专题11一次函数的图象与性质同步专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题11一次函数的图象与性质同步专项训练讲义 【题型01 正比例函数的图象】.....................................3 【题型02 正比例函数的性质】.....................................4 【题型03 判断一次函数的图象】...................................4 【题型04 根据一次函数解析式判断其经过的象限】...................5 【题型05 已知函数经过的象限求参数范围】.........................5 【题型06 一次函数图象与坐标轴的交点问题】.......................6 【题型07 画一次函数】...........................................7 【题型08 一次函数图象平移问题】.................................8 【题型09 判断一次函数增减性】...................................8 【题型10 根据一次函数增减性求参数】.............................8 【题型11 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】.............9 【题型12 比较一次函数值的大小】.................................9 【题型13 一次函数的规律探究问题】..............................10 【题型14 求一次函数解析式】....................................11 【解答题6题】..................................................12 ★知识梳理★ 知识点01:一次函数的定义 形如 y=kx+b(k,b为常数，k0)的函数叫做一次函数。 当 b=0 时，y=kx（k0）叫做正比例函数， 正比例函数是特殊的一次函数。 知识点02:一次函数的图象 1.一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线。 2.画图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线即可。 3.正比例函数 y=kx 的图象是一条过原点 (0,0) 的直线。 知识点03:一次函数的性质（重点） 1. 由 k 决定函数的增减性 当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大，直线从左到右上升。 当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小，直线从左到右下降。 2. 由 k、b 共同决定图象经过的象限 当k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； 当k>0，b<0时，直线经过一、三、四象限； 当k<0，b>0时，直线经过一、二、四象限；. 当k<0，b<0时，直线经过二、三、四象限。 3. ∣k∣ 对直线倾斜程度的影响 ∣k∣ 越大，直线越陡，越靠近 y 轴； ∣k∣ 越小，直线越平缓，越靠近 x 轴。 4. b 的意义 b 是直线与 y 轴交点的纵坐标： b>0：交于 y 轴正半轴 b=0：过原点 b<0：交于 y 轴负半轴 知识点04:两条直线的位置关系 对于 y1=k1x+b1​和 y2=k2x+b2​： 若 k1=k2且 b1b2，两直线平行； 若 k1k2，两直线相交。 【题型1.正比例函数的图象】 【典例】已知，在函数图象上，则________（填“”或“”）． 【跟踪专练1】正比例函数的图像经过（　　） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【跟踪专练2】定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 【跟踪专练3】如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） . A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2.正比例函数的性质】 【典例】已知，是直线上的两个点，则，的大小关系是_______． 【跟踪专练1】若一个正比例函数的图象经过点两点，则a的值为(        ) A．1 B． C．2 D．4 【跟踪专练2】已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 【跟踪专练3】在正比例函数中，当x每增加2时，y减小（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3.判断一次函数的图象】 【典例】若点在函数的图像上，则______． 【跟踪专练1】一次函数的图象可能是下面的（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】无论k为何值，直线必过定点_______． 【跟踪专练3】已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例】如果，是一次函数图象上不同的两点，对于任意的A，B两点都有，且，则函数图像经过第_______象限． 【跟踪专练1】一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练2】函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【跟踪专练3】已知，则一次函数和在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型5.已知函数经过的象限求参数范围】 【典例】已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是_______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【跟踪专练3】一次函数的图象如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1 【题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【典例】一次函数的图象与轴的交点坐标为______________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将一次函数向下平移3个单位，则平移后的图象与轴的交点为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【跟踪专练3】能表示一次函数与正比例函数（m，n是常数，且）的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型7.画一次函数图象】 【典例】若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 【跟踪专练1】函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【跟踪专练2】计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为___________；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是___________．    【跟踪专练3】如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型8.一次函数图象平移问题】 【典例】将函数的图象沿y轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函数表达式是_______． 【跟踪专练1】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．则的值为（　　）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则____________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【题型9.判断一次函数的增减性】 【典例】对于函数，y随x的增大而_____． 【跟踪专练1】下列函数中的函数值y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则_______（用“>”或“<”填空）． 【跟踪专练3】、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【题型10.根据一次函数增减性求参数】 【典例】已知直线经过点，，当时，，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】已知一次函数，当时，的最大值是（    ） A．2 B．7 C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第二象限，且过点，记，则W的取值范围是_________． 【跟踪专练3】当时，一次函数满足，则常数a的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 【题型11.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【典例】如图，一次函数的图像经过点，当时，的取值范围是________． 【跟踪专练1】若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【跟踪专练2】如果函数，当时，求此函数的解析式是 ____________． 【跟踪专练3】已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型12.比较一次函数值的大小】 【典例】已知，是一次函数图象上的两个点，则____n．（填“＞”“＝”或“＜”）． 【跟踪专练1】若点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一次函数的图象不经过第三象限，，且这四点都在直线上，则_______0．（填“”“”或“”） 【跟踪专练3】函数的图像记为（为常数），图像上任意不同的两点、都满足：当时，，则的值可以是（   ） A． B．0 C． D．1 【题型13.一次函数的规律探究问题】 【典例】直线与直线互相平行，则常数的值为_______． 【跟踪专练1】如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【跟踪专练2】如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为______． 【跟踪专练3】正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型14.求一次函数解析式】 【典例】已知一次函数，当时，，则________． 【跟踪专练1】一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知函数的部分自变量的值和对应的函数值如下表所示，则这个一次函数的解析式为___________． x … 0 1 … y … 0 3 6 9 … 【跟踪专练3】观察如下图形和表格，判断图形的周长m与小梯形的个数n之间的函数关系式是（    ） 小梯形的个数n 1 2 3 4 … 图形的周长m 5 8 11 14 … A． B． C． D． 【解答题】 1．已知一次函数，根据给定的条件，确定实数的值． (1)图象经过第二、三、四象限； (2)图象与轴的交点在轴上方． 2．已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 3．在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 4．如图，在长方形电子屏中，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发，沿边以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，当经过点时，完成下列问题． (1)求直线的函数表达式． (2)求此时点的运动时间． 5．已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 6．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数的图象与性质同步专项训练讲义 【题型01 正比例函数的图象】.....................................3 【题型02 正比例函数的性质】.....................................5 【题型03 判断一次函数的图象】...................................7 【题型04 根据一次函数解析式判断其经过的象限】...................9 【题型05 已知函数经过的象限求参数范围】........................11 【题型06 一次函数图象与坐标轴的交点问题】......................13 【题型07 画一次函数】..........................................15 【题型08 一次函数图象平移问题】................................18 【题型09 判断一次函数增减性】..................................20 【题型10 根据一次函数增减性求参数】............................21 【题型11 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】............23 【题型12 比较一次函数值的大小】................................26 【题型13 一次函数的规律探究问题】..............................28 【题型14 求一次函数解析式】....................................32 【解答题6题】..................................................34 ★知识梳理★ 知识点01:一次函数的定义 形如 y=kx+b(k,b为常数，k0)的函数叫做一次函数。 当 b=0 时，y=kx（k0）叫做正比例函数， 正比例函数是特殊的一次函数。 知识点02:一次函数的图象 1.一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线。 2.画图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线即可。 3.正比例函数 y=kx 的图象是一条过原点 (0,0) 的直线。 知识点03:一次函数的性质（重点） 1. 由 k 决定函数的增减性 当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大，直线从左到右上升。 当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小，直线从左到右下降。 2. 由 k、b 共同决定图象经过的象限 当k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； 当k>0，b<0时，直线经过一、三、四象限； 当k<0，b>0时，直线经过一、二、四象限；. 当k<0，b<0时，直线经过二、三、四象限。 3. ∣k∣ 对直线倾斜程度的影响 ∣k∣ 越大，直线越陡，越靠近 y 轴； ∣k∣ 越小，直线越平缓，越靠近 x 轴。 4. b 的意义 b 是直线与 y 轴交点的纵坐标： b>0：交于 y 轴正半轴 b=0：过原点 b<0：交于 y 轴负半轴 知识点04:两条直线的位置关系 对于 y1=k1x+b1​和 y2=k2x+b2​： 若 k1=k2且 b1b2，两直线平行； 若 k1k2，两直线相交。 【题型1.正比例函数的图象】 【典例】已知，在函数图象上，则________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数值的大小比较，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把，分别代入计算出和的值再比较即可． 【详解】∵ 点和 在函数的图象上， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】正比例函数的图像经过（　　） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像的象限，解题的关键是掌握k的作用：时过第一、三象限，时过第二、四象限． 【详解】解：函数， 所以图像经过第二、四象限， 故选：D． 【跟踪专练2】定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） . A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键． 设，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有4个交点，即可得到答案． 【详解】解：设， 则……，， 即点，，……，在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象（）最多有4个交点， ∴k的最大取值为4， 故选：C． 【题型2.正比例函数的性质】 【典例】已知，是直线上的两个点，则，的大小关系是_______． 【答案】 【分析】根据增减性可得y随x的增大而增大，比较出两点的横坐标的大小即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵，是直线上的两个点，且， ∴． 【跟踪专练1】若一个正比例函数的图象经过点两点，则a的值为(        ) A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质；设正比例函数为，利用点的坐标求出，再代入点的坐标求． 【详解】解：设正比例函数为 ． 图象经过点， ，解得． 函数解析式为． 图象经过点， ，解得． 的值为． 故选：A． 【跟踪专练2】已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，常数项为零，求出m的值，得到函数表达式，再根据一次函数的性质比较a和b的大小． 【详解】解：因为函数是正比例函数， 所以， 解得， 则函数为． 因为， 所以y随x的增大而减小， 又因为，所以． 故答案为：． 【跟踪专练3】在正比例函数中，当x每增加2时，y减小（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，进行简单的推理即可解决问题． 本题中可令分别等于，，求出相应的函数值，再求差即可解决问题． 【详解】解：令，则 令，则， ∴， ∴若正比例函数中自变量每增加时，相对应的值减小． 故选：C． 【题型3.判断一次函数的图象】 【典例】若点在函数的图像上，则______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．据此可得出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】一次函数的图象可能是下面的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一次函数图象的性质解题即可． 【详解】解：一次函数，， ∴随着的增大而减小， 当时，，图象经过， ∴选项A符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】无论k为何值，直线必过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据可化为，当时，，即可求出定点坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：直线， 当时，， ∴直线必过定点， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，由函数图象的位置可得，，然后，根据系数的正负性判断函数的图象的位置即可． 【详解】解：由一次函数图象的位置可知，， ∴，． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． ∴选项D的图象符合要求． 【题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例】如果，是一次函数图象上不同的两点，对于任意的A，B两点都有，且，则函数图像经过第_______象限． 【答案】一、二、三 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，找出，是解题的关键．利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，可得出，，再结合一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数的图象经过第一、二、三象限． 【详解】解：∵如果，是一次函数图象上不同的两点，对于任意的A、B两点都有， ∴与同号， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故答案为：一、二、三． 【跟踪专练1】一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵一次函数，， ∴图象经过一二四象限，不经过第三象限， 故选C． 【跟踪专练2】函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及正比例函数的性质，由正比例函数图象在第二、四象限可得，再分析一次函数图象所经象限，即可求解． 【详解】解：∵函数的图象在第二、四象限 ，， 一次函数中，，， 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【跟踪专练3】已知，则一次函数和在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据，排除A、D，再根据B、C，分“，”、“，”两种情况讨论，然后作出选择． 【详解】解：∵， ∴一次函数和的图象都不过原点， 故A、D均错误； 由B、C可知，两直线中一条交于y轴正半轴，另一条交于y轴负半轴， ∴一次函数和中，m与n异号， 情况1∶，， ，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故C符合； 情况2∶，， ，， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 没有选项符合， 故选：C． 【题型5.已知函数经过的象限求参数范围】 【典例】已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 根据一次函数图象的性质即可列出不等式求出的范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：. 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系、一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的增减性等知识点， 一次函数图像经过的象限得到、是解题的关键． 由一次函数图像经过的象限可得出、，再利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限， ∴、， ∵点与在一次函数的图像上，， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】一次函数的图象如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图像与性质．直接根据一次函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 【题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【典例】一次函数的图象与轴的交点坐标为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法，熟练掌握 “函数图象与y轴交点的横坐标为0” 这一特点是解题的关键．求一次函数图象与轴的交点坐标，需令，代入函数解析式计算的值 【详解】解：令，则， 故一次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将一次函数向下平移3个单位，则平移后的图象与轴的交点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题．利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得到，进一步计算即可求解． 【详解】解：将函数的图象向下平移3个单位，得到， 当时，， 解得：， ∴平移后的图象与轴的交点坐标为， 故选：B． 【跟踪专练2】已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【答案】 【分析】分别令和，求出直线与轴、轴的交点坐标，进而得到两条直角边、的长度，根据勾股定理计算斜边的长度，将、、的长度相加，得到的周长． 【详解】解：令，代入直线方程，得， ∴点的坐标为，； 令，代入直线方程，得，解得， ∴点的坐标为，则； ∵是直角三角形， ∴； ∴的周长为． 【跟踪专练3】能表示一次函数与正比例函数（m，n是常数，且）的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】主要考查了一次函数的图象和性质，要掌握它的性质才能灵活解题．根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：A、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A选项错误； B、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项错误； C、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C选项正确； D、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误． 故选：C． 【题型7.画一次函数图象】 【典例】若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象．在函数中运用数形结合的思想是解题的关键． 根据一次函数图象过、，在平面直角坐标系中作一次函数图象，然后作答即可． 【详解】解：如图， ∵一次函数的图象经过利点， ∴函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 【跟踪专练1】函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可． 【详解】解：∵， ∴函数的图像大致是   ， 故选C． 【点睛】本题考查了分段函数图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键． 【跟踪专练2】计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为___________；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是___________．    【答案】 3 【分析】利用函数和的图象交点个数判断方程的解的个数，作出直线，然后通过比较直线与函数和的图象的交点位置判断m、n的大小． 【详解】解：由函数图象可知，函数和的图象有三个交点， 所以方程的解的个数为3； 作直线，如图，函数的图象与直线的交点在的图象与直线的交点的右侧， 则． 故答案为3；．    【点睛】本题考查图象法解方程和不等式，解题的关键是利用图象的交点，解方程和不等式． 【跟踪专练3】如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】首先去绝对值，列出分段函数，再画出函数图像，与所给图像进行对比，即可得出答案． 【详解】解：由可得， 函数图像如下所示： 对比所给图像可知，点是坐标系的原点． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是列出分段函数． 【题型8.一次函数图象平移问题】 【典例】将函数的图象沿y轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函数表达式是_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的函数解析式为； 故答案为：． 【跟踪专练1】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，掌握好平移的规律是关键． 利用“左加右减”的平移法则得到平移后的解析式，再根据对应系数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数图象平移遵循“左加右减”（针对自变量）的法则， ∴将函数的图象向右平移个单位后，解析式为， 又∵平移后得到函数， ∴，且， ∴，解得． 故选：A． 【跟踪专练2】将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则____________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的平移规律，根据“函数图象上下平移时，斜率不变，截距相应变化”，结合平移后图象重合的条件，列方程求解参数、． 【详解】解：一次函数图象向下平移个单位，平移后的函数解析式为： ． ∵平移后的函数图象与一次函数 的图象重合， ∴对应项系数相等，即 且 ． 解得 ：，． ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移规律，解题关键是掌握“上下平移时，斜率不变，截距随平移方向加减相应单位”，再通过图象重合的条件列方程求解参数． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识，结合题意，根据一次函数的性质可得：，原函数为，向上平移3个单位后得到，由各选项中点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，取k值为负的选项即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y随x的增大而减小， ∴， 原函数为，向上平移3个单位后得到 A．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； B．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； C．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； D．当，时，则，解得，符合题意，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型9.判断一次函数的增减性】 【典例】对于函数，y随x的增大而_____． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数（其中k、b是常数，且），当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 【跟踪专练1】下列函数中的函数值y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数中，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 根据各选项的k值判断即可． 【详解】解：A、k的正负不确定，无法判断； B、，y随x增大而增大； C、，y随x增大而增大； D、，y随x增大而减小． 故选：D． 【跟踪专练2】已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则_______（用“>”或“<”填空）． 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断得出一次函数的系数，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵为常数， 故 ∴； ∴随的增大而增大， 故函数图象上的两点，，当时，． 故答案为：>． 【跟踪专练3】、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； 根据一次函数的性质可得与异号，即可求解． 【详解】解：， 随的增大而减小， 当时，，当时，， 与异号， ， 故选：A． 【题型10.根据一次函数增减性求参数】 【典例】已知直线经过点，，当时，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解决本题的关键． 由“当时，，”这一条件，可判断y随x的增大而减小，即可求解m的取值范围． 【详解】解：∵在一次函数中，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴，解得． 故答案为： ． 【跟踪专练1】已知一次函数，当时，的最大值是（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．先由得到当时有最大值，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，一次函数在有最大值， 即， 故选：C． 【跟踪专练2】已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第二象限，且过点，记，则W的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由一次函数图象经过第二象限且，可得；代入点坐标求得b与k的关系式，进而得到k的取值范围；代入W的表达式，利用一次函数的单调性求W的范围 ． 【详解】解：因为一次函数（）的图象经过第二象限， 所以， 又因为图象过点，代入得：，即， 由，得，解得， 结合，得， 所以， 由于，所以 ； 故答案为：． 【跟踪专练3】当时，一次函数满足，则常数a的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意，一次函数在上的值恒小于10，即函数在该范围的最大值小于10，因为一次函数的增减性由a的符号决定，故需分和两种情况讨论：当时，函数为增函数，在处取得最大值；当时，函数为减函数，在处取得最大值．分别使最大值小于10，结合即可求出a的取值范围． 【详解】解：当时，函数为一次函数，它是递减的， 当时，． 则有当，， 解得：， 故此时：； 当时，函数为一次函数，它是递增的， 当，，解得； 故可得此时， 综上所述，且． 故选：C． 【题型11.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【典例】如图，一次函数的图像经过点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】先由图像得到一次函数的增减性，再由的图像可知时，可确定的解集． 【详解】解：由图像可得，当时，，且y随x的增大而减小， 则当时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像性质，解答本题的关键是数形结合． 【跟踪专练1】若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点都在一次函数的图象上，且， ∴， 故选C． 【跟踪专练2】如果函数，当时，求此函数的解析式是 ____________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是关键． 分时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，当时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【详解】解：当时，则y随x增大而增大， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 综上所述，此函数解析式为或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握知识点的应用是解题的关键． 由直线的，则随的增大而增大，当时，，然后根据时，，即，所以，从而求解． 【详解】解：∵直线的， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． ∵当时，，即， ∴，A选项正确，B选项错误； ∵当时，，即， ∴与 1 的大小关系不确定，C选项错误，D选项错误； 故选：． 【题型12.比较一次函数值的大小】 【典例】已知，是一次函数图象上的两个点，则____n．（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． 根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小作答即可． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而减小． ∵点A的横坐标2大于点B的横坐标1， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，正确判断一次函数的增减性是解题的关键． 根据一次函数的性质可知随的增大而增大，再根据图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴随的增大而增大， ∵点、，都在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】一次函数的图象不经过第三象限，，且这四点都在直线上，则_______0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质及增减性．根据一次函数的图象不经过第三象限判断k的正负，从而得到y的增减性．根据，在一次函数图象上，判断m和n的大小，从而判断的正负和的大小关系，最后再根据也在一次函数图象上即可判断c，d的大小关系，从而判断的正负，从而可判断的正负． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴． ∵在一次函数图象上，且， ∴， ∴，， 又∵在一次函数图象上， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】函数的图像记为（为常数），图像上任意不同的两点、都满足：当时，，则的值可以是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质．根据题意得出，再结合时的函数值不小于的函数值得出关于k的不等式组，据此求出k的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为当时，恒成立，且函数中y随x的增大而减小， 所以中的y也随x的增大而减小，且时的函数值不小于的函数值， 则， 解得， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【题型13.一次函数的规律探究问题】 【典例】直线与直线互相平行，则常数的值为_______． 【答案】6 【分析】直接根据两直线平行的条件即可得出结论． 【详解】解：直线与直线平行， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查的是两条直线相交或平行问题，熟知若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同，是解答此题的关键． 【跟踪专练1】如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数规律探索问题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，对于直线，令求出y的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出B2的横坐标，即可求出的长，同理求出，，…，归纳总结即可得到的长．弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】解：对于直线，令，求出， ， 轴， 的纵坐标为2， 将代入中得：， ， ， 轴， 的横坐标为2， 将代入直线中得：， ， 与的纵坐标为4， 将代入中得：， ， ， 同理，…，， 则的长为． 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、规律型：点的坐标及坐标与图形变化平移，能根据题意得出点的坐标可表示为是解题的关键．根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：令，则， 在中，， 解得舍负， 则， 所以点坐标为， 因为由沿射线方向平移个单位长度得到， 即向上平移个单位长度，再向右平移一个单位长度， 所以点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， 点的坐标为， ， 所以点的坐标可表示为， 当时，点的坐标为 故答案为： 【跟踪专练3】正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【题型14.求一次函数解析式】 【典例】已知一次函数，当时，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求解，解题的关键在于将已知的自变量和对应的函数值代入函数表达式，建立方程求解未知参数．将，代入函数，求解关于的方程即可解答． 【详解】解：将，代入函数， 得， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数解析式的确定方法，核心是使用待定系数法，通过已知点坐标代入函数式建立方程组求解参数．注意代入计算时符号的处理，避免因粗心导致错误． 【详解】∵点在上， ， . ∵点在上， ， 即. . 故选A 【跟踪专练2】已知函数的部分自变量的值和对应的函数值如下表所示，则这个一次函数的解析式为___________． x … 0 1 … y … 0 3 6 9 … 【答案】 【分析】利用待定系数法，选取表格中两组自变量与函数的对应值代入一次函数解析式，构建关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数解析式． 【详解】解：选取表格中，和，两组对应值代入中， 可得， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为． 【跟踪专练3】观察如下图形和表格，判断图形的周长m与小梯形的个数n之间的函数关系式是（    ） 小梯形的个数n 1 2 3 4 … 图形的周长m 5 8 11 14 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了找规律和一次函数，熟练找出规律是解题的关键； 根据表格所给数据找出图形周长与小梯形个数的关系． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时； 当时，；……． 由此规律可得． 故选：D． 【解答题】 1．已知一次函数，根据给定的条件，确定实数的值． (1)图象经过第二、三、四象限； (2)图象与轴的交点在轴上方． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一次函数图象经过的象限列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）根据一次函数的定义和图象与轴的交点在轴上方列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过第二、三、四象限， ， 解得 （2）∵图象与轴的交点在轴上方， ，， ， 2．已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 【答案】(1)见详解 (2)随着的增大，直线与y轴的夹角减小 (3) 【分析】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． （1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【详解】（1）解：依题意，令时，则，，，． 如图： （2）解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大直线与轴的夹角越小． （3）解：由（2）规律可知，， 由图可知， ∴ 故答案为：． 3．在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 【答案】图见解析，直线、直线和直线互相平行 【详解】解：作图如下， ∴直线、直线和直线互相平行． 4．如图，在长方形电子屏中，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发，沿边以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，当经过点时，完成下列问题． (1)求直线的函数表达式． (2)求此时点的运动时间． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)此时点的运动时间为 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解可得． （2）根据，求出时x的值，即可得的长，再除以P点运动的速度即可求出点的运动时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． 将点和点代入上式，得， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：由（1），可得直线的函数表达式为． 令，则， 解得， 即， ． 答：此时点的运动时间为． 5．已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）根据一次函数的性质可得当时，函数值y随x的增大而减小，求解即可； （2）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小 ∴ ∴； （2）∵该函数图象经过第一、三、四象限 ∴ ∴． 6．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $