导入：结合板书提问“已知一个数的平方是4，这个数是多少？”，引导学生发现有两个数（2和-2）的平方等于4，进而引出本节课主题——平方根，明确本节课学习任务：理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根计算问题。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究，注重概念讲解、实例分析和易错点强调，贴合七年级学生认知特点。 1. 平方根定义探究：结合复习题中的$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$，讲解“如果一个数x的平方等于a（即$$x^2=a$$），那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）”，强调定义中的关键：x是a的平方根，必须满足$$x^2=a$$，并举例说明：因为$$3^2=9$$、$$(-3)^2=9$$，所以3和-3都是9的平方根；因为$$0^2=0$$，所以0的平方根是0。 2. 平方根的表示方法：讲解平方根的规范表示——正数a的平方根记为$$\pm\sqrt{a}$$，其中$$\sqrt{a}$$叫做a的算术平方根（算术平方根是正数a的正的平方根），强调符号含义：“$$\sqrt{}$$”是平方根符号，“±”表示两个平方根（正、负），举例说明：9的平方根记为$$\pm\sqrt{9}=\pm3$$，其中$$\sqrt{9}=3$$是9的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0，即$$\pm\sqrt{0}=0$$。 3. 易错点与注意事项：着重强调三个关键要点：① 正数有两个平方根，它们互为相反数；② 0的平方根只有一个，就是0本身；③ 负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数），结合反例讲解：“-4有没有平方根？”，引导学生思考“没有一个数的平方等于-4，所以-4没有平方根”，避免学生混淆；同时区分“平方根”与“算术平方根”，明确算术平方根是平方根中的正数部分，只有一个，而平方根有两个（正数和负数）。 4. 初步尝试：让学生尝试说出64、25、16的平方根和算术平方根，教师巡视指导，对表述不规范的学生进行个别纠正，完成后邀请2-3名学生发言，师生共同点评，巩固概念和表示方法。 三、实操巩固，强化技能（10分钟） 本环节通过分层练习，让学生巩固平方根的定义、表示方法和求法，提升解题熟练度，兼顾基础和提升。 1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 求下列各数的平方根：100、$$\frac{1}{4}$$、0.09；② 求下列各数的算术平方根：36、81、0.16；③ 判断下列说法是否正确，错误的请改正：a. 5的平方根是$$\sqrt{5}$$；b. 0的算术平方根是0；c. -9有两个平方根。教师巡视，检查学生解题过程和格式，及时纠正错误，确保基础技能落实。 2. 提升练习：给出题目：① 若一个数的平方根是$$\pm5$$，求这个数；② 若$$\sqrt{x}=3$$，求x的值；③ 比较$$\sqrt{10}$$与3的大小（提示：结合算术平方根的定义，$$3=\sqrt{9}$$），引导学生思考逆向思维和简单的大小比较方法，培养逻辑推理能力。 3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸，小组内合作完成练习，互相检查解题过程，纠正错误，讨论易错点，教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。 四、拓展应用，深化理解（10分钟） 本环节将平方根知识与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，深化对概念的理解。 1. 实例应用：展示实际问题：一个正方形花坛的面积是25平方米，求这个正方形花坛的边长。引导学生思考：正方形的面积=边长×边长，设边长为x米，则$$x^2=25$$，所以x是25的平方根，又因为边长是正数，所以x是25的算术平方根，即$$x=\sqrt{25}=5$$，讲解解题思路，让学生明白平方根在实际问题中的应用，强调实际问题中需结合题意取舍平方根（取正数）。 2. 拓展思考：提问“若一个数的算术平方根是它本身，这个数是多少？”，引导学生自主思考、讨论，得出答案（0和1），并说明理由：$$\sqrt{0}=0$$，$$\sqrt{1}=1$$，培养学生的逆向思维和深度思考能力。 3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和思路，师生共同评价，肯定优点，指出不足，对思路清晰、方法正确的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么？”，让学生自主发言，梳理平方根的定义、表示方法、注意事项和求法，明确平方根与算术平方根的区别和联系，强调易错点（负数没有平方根、算术平方根是正数）。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调“求一个数的平方根，关键是找到一个数，使其平方等于这个数”，区分“平方根”与“算术平方根”的核心差异——正数的平方根有两个，算术平方根只有一个（正的），鼓励学生课后多练习，熟练掌握解题方法，将数学知识与生活实际结合起来。 3. 布置作业：让学生课后巩固平方根的知识，完成基础计算题（求各数的平方根和算术平方根），并解决1道实际应用题（如正方形面积求边长），下节课上台展示解题过程，进一步强化技能，深化对概念的理解。 整个教学过程注重知识性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根相关问题，同时培养学生的逻辑推理能力和合作意识。 【学习目标】 1. 会用计算器和估算的方法求一个非负数的算术平方根，并借此过程感受无限不循环的概念. 2.能用估算的方法确定无理数的大致范围，通过估算的训练感受其在实际生活中的意义. 【学习重点】能用估算的方法确定无理数的大致范围. 【学习难点】能用估算的方法确定无理数的大致范围. 【自主学习】 可以借用什么工具计算的大小呢？ 【合作探究】 探究点一：用计算器求一个数的算术平方根 探索：用计算器求下列各式的值： (1) = ；(2) = (精确到0.001) . 【合作探究】 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v² = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢? 算术平方根的规律 (1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗? 规律：被开方数的小数点每向右移动______位，它的算术平方根的小数点就向右移动_______位；被开方数的小数点每向左移动_______位，它的算术平方根的小数点就向左移动_______位. (2)用计算器计算(精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 ,, 的近似值. 你能根据的近似值直接得到 的近似值是多少吗? 【练一练】 1. 利用计算器，得 ≈0.2236，≈0.7071，≈2.236， ≈7.071，按此规律，可得的值约为 . 【典型例题】 例1 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗? 分析：可根据长宽之比为 3:2 和边长与面积的关系设方程，得到长方形的长和宽，再与正方形的边长作比较.估计边长的大小可用前面学习的方法. 【练一练】1. (1) 估计与 最接近的两个整数是多少？ (2) 估计与 最接近的一个整数是多少？ 【练一练】2. 比较下列各组数的大小. (1) 与 2.24； (2) 与 0.5； (3) 与 1. 课堂检测 1.依次按键，显示结果是(　　) A.15 B.±15 C.－15 D.25 2.估计的值在(　　) A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 3.下列整数中，与最接近的是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 4.利用计算器计算：2(－1)＋3≈　 　(精确到0.01). 5.通过估算比较下列各组数的大小： (1)与1.9； (2)与1.5. 6.有一个长方形的花坛，长是宽的4倍，其面积为25m2，求该长方形花坛的长和宽各是多少. 参考答案 【合作探究】 探究点一 用计算器求一个数的算术平方根 探索 56 1.414 合作探究 由v² =2gR及v的实际意义，得v=，其中g ≈9.8(单位：m/s2 )，R≈6.4×106(单位：m).用计算器求得v≈ = 1.12×104. 因此，第二宇宙速度v约为 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s. 算术平方根的规律 规律 2 1 2 1 (2)小数点只移动了一位，不符合规律...不能直接得到值. 【练一练】1. 22.36 【典型例题】 例3 解：设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系，得3x·2x = 300， 6x2 = 300，x2 = 50.由边长的实际意义，得 x =.因此长方形纸片的长为 3 cm.因为 50 > 49，所以 > 7.由上可知 3 > 21，即长方形纸片的长应该大于21 cm. 因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片. 【练一练】2 .（1）解：因为 32=9，42=16，所以3 < < 4． （2）3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 .所以最接近的整数是 3 . 3（1）解：(1) 因为 ()2 = 5，2.242 = 5.0176，所以 < 2.24． （2）因为()2 = 5，22 = 4，所以＞2. 所以−1＞1. 所以（−1）/2＞1/2 ，即（−1）/2＞0.5. （3） 因为()2 = 5，32 = 9，所以＜3. 所以−1＜2. 所以 （−1）/2＜2/2 ，即（−1）/2＜1. 课堂检测 1.　A　2.　A　3.B　4.　4.46 5.解：(1)∵5＞4，∴＞，即＞2.∴＞1.9. (2)∵6＞4，∴＞，即＞2，∴＞，即＞1.5. 6.解：设该长方形花坛的宽为xm，则长为4xm. 由题意得4x·x＝25，即x2＝， 解得x＝2.5(负值已舍去)，则4x＝10. 故该长方形花坛的宽为2.5m，长为10m. 学科网（北京）股份有限公司 $