第23章 四边形（复习讲义，6知识&12题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第23章 四边形（复习讲义） 1.理解多边形的概念，牢记多边形内角和公式和外角和恒为360°，能准确进行简单计算与应用，区分凸多边形与凹多边形的特征。 2. 掌握平行四边形的定义、性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）和判定定理（两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分），能识别平行四边形并进行基础计算。 3. 明确矩形、菱形、正方形的定义，掌握它们的特殊性质与判定方法，理解三者与平行四边形的从属关系（特殊平行四边形）。 4. 掌握三角形中位线定理，了解三角形重心的性质，能运用中位线定理解决简单的线段平行、长度计算问题。 知识点01：多边形的有关概念 1.多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  3.多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 (n–2)个三角形，n边形的对角线条数为  4.多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 5.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 6.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 知识点02：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 3.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 4.平行四边形的性质： 1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 5.两条平行线之间的距离 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质 (1) 两条平行线之间的距离处处相等；(2) 夹在两条平行线间的平行线段相等 作图方法 如图所示，直线 ，在直线 上任取一 点 ，过点 向直线 作垂线，垂足为点 ，则线段 的长即为 ， 两条平行线 之间的距离 注意 (1)距离是指垂线段的长度，它是正数； (2)当两条平行线确定后，它们之间的距离是一定值，不随位置的改变而改变； (3) 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置 5.四边形具有不稳定性. 6.平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 知识点03：矩形的性质与判定 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 3.矩形的判定： 1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点04：菱形的性质与判定 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质： 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 3.菱形的判定： 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 4.四边形、平行四边形、菱形的关系 （1）四边形→平行四边形：当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等，两组对边分别平行， 两组对边分别相等 （2）平行四边形 → 菱形：当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等，对角线互相垂直 （3）四边形 → 菱形（直接判定）：当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 5.菱形的面积 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt ≌Rt ≌Rt ≌Rt ； （2） ； （3） 知识点05：正方形的性质与判定 1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2.正方形的性质： 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 3.正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系与区别 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 知识点06：三角形的中位线与重心 1.中位线与中位线定理 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图，在 中，、 分别是边 、 的中点，于是线段 就是 的一条中位线.每一个三角形有三条中位线. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 2.三角形的中线与中位线的区别与联系: (1)区别:三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点;而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点. (2)联系:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 3.关于三角形的三条中位线的结论 (1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半; (2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 4.三角形中位线定理的作用 (1)证明位置关系:可以证明两条直线平行; (2)证明数量关系:可以证明线段的相等或倍分. 5.三角形的重心 三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 题型一 多边形内角和与边数、对角线互求 【例1】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-1】（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23八年级下·上海静安·期中）若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是___________． 题型二 正多边形角度计算 【例2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知一个凸多边形的每个内角都是，那么它的边数为_____． 【变式2-1】如果一个正多边形每一个内角都等于，那么这个正多边形的内角和是______． 【变式2-2】（24-25八年级下·上海·月考）一个边形的每个外角都相等且等于，那么_____． 【变式2-3】（22-23八年级下·上海黄浦·月考）若十边形的每个内角都相等，则该十边形每个内角度数为__________． 题型三 多边形外角和的应用 【例3-1】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【例3-2】（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 【变式3-1】（22-23八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式3-2】（23-24八年级下·上海·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【变式3-3】（23-24八年级下·上海·月考）一个多边形的内角和是，则这个多边形是______边形． 题型四 平行四边形性质的应用（角度、线段计算） 【例4】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【变式4-2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则__________． 【变式4-3】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 题型五 平行四边形的判定证明 【例5】（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【变式5-1】（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【变式5-2】（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 题型六 平行四边形与多结论问题 【例6】（22-23八年级下·上海宝山·期中）点A、B、C、D在一个平面内，若从①；②；③；④．这四个条件中选两个，但不能推导出四边形是平行四边形的选项是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．①③ 【变式6-1】（24-25八年级下·上海青浦·月考）下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】下列说法：（1）多边形边数增加条时，它的内角和增加；（2）在四边形中，对角线AC，BD交于点O，，，那么这个四边形是平行四边形；（3）三角形的外角和小于其它多边形的外角和；（4）边形共有条对角线；（5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下面有四个命题： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-4】（2024·上海静安·三模）某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 题型七 特殊平行四边形的性质计算 【例7-1】（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是______． 【例7-2】（24-25八年级下·上海·月考）已知菱形的周长为，对角线之和为8，则菱形的面积为_____． 【例7-3】（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为______． 【变式7-1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 【变式7-2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）在菱形中，，则___________度． 【变式7-3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为_____． 【变式7-4】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 【变式7-5】（22-23八年级下·上海·月考）正方形的对角线长为8，O是的中点，点E、F分别在、边上，且，那么四边形的面积为__________． 题型八 特殊平行四边形的判定证明 【例8】（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【变式8-1】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交的延长线于点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结，如果，求证：四边形是矩形． 【变式8-2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【变式8-3】（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【变式8-4】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 题型九 特殊平行四边形的多结论问题 【例9】（24-25八年级下·上海·月考）下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点E修一条笔直的小路（点F在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 题型十 三角形中位线与重心 【例10-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【例10-2】（22-23八年级下·上海普陀·期末）在中，，，，那么它的重心到点的距离是______． 【变式10-1】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【变式10-3】（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为________． 【变式10-4】（24-25八年级下·上海·月考）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 题型十一 四边形综合计算与证明 【例11】（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 【变式11-1】（25-26八年级上·上海·期末）将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【变式11-2】如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【变式11-3】在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（点E、F相遇时除外）？请说明理由． (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【变式11-4】【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 题型十二 四边形作图 【例12】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究． (1)概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）．    (2)性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．    (3)综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．    【变式12-1】（25-26九年级上·上海杨浦·期中）探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【变式12-2】下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    【变式12-3】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． (3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 基础巩固通关测 一、单选题 1．有两个多边形，它们的边数之比为，内角和之比为，则这两个多边形的边数之和为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 2．（24-25八年级下·上海·月考）如果平行四边形的两条对角线长分别是8和12，那么它的边长不能是（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 3．（22-23八年级下·上海长宁·月考）下面命题正确的个数是（　　） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形        ②对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形            ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是______． 5．（25-26八年级上·上海·月考）平行四边形一组对角的和为，那么这个平行四边形中较小内角的度数为________． 6．（24-25八年级下·上海·月考）若的周长为40厘米，的周长是25厘米，则对角线的长为_________厘米． 7．（24-25八年级下·上海·月考）菱形的对角线分别是和，那么这个菱形的高为________． 8．（22-23八年级下·上海黄浦·月考）顺次连接三角形三边的中点所构成的三角形周长为16，那么原来的三角形周长是____________． 9．（22-23八年级下·上海·月考）如图，正方形的边长是2厘米，点E为边BC延长线上一点，且，交于F，则__________厘米    10．（23-24八年级下·上海宝山·月考）我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于______． 三、解答题 11．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 能力提升进阶练 1．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉摆放，使得重叠部分是一个菱形（如图），那么该菱形的边长m的取值范围是______． 2．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是________． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 5．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”． (1)如图①，在四边形中，，点P在边上且是四边形的“映角点”，若，则的度数为 °； (2)如图②．在四边形中，，点P在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点E，求证：． 6．小华在学习特殊的平行四边形的性质时发现，对于平行四边形，不论是成为矩形还是菱形时，都有成立． (1)小华好奇对于一般的平行四边形，该结论仍成立吗？请证明其成立或说明不能确保成立的理由； (2)在中，设，，，是边上的中线，小华认为中线与的三边有恒定的关系，希望求出根据三角形三边长求其中一边上的中线长的关系式，你认为是否存在这样的关系？如果存在这样的关系，请用关于三边长，，的代数式表示中线长；若不存在，请说明理由；（若第（1）问的结论证为真，那么在本题中可作为定理使用） (3)若三角形的一边上的中线长与这条边长相等，那么称这种三角形为“中等三角形”，这条边为“中等线”．若中，，是中等的中等线，求边上的中线的长．（若前两问的结论证为真，那么在本题中可以作为定理使用） 7．如图1，四边形ABCD是长方形，，，，，，点E是边上一点，连接，过点E作的垂线，交于点F，将沿所在直线翻折得到，其中点G是点B的对应点． (1)如图2，连接，若，直接写出的长为________； (2)连接DG，若是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，连接，若的延长线正好经过点D，直接写出的面积为________． 8．已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 9．小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． (1)折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； (2)转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求的面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 四边形（复习讲义） 1.理解多边形的概念，牢记多边形内角和公式和外角和恒为360°，能准确进行简单计算与应用，区分凸多边形与凹多边形的特征。 2. 掌握平行四边形的定义、性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）和判定定理（两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分），能识别平行四边形并进行基础计算。 3. 明确矩形、菱形、正方形的定义，掌握它们的特殊性质与判定方法，理解三者与平行四边形的从属关系（特殊平行四边形）。 4. 掌握三角形中位线定理，了解三角形重心的性质，能运用中位线定理解决简单的线段平行、长度计算问题。 知识点01：多边形的有关概念 1.多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  3.多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 (n–2)个三角形，n边形的对角线条数为  4.多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 5.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 6.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 知识点02：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 3.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 4.平行四边形的性质： 1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 5.两条平行线之间的距离 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质 (1) 两条平行线之间的距离处处相等；(2) 夹在两条平行线间的平行线段相等 作图方法 如图所示，直线 ，在直线 上任取一 点 ，过点 向直线 作垂线，垂足为点 ，则线段 的长即为 ， 两条平行线 之间的距离 注意 (1)距离是指垂线段的长度，它是正数； (2)当两条平行线确定后，它们之间的距离是一定值，不随位置的改变而改变； (3) 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置 5.四边形具有不稳定性. 6.平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 知识点03：矩形的性质与判定 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 3.矩形的判定： 1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点04：菱形的性质与判定 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质： 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 3.菱形的判定： 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 4.四边形、平行四边形、菱形的关系 （1）四边形→平行四边形：当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等，两组对边分别平行， 两组对边分别相等 （2）平行四边形 → 菱形：当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等，对角线互相垂直 （3）四边形 → 菱形（直接判定）：当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 5.菱形的面积 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt ≌Rt ≌Rt ≌Rt ； （2） ； （3） 知识点05：正方形的性质与判定 1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2.正方形的性质： 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 3.正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系与区别 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 知识点06：三角形的中位线与重心 1.中位线与中位线定理 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图，在 中，、 分别是边 、 的中点，于是线段 就是 的一条中位线.每一个三角形有三条中位线. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 2.三角形的中线与中位线的区别与联系: (1)区别:三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点;而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点. (2)联系:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 3.关于三角形的三条中位线的结论 (1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半; (2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 4.三角形中位线定理的作用 (1)证明位置关系:可以证明两条直线平行; (2)证明数量关系:可以证明线段的相等或倍分. 5.三角形的重心 三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 题型一 多边形内角和与边数、对角线互求 【例1】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为， ∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为， ∵， ∴内角和将增加， 故选：C． 【变式1-2】（22-23八年级下·上海静安·期中）若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴这个多边形是八边形， ∴这个多边形的内角和为， 故选C． 【变式1-3】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是___________． 【答案】 【详解】解：∵从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线， ∴， ∴， ∴这个边形的内角和是， 故答案为：． 题型二 正多边形角度计算 【例2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知一个凸多边形的每个内角都是，那么它的边数为_____． 【答案】6 【详解】解：设凸多边形的边数为， 根据题意得，， 解得， 故答案为：6． 【变式2-1】如果一个正多边形每一个内角都等于，那么这个正多边形的内角和是______． 【答案】 【详解】解：这个多边形的边数是， 则内角和是， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·上海·月考）一个边形的每个外角都相等且等于，那么_____． 【答案】5 【详解】解：∵边形的每个外角都相等且等于， ∴， 故答案为：5． 【变式2-3】（22-23八年级下·上海黄浦·月考）若十边形的每个内角都相等，则该十边形每个内角度数为__________． 【答案】 【详解】解：十边形的每个内角都相等， 这个十边形是等边十边形，则由多边形外角和为可得每一个外角为， 由邻补角定义可得该十边形每个内角度数为， 故答案为：． 题型三 多边形外角和的应用 【例3-1】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：因为多边形外角和为，所以外角和的度数是不变的． 故选：A． 【例3-2】（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】（22-23八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数是14． 故选：C． 【变式3-2】（23-24八年级下·上海·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【详解】解：设多边形的边数为，则内角和为，外角和为， 根据题意得， 即， 解得． 故答案为：6． 【变式3-3】（23-24八年级下·上海·月考）一个多边形的内角和是，则这个多边形是______边形． 【答案】18 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， ∴． 故答案为：18． 题型四 平行四边形性质的应用（角度、线段计算） 【例4】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【答案】C 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则__________． 【答案】5 【详解】解：∵的周长为． ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 即， ∴ 解得， ∴． 故答案为：5． 【变式4-3】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 【答案】40 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 题型五 平行四边形的判定证明 【例5】（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点，点E在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积是． 【变式5-1】（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 【变式5-2】（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ． 题型六 平行四边形与多结论问题 【例6】（22-23八年级下·上海宝山·期中）点A、B、C、D在一个平面内，若从①；②；③；④．这四个条件中选两个，但不能推导出四边形是平行四边形的选项是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．①③ 【答案】B 【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；故D不符合题意； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；故C不符合题意； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可选①②或③④；故A不符合题意； 一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．故B符合题意； 故选B． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海青浦·月考）下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①夹在两条平行线之间的平行线段相等，故此命题是真命题； ②多边形的内角中至多有3个锐角，故此命题是真命题； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，故此命题是真命题； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成的四个小三角形的面积相等，故此命题是真命题. 由此可得：真命题有4个. 故选：D． 【变式6-2】下列说法：（1）多边形边数增加条时，它的内角和增加；（2）在四边形中，对角线AC，BD交于点O，，，那么这个四边形是平行四边形；（3）三角形的外角和小于其它多边形的外角和；（4）边形共有条对角线；（5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：（1）当多边形边数增加1条时，它的内角和增加180°，说法正确． （2）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，那么这个四边形是平行四边形，原说法正确． （3）三角形的外角和等于其它多边形的外角和，原说法错误． （4）n边形共有条对角线，原说法错误． （5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角，说法正确； 故选：C． 【变式6-3】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下面有四个命题： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故②正确； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故③错误； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不能判定四边形是平行四边形，故④错误；∴正确的命题为：①②． 故选：B． 【变式6-4】（2024·上海静安·三模）某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 【答案】B 【详解】如图，过A作交的延长线于点E， ∵， ∴即， 当时， ∴， 则， 如图，过点B作交于点F， ∴四形为平行四边形， ∴， 如图，在中， ∵ ∴即， ∴， ∴， 故①错误； 如图，设，交于点O， ∵， ∴， ，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ， 故②正确， 故选：B． 题型七 特殊平行四边形的性质计算 【例7-1】（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【例7-2】（24-25八年级下·上海·月考）已知菱形的周长为，对角线之和为8，则菱形的面积为_____． 【答案】4 【详解】解：如图，四边形是菱形，对角线与相交于点， ∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为， ∵对角线的和为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【例7-3】（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，把绕点顺时针旋转使得与重合，得到，连接．连接，则， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 根据旋转， ， ∴， ，，在一条直线上， ， 在与中， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ∵在正方形中，， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）在菱形中，，则___________度． 【答案】56 【详解】解：如图，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：56． 【变式7-3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为_____． 【答案】10 【详解】解：设菱形为，对角线为另一条对角线，交点为O． ∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴，且． 在中，由勾股定理得：． 已知菱形边长，则， 即， ， 解得． ∴另一条对角线． 故答案为：． 【变式7-4】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 【答案】2 【详解】解：延长、相交于M， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-5】（22-23八年级下·上海·月考）正方形的对角线长为8，O是的中点，点E、F分别在、边上，且，那么四边形的面积为__________． 【答案】8 【详解】解：在正方形中， ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 题型八 特殊平行四边形的判定证明 【例8】（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 【变式8-1】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交的延长线于点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结，如果，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【变式8-2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【详解】（1）证明：分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点、点和点重合，即于点， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是矩形． 【变式8-3】（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【详解】（1）解：四边形是菱形（特殊位置时为正方形）． 证明：两张完全相同的长方形纸条， ，， 四边形是平行四边形 过点A分别作，，垂足分别是点E、F， ，， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）解：当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，正方形边长等于长方形纸条的宽，即， 所以最小面积为； 设菱形 的边长为，在由长方形长的剩余部分与宽构成的直角三角形中，一条直角边为长方形的宽 5cm，另一条直角边为，斜边为菱形边长， 根据勾股定理， 解得： 最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长为底的四边形，最大面积为 ． 【变式8-4】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 题型九 特殊平行四边形的多结论问题 【例9】（24-25八年级下·上海·月考）下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：（1）不是确定事件，不符合题意，一组对边平行且相等才是平行四边形，仅一组对边平行且另一组对边相等可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； （2）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线互相平分，若对角线相等，则符合矩形的判定定理，故该命题成立； （3）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线平分一组对角时，邻边相等，四条边均相等，故为菱形； （4）不是确定事件，不符合题意，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，若其不是平行四边形（如对角线不互相平分），则无法保证是正方形； 综上，是确定事件的有（2）和（3），共2个， 故选：B； 【变式9-1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 故选：C． 【变式9-2】如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，；故①正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【变式9-3】如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴，故①正确． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故②正确． ∵， ∴． ∴，， ∴，故④正确； 如图所示：连接， ∵， ∴， 而， ∴，故③错误． 综上，只有③错误． 故选：A． 【变式9-4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点E修一条笔直的小路（点F在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点H， 则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①错误； 如图，根据题意得平分梯形的面积， ∴ ， ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， 故点E作交于点G， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，，故②正确； 故选：B． 题型十 三角形中位线与重心 【例10-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【答案】 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 【例10-2】（22-23八年级下·上海普陀·期末）在中，，，，那么它的重心到点的距离是______． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点， 点为的重心， 为边上的中线，， ， ， ，，， ， ， 即三角形的重心到点的距离是． 故答案为：． 【变式10-1】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式10-2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【答案】 【详解】∵四边形是矩形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F、G分别为中点， ∴， ∴， ∵四边形周长为8 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为． 【变式10-3】（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为________． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接、交于点O． ∵点E，F，G，H分别是菱形的边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：． 【变式10-4】（24-25八年级下·上海·月考）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【详解】解：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）． 题型十一 四边形综合计算与证明 【例11】（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ， 由（1）得：， 设，则，在Rt中，由勾股定理得， 解得：， ， ∴的面积； （2）证明：由折叠的性质得：， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若不平行于 ∴四边形是梯形 ∵ ∴四边形是等腰梯形 （3）解：分 4 种情况： 如图，当时，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的中点， 在 中，， ； 如图，当时， ， ， 由折叠的性质得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 在同一直线上， ， 中，， ； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去。 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 【变式11-1】（25-26八年级上·上海·期末）将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ， ， 即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2：连接， 根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形， ，，， 即， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （3）解：如图3，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 如图4：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 【变式11-2】如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴和根据勾股定理得： ，； （2）在和中，根据勾股定理得： ，， ， ， ∴； （3）∵和是等腰直角， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （4）①四边形是垂美四边形；理由如下： ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形； ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角， ∴， ， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【变式11-3】在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（点E、F相遇时除外）？请说明理由． (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【变式11-4】【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，    ∴， ∵点F落在边上， 由折叠得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的面积； 故答案为：72； （2）解：如图2，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积； （3）解：分两种情况： ①如图3，点G在点B的右侧，连接，    ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 此时点G与C重合， ∴矩形的面积； ②如图4，点G在点B的左侧，连接，      同理， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴矩形的面积 综上，矩形的面积是48或144． 题型十二 四边形作图 【例12】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究． (1)概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）．    (2)性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．    (3)综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．    【详解】（1）解：图①和图③没有对角互补，不是邻等对补四边形，图②和图④对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）已知条件：四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：． 证明：作于E，延长线于F，    ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是邻等对补四边形， ∴ ①如图所示，当时，连接    ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴； ②如图所示，当时，连接，    ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴ ∴； ③如图所示，当时，连接，    ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴． 综上所述，或或． 【变式12-1】（25-26九年级上·上海杨浦·期中）探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【详解】解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底， ∴与面积相等的三角形是； 故答案为； 问题探究：由网格可知：， ∴， 所以所作如图所示： 问题拓展：所作如图所示： 分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 【变式12-2】下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    【详解】解：（1）依据1：三角形中位线定理， 依据2：平行四边形对角线互相平分， 故答案为：三角形中位线定理， 平行四边形对角线互相平分； （2）如图，点即为的重心．    （3）如图，延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点，     ，，， ， ，，， ， ， 即． 【变式12-3】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． (3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求， （2）如图，即为所求， （3）如图，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 基础巩固通关测 一、单选题 1．有两个多边形，它们的边数之比为，内角和之比为，则这两个多边形的边数之和为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【详解】解：设边数分别为，则 ， 解得： ∴这两个多边形的边数之和为： 故选B 2．（24-25八年级下·上海·月考）如果平行四边形的两条对角线长分别是8和12，那么它的边长不能是（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：如图，在平行四边形中，对角线，，且交于点O， ∴， ∴， ∴ ∴平行四边形的边长不可能是10． 故选A． 3．（22-23八年级下·上海长宁·月考）下面命题正确的个数是（　　） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形        ②对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形            ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； ②对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题； ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，是真命题； 故选：． 二、填空题 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是______． 【答案】5 【详解】解：多边形的外角和恒为，因此内角和为， 设边数为n，则， 即， 解得． 故答案为：5． 5．（25-26八年级上·上海·月考）平行四边形一组对角的和为，那么这个平行四边形中较小内角的度数为________． 【答案】 【详解】解：如图，在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在这个平行四边形中较小的一个内角等于． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海·月考）若的周长为40厘米，的周长是25厘米，则对角线的长为_________厘米． 【答案】5 【详解】解：∵四边形是平行四边形，它的周长为40厘米， ∴，，且厘米， ∴厘米， ∴厘米， ∵的周长是25厘米， ∴厘米， ∴厘米， 故答案为：5． 7．（24-25八年级下·上海·月考）菱形的对角线分别是和，那么这个菱形的高为________． 【答案】 【详解】解：菱形的边长为，面积为， 设高为，则， 解得：， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·上海黄浦·月考）顺次连接三角形三边的中点所构成的三角形周长为16，那么原来的三角形周长是____________． 【答案】32 【详解】解：根据题意可知，原三角形的周长 故答案为：32． 9．（22-23八年级下·上海·月考）如图，正方形的边长是2厘米，点E为边BC延长线上一点，且，交于F，则__________厘米    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为2， ∴，， ∴， ∵， 即， 解得：， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·上海宝山·月考）我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于______． 【答案】5 【详解】解：如图：四边形为等腰梯形，， 过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 三、解答题 11．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是的中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 能力提升进阶练 1．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉摆放，使得重叠部分是一个菱形（如图），那么该菱形的边长m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：当两矩形纸条垂直时，菱形是正方形，菱形的边长最小，， 当两纸条如图摆放时，菱形的边长最大， ∵矩形长是8，宽是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是________． 【答案】 【详解】解：设点的对应点为点，连接， ∵正方形边长为1， ∴， 由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 【答案】 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 【答案】或． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点M，延长交于点N， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E恰好在的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则， 由折叠的性质得：， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”． (1)如图①，在四边形中，，点P在边上且是四边形的“映角点”，若，则的度数为 °； (2)如图②．在四边形中，，点P在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点E，求证：． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：60； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．小华在学习特殊的平行四边形的性质时发现，对于平行四边形，不论是成为矩形还是菱形时，都有成立． (1)小华好奇对于一般的平行四边形，该结论仍成立吗？请证明其成立或说明不能确保成立的理由； (2)在中，设，，，是边上的中线，小华认为中线与的三边有恒定的关系，希望求出根据三角形三边长求其中一边上的中线长的关系式，你认为是否存在这样的关系？如果存在这样的关系，请用关于三边长，，的代数式表示中线长；若不存在，请说明理由；（若第（1）问的结论证为真，那么在本题中可作为定理使用） (3)若三角形的一边上的中线长与这条边长相等，那么称这种三角形为“中等三角形”，这条边为“中等线”．若中，，是中等的中等线，求边上的中线的长．（若前两问的结论证为真，那么在本题中可以作为定理使用） 【详解】（1）解：结论成立，理由如下： 过点作于，过点作于，连接、． ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中：， 在中：， 在中：， ∴， 展开得：， ∵， ∴， 又∵平行四边形中，， ∴； （2）解：存在，中线长关系式为，推导如下： 延长到，使，连接、． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）的结论：， ∵，， ∴， 化简得：， ∴； （3）解：∵是中等线， ∴， 由（2）的中线公式得， ∵，， ∴ 解得． 7．如图1，四边形ABCD是长方形，，，，，，点E是边上一点，连接，过点E作的垂线，交于点F，将沿所在直线翻折得到，其中点G是点B的对应点． (1)如图2，连接，若，直接写出的长为________； (2)连接DG，若是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，连接，若的延长线正好经过点D，直接写出的面积为________． 【详解】（1）解：∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴在中，. （2）解：若是以为腰的等腰三角形，分两种情况： ①当，如图所示，设， ∵， ∴， 由翻折可得：， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ②当，如图所示，设，过D点作， ∵， ∴， 由翻折可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 由翻折可得：， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴. 综上：或. （3）解：连接，若的延长线正好经过点D，如图所示， 由翻折可知： ，，， ∵的延长线正好经过点D， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ∵, ∴. 8．已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为N，在上取点M，使，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 9．小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． (1)折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； (2)转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求的面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 【详解】（1）解：如图1，延长至点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形是正方形，且边长， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴（舍）， ∴， 故答案为：45，； （2）①如图2，由旋转得：， 延长至点Q，使，连接，过点A作于点E， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； ②分两种情况： i）如图3，，过点M作于点G，则， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ii）如图4，， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，线段的长度或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $