6.1 平面向量的概念（第一课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 第一课时 学习目标 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； 2. 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量 等概念； 3. 会区分平行向量、相等向量和共线向量. 向量最初应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等都是向量. 大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量．向量一词来自力学、解析几何中的有向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿. 向量及向量符号的由来 课前小知识 向量可以比较大小吗？ 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 预学导读 同学们认真阅读教材第2页至3页例1的内容，并完成以下的问题： 1.找出向量的定义，并举例说明它与数量的区别？ 2.向量有哪些表示方法？怎样表示向量的大小？ 3.大小为0和1的向量分别是什么向量？ 4分钟后进行检测 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 4 情景导入 位移技能 大小 方向 情景导入 50m/s 10m/s 傻 猫 老鼠为什么认为猫是“傻猫”? 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 情景导入 力 G F 大小 方向 情景导入 576km 物理位移 重庆 桂林 大小 方向 情景导入 思考：距离和位移这两个量有什么不同？ 距离 位移 大小、方向 大小 矢量 向量 标量 数量 物理学 物理学 数学 数学 对于这种既有大小又有方向的量加以抽象， 就是我们将要研究的——向量。 敲黑板 向量 既有大小又有方向的量 位移 数量 只有大小没有方向的量 力 加速度 速度 如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知探究1——向量的概念 1.向量的定义： 既有大小又有方向的量叫做向量(矢量). 2.数量的定义：只有大小没有方向的量称为数量(标量). 如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量. 注意： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小； 向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 问题引领，深入思考 ①向量的要素是什么? 向量由大小与方向两个要素组成。向量的大小是代数特征，方向是几何特征。 向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁. ②温度有正负之分，那么它是向量吗？为什么？ 温度只有大小没有方向，不是向量. ③辨析比较：向量与矢量 数学中的向量是从物理中的矢量（如位移、力、速度、加速度等）抽象出来的， 但在这里我们仅考虑它的大小和方向； 而物理中的这些量，既同时具备大小和方向这两个属性，又具备其他属性（如 “力”是由大小、方向、作用点共同决定的）. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 小试牛刀 练习一 下列量不是向量的是（ ） ① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④ 力 ⑤ 加速度 ⑥ 面积 ⑦ 年龄 ⑧ 身高 2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( ) × × × 练习二 1.身高是一个向量（ ） 新知探究2——向量的几何表示 问题：由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量。那么，该如何表示向量呢？ O 3 -2 数量 向量 大小 大小+方向 新知探究2——向量的几何表示 通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段. 思考：有向线段包含了哪些要素？ 起点、方向、长度 A B （起点） （终点） 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向． 以A为起点、B为终点的有向线段记作 ， 线段AB的长度也叫做有向线段 的长度，记作 ． 向量——两要素：大小、方向 新知探究2——向量的几何表示 向量的表示： 可以用有向线段来表示 (起点） (终点） 字母表示法： 2、用大写字母表示： 如 （A为起点、B为终点） 1、用小写字母表示： 如 、 、 注：书写向量时，字母上的箭头不能省略。 箭头表示向量的方向 线段的长度表示大小。 向量:与起点无关.起点可以取任意位置，数学中的向量也叫自由向量. 新知探究2——向量的几何表示 思考： 有什么含义？ 表示以A为起点，B为终点的向量。线段的长度就是向量的大小。 思考：向量 或 的长度（即大小）如何用符号来表示？ 向量的模 定义：向量的大小称为向量的长度，或向量的模. 表示：①向量的长度表示成，读作向量的模； ②向量的长度表示成，读作向量的模. 1.向量 的模 2.向量不能比大小，但是 可以比大小； 新知探究2——零向量和单位向量 两类特殊向量：①零向量：模为零的向量叫做零向量，记作. ②单位向量：模为1的向量叫做单位向量. 零向量的方向是任意的. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 思考1： 与0有区别吗？为什么？ 思考2：零向量和单位向量的方向呢？ 1 x y O 思考3：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 它们的终点的轨迹是什么图形 问题引领，深入思考——向量就是有向线段吗？ 不是同一有向线段， 因为起点不同； 表示同一线段，表示同一向量吗？为什么？ (2)表示同一个有向线段吗？ 表示同一个向量吗？为什么？ A B C D A B C D 有向线段：位置是固定的，与起点有关； 向量：位置是自由的，可以平移，与起点无关. 不是同一向量，因为方向不同； 是同一向量， 因为方向相同长度相等； 小试牛刀 练习 判断下列关于零向量和单位向量的说法的正误 （1）零向量没有大小（ ） （2）零向量没有方向（ ） （3）两个单位向量的模长相等（ ） （4）零向量的方向是任意的（ ） （5）所有单位向量都相等（ ） （6）单位向量的方向不一定相同（ ） 小试牛刀 (1)如果 ,那么 ( ) (2)力、速度和质量都是向量。 （ ) (3)若 都是单位向量，则 . ( ) (4)零向量的大小为0，没有方向 （ ） 小试牛刀 1.温度含零上和零下温度,所以温度是向量. × × 2.向量的模是一个正实数. × 3.若|a|>|b|,则a>b. 向量只有相等关系而没有大小关系. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 小试牛刀 下列说法中正确的是（ ） A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 D 小试牛刀 [多选题]下列说法正确的是( ) AC A.向量与向量 的长度相等 B.有向线段就是向量，向量就是有向线段 C.零向量的方向是不确定的 D.单位向量的方向是任意的 小试牛刀 下列说法正确的是（ ） A.身高是一个向量 B.温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C.有向线段由方向和长度两个要素确定 D.有向线段 和有向线段 的长度相等 D 课本第3页例1 在右图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离(精确到 1 km)． 解： 表示A地至B地的位移，且 ≈ ． 表示A地至C地的位移，且 ≈ ． 课本第4页练习 2.画两条有向线段，分别表示一个竖直向下，大小为18N的力和一个水平向左，大小为28N的力.（用1cm长表示10N） 3.指出图中各向量的长度. （规定小方格的边长为0.5） 新知探究3——向量间的关系 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量.记作： 规定：零向量与任一向量平行，记作： 新知探究3——向量间的关系 l 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 故平行向量也叫共线向量。 新知探究3——向量间的关系 观察， 向量之间的关系？ A B C D 相等向量: 长度相等且方向相同的向量.记作： 新知探究3——向量间的关系 平行向量 共线向量 相等向量 平行向量 课本第4页例2 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心， (1)写出图中的共线向量． 小试牛刀 × × × √ 判断下列命题对错： ( )1.若a=b,且b=c,则a=c; ( )2.若a∥b,且b∥c,则a∥c; ( )3.若|a|=0,则a=0; ( )4.若|a|=|b|,则a=±b. 当堂检测 1.已知向量 如图所示，下列说法不正确的是（ ） A.向量 可以用 表示 B.向量 的方向是由M指向N C.向量 的起点是M D.向量 的终点是M M N D 当堂检测 2.下列说法正确的是 （ ） A.向量的模是一个正实数 B.零向量没有方向 C.单位向量的模等于1个单位长度 D.零向量就是实数0 C 当堂检测 3.下列说法正确的是（ ）。 A.若 ，则 或 ； B.若向量 与 是共线向量，则A,B,C,D四点必在同一条直线上； C.向量 与 是平行向量； D.任何两个单位向量都是相等向量。 C 当堂检测 4.已知下列说法： ①若 ，则 为零向量； ②若 ,则 ； ③共线的单位向量是相等向量； ④两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同. 其中正确的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 当堂检测 5. 如图，ABC的三边均不相等，E，F，D别是AC，AB，BC的中点. (1)写出与共线的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量； 课堂小结 解：(1)所以与共线的向量有，，，，，，. (2)模与的模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有，. $