6.2.4 课时1 组合数的性质 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.4 课时1 组合数的性质 【基础巩固】 1．“ ”是“” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．满足条件的正整数的个数是（ ） A． B． C． D． 4．根据组合数的性质可知，（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，且，则下列等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 6．若组合数，则_____________. 7．若正整数满足不等式，则___________. 8．(1)计算：已知，则求的值． (2)计算：； (3)解方程：. 【能力拓展】 9．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：.记这个数列的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 10．设为正整数，在平面直角坐标系中，若，且）恰好能表示出个不同的椭圆方程，则的一个可能取值为（ ） A． B． C． D． 11．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中______，令，则______． 【素养提升】 12．如图所示数阵，第行共有个数，第行的第个数为，第个数为，第个数为．规定：． (1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； (2)求证：每一行的所在数之和等于下一行的最后一个数； 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4 课时1 组合数的性质 【基础巩固】 1．“ ”是“” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，可得或，解得或， 所以由“ ”推得出“”，故充分性成立； 由“”推不出“ ”，故必要性不成立； 所以“ ”是“” 的充分不必要条件. 故选：A. 2．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，由可得， 整理可得，即，因为，解得， 故. 故选：C. 3．满足条件的正整数的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，整理得，解得， 且，所以，又，所以. 故选：C. 4．根据组合数的性质可知，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】, 故选:C. 5．（多选）已知，且，则下列等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：由，得，故A正确； 对于选项B：由，得，则，故B正确； 对于选项C：例如，则，即，故C错误； 对于选项D：因为， 所以，故D正确. 故选：ABD． 6．若组合数，则_____________. 【答案】 【解析】因为，则，解得或， 又因为，所以. 故答案为：. 7．若正整数满足不等式，则___________. 【答案】 【解析】由，得，且， 化简整理得，解得，又因为，所以.故答案为：. 8．(1)计算：已知，则求的值． (2)计算：； (3)解方程：； 【答案】见解析 【解析】(1)由，得，解得． 所以． (2). (3)由得：，整理可得， 由题意，，故解得. 【能力拓展】 9．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：.记这个数列的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图知，数列中的各项是，，，，，，，，……， . 故选：A. 10．设为正整数，在平面直角坐标系中，若，且）恰好能表示出个不同的椭圆方程，则的一个可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，为椭圆，则，从个数中选两个不同的数作为系数，当为偶数时，去掉重复的数有个数 则任取两个数的排列数为个，当为奇数时，去掉重复的数有个数则任取两个数的排列数为个， 由于现在恰好能表示出个不同的椭圆方程，则当为偶数时，，得， 当为奇数时，，得，所以C正确. 故选：C 11．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中______，令，则______． 【答案】； 【解析】从莱布尼茨三角形可以看出，下一行两个分数之和等于上一行肩上的分数，故． ，故，故答案为：；. 【素养提升】 12．如图所示数阵，第行共有个数，第行的第个数为，第个数为，第个数为．规定：． (1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； (2)求证：每一行的所在数之和等于下一行的最后一个数； 【答案】见解析 【解析】(1)第行最后两数，第行的最后两数． 第行的第个数为，第个数为， 猜测：． 法一 即证：，只需要证明， 只要证明，该式显然成立， 所以， 所以每行最后两个数相等． 法二 因为 ；又因为 ．即：． 所以每一行的最后两个数相等． (2)第行所有数之和为，第行的最后一个数为，此时结论成立．因为， 第行的个数之和为： ． 而第行倒数第二个数为， 由(1)得每行最后两个相等，所以结论得证． 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $