第03讲：组合和组合数【九大大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第03讲：组合和组合数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点二　排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 知识点三　组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 知识点四　组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 【题型归纳】 题型一、组合概念的理解 【例1】．（2025高二·全国）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【举一反三】 1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2．（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 3．（22-23高二下·山西晋中·期中）下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 题型二、组合数（方程）的计算 【例2】．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【举一反三】 1．（25-26高二上·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 2．（24-25高二下·山东济宁·月考）解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 3．（24-25高二下·山东菏泽·月考）求值： (1) (2) (3)解方程：． 题型三、实际问题中的组合计数问题 【例3】．（2026高三·全国·专题练习）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 【举一反三】 1．（25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（   ） A．110种 B．140种 C．220种 D．280种 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（25-26高二下·全国·课后作业）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有（   ） A．26种 B．84种 C．35种 D．21种 题型四、代数中的组合计数问题 【例4】．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高二下·云南昆明·月考）对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南郑州·期中）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．144 B．168 C．156 D．192 题型五、几何组合计数问题 【例5】．（25-26高二下·全国·单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 【举一反三】 1．（24-25高二下·广东·月考）现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 2．（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·期中）已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（    ） A．80个 B．86个 C．116个 D．136个 题型六、分组分配问题 【例6】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ） A．450 B．540 C．630 D．900 【举一反三】 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）临泉田家炳实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（   ）种 A．60 B．90 C．150 D．240 2．（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 3．（24-25高二下·重庆·月考）北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（   ） A． B． C． D． 题型七、x+y+z=n的整数解的个数 【例7】．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【举一反三】 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解. A．171 B．190 C．342 D．380 3．（24-25高二下·广东东莞·月考）方程的正整数解的个数为（   ） A．15 B．35 C．40 D．20 题型八、其它组合计数问题 【例8】．（24-25高二下·重庆·期中）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（   ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高二下·江西景德镇·期中）总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 2．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（    ） A．58 B．71 C．85 D．96 3．（22-23高二下·河北石家庄·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ） A．600种 B．1080种 C．1200种 D．1560种 题型九：组合的综合问题 【例9】．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【举一反三】 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）（1）某兴趣小组有7名学生，其中男生4名，女生3名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （2）6名学生站成一排照相留念，其中男生3人，女生3人，3名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ 2．（25-26高二上·北京西城·期末）在大学二年级上学期，1名同学要从5门科学类选修课和3门人文类选修课中共选择4门不同的选修课，学校要求学生科学类选修课和人文类选修课都要选． (1)这名同学的选修课有多少种不同的选法？ (2)若人文类的选修课的上课时间一样，不能同时选择，则这名同学选修课的不同选法共有多少种？ 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）有4名男生，5名女生． (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北·期末）某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那么不同的人员分配方案共有（    ）种? A．18 B．24 C．30 D．36 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五位学生报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加．若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有（   ） A．36种 B．50种 C．56种 D．120种 3．（24-25高二下·广东佛山·期末）学校组织学生参加劳动基地实践活动，将名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到个项目，每个项目至少分配名学生，则不同的分配方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．（25-26高二下·全国·课后作业）将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有（   ） A．24种 B．10种 C．12种 D．9种 5．（25-26高二上·河南南阳·期末）将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（    ） A．26种 B．36 种 C．38 种 D．50 种 6．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．60种 D．120种 7．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．2400 B．1800 C．1500 D．2100 8．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）将小文等5名大学生安排到三家企业进行实践学习，每名大学生只能安排去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，且安排小文独自去其中一家企业进行实践学习，则不同的安排方法种数为（    ） A．48 B．60 C．42 D．14 9．（25-26高三上·天津·期中）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（    ）种. A．120 B．60 C．24 D．36 二、多选题 10．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 11．（24-25高二下·四川资阳·期中）下列结论正确的是（    ） A．为正整数且 B．满足方程的值可能为或 C．甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D．把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 12．（24-25高二下·福建福州·期末）从标号为0，1，2，3，4，5的六个蓝球和标号为6，7，8，9的四个红球中随机选出4个，则下列说法正确的有（   ） A．若选出的4个球全部为蓝球，则不同的选法有15种 B．若选出的4个球中蓝球红球各有2个，则有120种不同的选法 C．若蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，则有56种不同的选法 D．若蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，则有140种不同的选法 13．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 三、填空题 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）从这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________. 15．（25-26高二下·全国·课后作业）有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙2人每人选2个去参观，求恰有一个场馆相同的概率为________． 16．（25-26高二下·全国·课后作业）对所有满足的自然数，方程所表示的不同椭圆的个数为________． 17．（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为________． 四、解答题 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果） (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. (1)10人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 20．（25-26高二下·全国·课堂例题）从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在（1）中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？ 21．（24-25高二下·全国·课后作业）（1）某校要组建一个16人的足球队，这16人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少1人，名额分配方案共有多少种？ （2）将7个红球、6个白球（球只有颜色的区别）放入5个不同的盒子，要求每个盒子里至少有红球、白球各1个，则有多少种不同的放法？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲：组合和组合数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点二　排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 知识点三　组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 知识点四　组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 【题型归纳】 题型一、组合概念的理解 【例1】．（2025高二·全国）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】根据排列、组合的定义判断即可. 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 2．（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 3．（22-23高二下·山西晋中·期中）下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】D 【分析】根据组合的性质逐一判断即可. 【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题； 因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题； 因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题； 因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题， 故选：D 题型二、组合数（方程）的计算 【例2】．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【答案】(1)165 (2)或 (3) 【分析】（1）首先根据组合数的性质将原式进行化简，然后根据求出原式的值. （2）根据组合数的性质：，则或进行求解方程. （3）首先根据组合数的计算公式化简等式，得到关于的等式，最后求出的值. 【详解】（1）根据组合数的性质，且， 所以. 根据可求得：. 所以. （2）因为，所以或者. 当时，； 当时，. 所以或. （3），. 因为， 所以，化简得： ，即. 解得或者. 又在中，，即，所以. 【举一反三】 1．（25-26高二上·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 2．（24-25高二下·山东济宁·月考）解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）（2）（3）利用排列数和组合数的性质对给定方程不断化简，进而得到未知数的值即可. 【详解】（1）由题意得， 则， 则同除得， 同乘得到， 则，又，故解得. （2）因为，所以， 又因为，所以，解得. （3）由题意得， 即，因为，所以， 得到，则， 化简可得，解得或， 又，即，所以解得. 3．（24-25高二下·山东菏泽·月考）求值： (1) (2) (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据排列数、组合数的计算公式求解. （2）根据组合数的性质求解. （3）根据排列数、组合数的计算公式求解. 【详解】（1）. （2） . （3）由，得， 即， 即， 而由，知，解得， 所以原方程的解为. 题型三、实际问题中的组合计数问题 【例3】．（2026高三·全国·专题练习）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 【答案】B 【分析】采用隔板法求解. 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 【举一反三】 1．（25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（   ） A．110种 B．140种 C．220种 D．280种 【答案】D 【分析】分1名医生和2名护士一组、1名医生和3名护士一组和2名医生和2名护士一组三种情况讨论即可. 【详解】1名医生和2名护士一组，另一组3名医生和3名护士有种分配方案； 1名医生和3名护士一组，另一组3名医生和2名护士有种分配方案； 2名医生和2名护士一组，另一组2名医生和3名护士有种分配方案． 故满足要求的不同的分配方案有种. 故选：D. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据组合数定义作答即可 【详解】由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有种． 故选：D. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有（   ） A．26种 B．84种 C．35种 D．21种 【答案】C 【分析】由题意知挑选5名队员参加比赛，种子选手必须在内，即需要的5名运动员已经确定2名，只要从余下的7名非种子队员中选择3个即可，利用组合数写出结果． 【详解】从7名非种子队员中选出3人有（种）选法． 故选：C． 题型四、代数中的组合计数问题 【例4】．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题随机取出4个不同的数共有，第二个数是6，则4个数中第二大的是6，在7，8，9中选一个，1，2，3，4，5中选2个数，再求概率即可. 【详解】由题知随机取出4个不同的数共有种， 第二个数是6，则4个数中第二大的是6，所以有， 所以概率为. 故选：C. 【举一反三】 1．（24-25高二下·云南昆明·月考）对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由组合数的意义即可求解. 【详解】因为一个自然数从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”， 在0，1，2，3，…，9中任取4个数，其大小关系确定，所以“渐降数”共有个， 故选：C. 2．（24-25高二下·河南郑州·期中）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由能被整除的数个位为或，则若个位为，情况数为， 若个位为，当选中时，情况数为，当选中时，情况数为， 所以. 故选C. 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．144 B．168 C．156 D．192 【答案】C 【分析】分个位上的数字为0和个位上的数字为2或4两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果. 【详解】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 故可以组成60＋96＝156个符合条件的数． 故选：C． 题型五、几何组合计数问题 【例5】．（25-26高二下·全国·单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】C 【分析】分析圆周上8个等分点可构成4条直径，由此得到所对应的直角三角形个数，用可以构成的总三角形个数减去直角三角形个数，可得锐角三角形或钝角三角形的个数. 【详解】圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角. 又每条直径对应着6个直角三角形，所以共有（个）直角三角形， 因为这8个等分点为顶点的三角形共有（个）， 所以锐角三角形或钝角三角形的个数为（个）． 故选：C. 【举一反三】 1．（24-25高二下·广东·月考）现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【答案】B 【分析】根据题意，分只用3种颜色涂色，只用4种颜色涂色和只用5种颜色涂色，三种情况分类讨论，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种． 故选：B. 2．（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果. 【详解】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 3．（24-25高二下·山西·期中）已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（    ） A．80个 B．86个 C．116个 D．136个 【答案】C 【分析】由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论：从平面内取3个点不共线，平面内取1个点，从平面内取2个点，平面内取2个点，从平面内取1个点，平面内取3个点，结合数的计算公式和分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论： 从平面内取3个点不共线，平面内取1个点共有种情况； 从平面内取2个点，平面内取2个点共有种情况； 从平面内取1个点，平面内取3个点共有种情况， 所以从这9个点为顶点的三棱锥最多有个三棱锥. 故选：C. 题型六、分组分配问题 【例6】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ） A．450 B．540 C．630 D．900 【答案】B 【分析】先将6人分成3组，即分为；或，再把三组分配到3个不同项目. 【详解】先将6人分成3组，即分为；或， 共有种分组方法， 再把三组分配到3个不同项目， 则有种不同的报名方法. 故选：B 【举一反三】 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）临泉田家炳实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（   ）种 A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【分析】先把 5 名党员分成 3 组，再将这 3 组分配到 3 个社区. 【详解】将5人分成3组，每组至少1人，有两种分法， 从5人中选3人作为一组，剩下2人各为一组，有种， 从5人中选2人作为一组，再从剩下3人中选2人，最后1人一组，有种， 所以总的分组方法有种. 将分好的 3 组，全排列分配到 A、B、C 三个社区：种， 所以每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有种. 故选：C. 2．（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 3．（24-25高二下·重庆·月考）北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据分组分配问题计算，先分组有两类：一类为，二类为平均分组，最后再分配可得. 【详解】小明和小李必须安装不同的吉祥物，根据题设条件，将6人分成两组其中小明和小李不在同一组， 设小明所在的组为小明组，小李所在的组为小李组， ①若小明组2人小李组4人，先给小明组选1人，剩余3个人到小李组，有种不同的分组方法； ②若小明组3人小李组3人，先给小明组选2人，剩余2个人到小李组，有种不同的分组方法； ③若小明组4人小李组2人，先给小明组选3人，剩余1个人到小李组，有种不同的分组方法； 所以一共有种分组方法，然后再分配到两个安装组有种情况， 所以不同的分配方案种数为种. 故选：C. 题型七、x+y+z=n的整数解的个数 【例7】．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 【举一反三】 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组． 故选：C 2．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解. A．171 B．190 C．342 D．380 【答案】A 【分析】先将题目问题进行转化；再利用隔板法进行求解. 【详解】因为x，y，z均为正整数， 所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种. 故选：A 3．（24-25高二下·广东东莞·月考）方程的正整数解的个数为（   ） A．15 B．35 C．40 D．20 【答案】D 【分析】转化为将7个相同的小球装入4个不同的盒子里，每个盒子中至少有1个小球，利用隔板法进行求解. 【详解】原问题相当于将7个相同的小球装入4个不同的盒子里，每个盒子中至少有1个小球， 可采用隔板法，将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空位上插入3个隔板， 故共有种方法. 故选：D 题型八、其它组合计数问题 【例8】．（24-25高二下·重庆·期中）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式运算求解即可. 【详解】甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种； 同理，乙从N到达M处的方法有种； 甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有1步向右走，后三步只有2步向右走， 乙到处，前三步有1步向下走，后三步只有2步向下走， 所以，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，由对称性可得，走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种； 故甲、乙两人相遇的概率. 故选：B. 【举一反三】 1．（24-25高二下·江西景德镇·期中）总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【答案】D 【分析】将其转化为隔板法解决即可. 【详解】已知①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球. 我们先在②号杯子中放个小球，在③号杯子中放个小球， 这样就满足了每个杯子的最少放置要求.此时总共放了个小球， 还剩下个小球. 将问题转化为标准隔板法问题： 现在要把这10个相同的小球放入①、②、③号三个杯子中，且每个杯子至少放个小球. 这就相当于在10个小球形成的个间隔中插入个隔板， 将其分成组，每组对应一个杯子. 根据隔板法公式，所以方法数为. 根据组合数公式，可得（种）. 故选：D. 2．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（    ） A．58 B．71 C．85 D．96 【答案】B 【分析】根据题意，都比大，所以可能取或，分，和三类进行讨论. 【详解】根据题意，都比大，所以可能取或， 当时，有种选法，剩余数字中最大， 有种选法，最后剩下一个就是，共有种， 当时，，有种选法，剩余数字中最大， 而，有种选法，共有种， 当时，，，有种选法， 剩余数字，只有1种，共有种， 则满足要求的排列的个数为种. 故选：B 3．（22-23高二下·河北石家庄·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ） A．600种 B．1080种 C．1200种 D．1560种 【答案】D 【分析】分三类：用5种、4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案. 【详解】若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排，即种； 若用4种颜色，从6种颜色任选4种有种， 再任选一种颜色涂在其中一组对面上有种，其它3种颜色作全排有， 所以，共有种； 若用3种颜色，从6种颜色任选3种有种， 再任选两种颜色涂在两组对面上种，余下的一种颜色涂在底面有1种， 所以，共有种； 综上，不同的涂色方案有种. 故选：D 题型九：组合的综合问题 【例9】．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【答案】(1)2520 (2)576 (3)216 【分析】（1）按照分步乘法计数原理，依次给每辆车分配售票员即可； （2）按照分步乘法计数原理，分两步完成分配.先分配男售票员，共有种不同方法；再分配女售票员，也有种方法，相乘可得答案； （3）第一步将男售票员和女售票员分别平均分组，各有种不同分法，所以共有种分组方法，第二步分配到车，每一种分法都有种上车方法，相乘可得答案. 【详解】（1）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． （2）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． （3）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 【举一反三】 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）（1）某兴趣小组有7名学生，其中男生4名，女生3名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （2）6名学生站成一排照相留念，其中男生3人，女生3人，3名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ 【答案】（1）30（2）72 【分析】（1）根据给定条件，利用组合计数问题，结合排除法列式求解. （2）根据给定条件，利用不相邻问题，结合特殊元素法列式求解. 【详解】（1）依题意，从兴趣小组7人中任选4人，有种选法，甲乙都没有被选取，有种选法， 所以所求方法种数是. （2）求不同站法种数需分2步进行： 第一步，将3名男生全排列，有种方法， 第二步，将3名女生看成一个整体进行内部排列，再安排在男生中间的2个空位中，有种方法， 所以不同的站法种数是. 2．（25-26高二上·北京西城·期末）在大学二年级上学期，1名同学要从5门科学类选修课和3门人文类选修课中共选择4门不同的选修课，学校要求学生科学类选修课和人文类选修课都要选． (1)这名同学的选修课有多少种不同的选法？ (2)若人文类的选修课的上课时间一样，不能同时选择，则这名同学选修课的不同选法共有多少种？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算选择门科学类和门人文类选修课的不同选法，再求和即可得答案； （2）先计算这名同学同时选择了两门人文类的选修课的选法，再结合（1）的结果减去即可得答案. 【详解】（1）解：这名同学从5门科学类选修课和3门人文类选修课中， 选择1门科学类和3门人文类选修课的不同选择方法（种）， 选择2门科学类和2门人文类选修课的不同选择方法（种）， 选择3门科学类和1门人文类选修课的不同选择方法（种）， 所以这名同学的选修课共有（种）不同的选法． （2）解：这名同学同时选择了两门人文类的选修课的选法共有（种）， 所以这名同学不同时选择人文类选修课的选法有（种）． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）有4名男生，5名女生． (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 【答案】(1)36 (2)105 (3)1680 【分析】（1）从4名男生中选两名，再从余下的4名女生中选两名即可； （2）考虑恰有2名男生和恰有3名男生和恰有4名男生三种情况，根据分类加法计数原理可得答案. （3）先安排甲组，再安排乙组，余下的学生为丙组即可. 【详解】（1）选2名男生，有种选法；选3名女生，且某女生必须在内，有种选法． 所以符合条件的不同选法有（种）． （2）方法一（直接法）：符合条件的选法有三类： 第1类，2名男生，3名女生的选法有种； 第2类，3名男生，2名女生的选法有种； 第3类，4名男生，1名女生的选法有种； 所以男生不少于2名的不同选法有（种）． 方法二（排除法）： 因为从9名学生中，选5名代表的选法共有种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条件的情况，所以男生不少于2名的不同选法有105（种）． 故共有105种不同的选法． （3）先安排甲组有种分法，再安排乙组有种分法，余下的学生为丙组有种分法． 所以符合条件的不同分法有（种）． 故共有1680种不同分法． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北·期末）某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那么不同的人员分配方案共有（    ）种? A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】A 【分析】先分组，再排列即可求解. 【详解】. 故选：. 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五位学生报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加．若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有（   ） A．36种 B．50种 C．56种 D．120种 【答案】B 【分析】首先计算总分配方式，然后减去不符合条件（注意重复）的情况即可. 【详解】甲只能参加环保志愿服务，剩余四人（乙、丙、丁、戊）每人有3种选择（环保、宣传、敬老），总共有种， 若是宣传无人，四人只能选择环保或敬老，每人两种选择，共：种， 若是敬老无人，四人只能选择环保或宣传，每人两种选择，共：种， 若是宣传和敬老同时无人，四人都只能选择环保，仅1种， 因此符合条件的分配方式为：种. 故选：B. 3．（24-25高二下·广东佛山·期末）学校组织学生参加劳动基地实践活动，将名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到个项目，每个项目至少分配名学生，则不同的分配方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】将四名学生分为三组，再将这三组学生分配给三个项目即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将四名学生分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组学生分配给三个项目即可， 所以，不同的分配方案种数为种. 故选：B. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有（   ） A．24种 B．10种 C．12种 D．9种 【答案】C 【分析】依据分步乘法计数原理，按“先为甲地选1名女教师，再为甲地选2名男教师，剩下的3名教师到乙地的步骤”计算可得. 【详解】第一步，为甲地选1名女教师，有（种）选法； 第二步，为甲地选2名男教师，有（种）选法； 第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有（种）. 故选：C． 5．（25-26高二上·河南南阳·期末）将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（    ） A．26种 B．36 种 C．38 种 D．50 种 【答案】D 【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可. 【详解】当1号实验室有1人时，即专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室， 且每个实验室至少1人，分配方案有种； 当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有种方法， 再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有种方法， 故共有种； 当1号实验室有3人时，分配方案有种； 可得不同的分配方案共有种． 故答案为：50 6．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．60种 D．120种 【答案】B 【分析】根据两人被选中的情况进行分类讨论，再结合排列组合的知识求解即可. 【详解】根据题意可分为两种情况：两人都被选中和两人中只有一人被选中. ①当两人都被选中时，不同的选派方案有种； ②当两人中只有一人被选中时，不同的选派方案有种. 所以不同的选派方案有种. 故选：. 7．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．2400 B．1800 C．1500 D．2100 【答案】B 【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 故选：B 8．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）将小文等5名大学生安排到三家企业进行实践学习，每名大学生只能安排去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，且安排小文独自去其中一家企业进行实践学习，则不同的安排方法种数为（    ） A．48 B．60 C．42 D．14 【答案】C 【分析】本题考查分步计数原理，利用特殊元素优先安排法和分组分配问题原理进行求解即可. 【详解】先安排小文选择一家企业，有种选择方式. 然后将剩余人安排到两家企业，每家企业至少安排1人，所以将人分为组，再安排企业，有两种分组方式： 第一种：人去一家企业，其余人去一家企业，有种方式； 第二种：每家企业各人，有种方式. 所以不同的安排种数为. 故选：. 9．（25-26高三上·天津·期中）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（    ）种. A．120 B．60 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案； （ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案， 综上可得，共有种不同的选派方案. 故选：D 二、多选题 10．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 【答案】BCD 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 11．（24-25高二下·四川资阳·期中）下列结论正确的是（    ） A．为正整数且 B．满足方程的值可能为或 C．甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D．把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 【答案】ABD 【分析】利用排列组合数公式及性质计算判断AB；利用插空法求得排列数判断C；利用隔板法求得总的方法数判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由，得或，解得或，B正确； 对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，共有排法，C错误； 对于D，由隔板法得共有种不同的分法，D正确. 故选：ABD 12．（24-25高二下·福建福州·期末）从标号为0，1，2，3，4，5的六个蓝球和标号为6，7，8，9的四个红球中随机选出4个，则下列说法正确的有（   ） A．若选出的4个球全部为蓝球，则不同的选法有15种 B．若选出的4个球中蓝球红球各有2个，则有120种不同的选法 C．若蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，则有56种不同的选法 D．若蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，则有140种不同的选法 【答案】AD 【分析】根据题设及各项描述，应用组合数依次求出不同选法数，即可判断. 【详解】A：选出的4个球全部为蓝球，有种，对； B：选出的4个球中蓝球红球各有2个，有种，错； C：蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，有种，错； D：若蓝球的0号和红球的6号都不在选出的4个球内，有种，从10个球中任选4个，有种， 所以蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，有种，对. 故选：AD 13．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 【答案】BC 【分析】利用分步乘法计数原理判断A；利用分组分配列式计算判断B；求出概率判断C；视为一个整体，列式计算判断D. 【详解】对于A，每个人有3种去向，则不同安排方式共有种，A错误； 对于B，5个人分成3组，有种分法，再将每种分法的3组安排到3家公司， 不同安排方法数为，B正确； 对于C，丙独自一人在一家公司的安排方法数为，概率为，C正确； 对于D，视为一个整体，相当于4个人至少分到2家公司，甲乙不在同一家公司， 不同安排方法数为，D错误. 故选：BC 三、填空题 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）从这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________. 【答案】 【分析】利用组合数的运算直接求解即可. 【详解】从四个数中任取两个数的取法个数为. 故答案为： 15．（25-26高二下·全国·课后作业）有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙2人每人选2个去参观，求恰有一个场馆相同的概率为________． 【答案】 【分析】利用排列、组合及古典概型求解即可. 【详解】因为四个场馆，甲、乙2人每人选2个去参观有种不同的方法， 其中恰有一个场馆相同，即选一个场馆甲乙都参观，再由剩余三个场馆选两个安排甲乙参观， 共有种不同的选法， 所以， 故答案为： 16．（25-26高二下·全国·课后作业）对所有满足的自然数，方程所表示的不同椭圆的个数为________． 【答案】6 【分析】先判断满足条件的组合数可能的取值，再进一步判断这些值有相同的值有4个，进而可得结果. 【详解】因为，所以可以是，，，，，，，，，共个值. 再由组合数的性质可知，，，共有4个值. 故能表示个不同的椭圆． 故答案为：6 17．（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为________． 【答案】 【分析】根据题意，分为选三个女教师，选两个女教师，一个男教师和选一个女教师，两个男教师，三类情况讨论，结合排列数和组合数公式，以及分类计数原理，进行计算，即可求解 【详解】根据题意，可分为三类： ①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有（种）； ②选两个女教师，一个男教师，其中男教师只能担任主考或后方监考，两名女教师安排在剩余的两个位置，不同的安排方案有（种） ③选一个女教师，两个男教师，其中女教师必须担任流动监考，两名男教师安排在主考和后方监考两个位置，不同的安排方案有（种）． 由分类计数原理得，不同的安排方案种数为． 故答案为：. 四、解答题 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果） (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）从所有产品中任取 10 个，不区分等级，直接用组合数； （2）只从一等品中抽取 10 个，直接用一等品的组合数； （3）抽不到一等品，等价于从二等品和三等品中抽取 10 个； （4）分两步抽取，先从一等品中取 5 个，再从非一等品中取 5 个，用分步乘法计数原理； （5）分三步抽取，分别从三个等级中取对应数量，用分步乘法计数原理； （6）“至少 1 个” 的问题，用补集思想，总情况减去 “全是非一等品” 的情况. 【详解】（1）这批产品一共有（个），从其中任取10个进行检验，共有种抽取结果. （2）这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有种抽取结果. （3）抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验. 而二等品和三等品共有（个），所以抽不到一等品的抽取结果共有种. （4）恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等品中抽取. 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （5）恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三等品中抽取. 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽取7个三等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （6）“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽到一等品”的反面， 因此，用所有的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数即可. 所以至少抽到一个一等品的结果共有种. 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. (1)10人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 【答案】(1)组合问题，45 (2)组合问题，45 (3)组合问题，120 (4)排列问题，720 【分析】（1）根据组合数求解即可； （2）根据组合数求解即可； （3）根据组合数求解即可； （4）根据排列数求解即可． 【详解】（1）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为； （2）是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为； （3）是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为； （4）是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为． 20．（25-26高二下·全国·课堂例题）从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在（1）中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？ 【答案】(1)100800 (2)14400 (3)5760 (4)28800 【分析】（1）利用分步乘法计数原理可得答案； （2）利用相邻元素捆绑法可得答案； （3）利用相邻元素捆绑法可得答案； （4）利用不相邻元素插空法可得答案. 【详解】（1）分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有种取法； 第二步，在5个奇数中取4个，可有种取法； 第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有种排法． 所以符合题意的七位数有（个）． （2）上述七位数中，3个偶数排在一起的有（个）． （3）上述七位数中，3个偶数排在一起， 4个奇数也排在一起的有（个）． （4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好， 再将3个偶数分别插入5个空中，共有（个）． 21．（24-25高二下·全国·课后作业）（1）某校要组建一个16人的足球队，这16人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少1人，名额分配方案共有多少种？ （2）将7个红球、6个白球（球只有颜色的区别）放入5个不同的盒子，要求每个盒子里至少有红球、白球各1个，则有多少种不同的放法？ 【答案】（1）5005；（2）75 【分析】（1）采用隔板法即可求解； （2）采用分步乘法即可求解. 【详解】（1）可考虑用构造模型法来解题．如图6.2－3所示，将16个小球排成一列， 从每两个相邻的小球形成的15个间隙中选取9个插入隔板，将16个小球分成10份， 因此名额分配方案和隔板插入数相等，共有（种）放法， 即共有5005种名额分配方案． （2）由题意可知，题目所要求的放法即为求两种球分别放入5个盒子且盒子非空的放法． 构造隔板模型，分两步放球，第1步，放红球，共有种放法； 第2步，放白球，共有种放法，因此共有（种）放法． 2 学科网（北京）股份有限公司 $