专题1.9 菱形的判定（1大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题1.9 菱形的判定 教学目标 1. 理解并掌握菱形的三种判定方法，能准确说出定义判定、四边相等判定、对角线互相垂直的平行四边形判定的条件。 2. 经历菱形判定定理的探究与证明过程，提升几何推理与逻辑表达能力。 3. 能根据已知条件选择合适的判定方法，进行简单的证明与判断，区分菱形判定与性质的不同用法。 教学重难点 1.重点 （1）掌握菱形的三个判定定理，明确判定的前提条件，区分是在平行四边形基础上判定，还是在任意四边形基础上判定。 （2）能规范运用判定定理进行几何证明，正确书写推理步骤，解决与菱形判定相关的基础几何问题。 2.难点 （1）准确区分菱形判定与平行四边形、矩形判定的异同，不混淆条件，尤其是对角线相关判定的适用前提。 （2）灵活综合运用平行四边形性质与菱形判定，解决多条件、多步骤的几何证明题，建立清晰的判定思路。 知识点01 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 【即学即练1】1．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定方法．矩形是有一个角是直角的平行四边形或对角线相等的平行四边形，矩形是对角线相等的平行四边形，据此求解即可． 【详解】解：选项A：，对角线互相垂直，平行四边形成为菱形，不一定是矩形，不符合题意； 选项B：对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项C：，是平行四边形对边相等的性质，不能判定矩形，不符合题意； 选项D：，是平行四边形对角相等的性质，不能判定矩形，不符合题意． 故选B． 2．如图，要使是菱形，需添加的条件是________． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：或． 故答案为∶ 或 3．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 题型01 添加条件使四边形为菱形 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项能否判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴不能判定为矩形． 选项B： ∵是边长与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C： 是边与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D： ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，证得四边形是平行四边形是解题的关键． 当平分时，四边形是菱形，可先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题． 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：， ， 平分， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 其余选项均无法判断四边形是菱形， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 题型02 证明四边形是菱形 【典例2】（25-26九年级下·四川达州·开学考试）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理； （1）由平行线的性质结合角平分线的定义得出，由等角对等边得出，结合推出四边形是平行四边形，再由即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质结合直角三角形的性质得出，再由菱形的面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ，， 【变式2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质求出，，然后利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：证明：， ． 为的平分线， ， ， ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ． ， ． ， ， 菱形的面积为． 故答案为：4． 【变式3】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，平行四边形，M，N分别是的中点，，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作于点E，交于点P．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出边之间的关系，然后根据直角三角形斜边中线定理得出相等的边，先证明平行四边形，再证明菱形即可； （2）根据菱形的性质以及角的关系和度数求出，然后利用锐角三角函数和含角的直角三角形的性质得出相关线段的长度，根据平行四边和等边三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，M是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且四边形是菱形， ∴, ∴为等边三角形， ∴ 由（1）可得，M，N分别是的中点，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】灵活掌握菱形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，借助锐角三角函数和含角的直角三角形的性质求边的长度． 题型03 利用菱形的性质与判定求角度 【典例3】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 【变式1】（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则_______°． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质与旋转的性质，灵活运用菱形的对边平行、同旁内角互补及旋转角相等的性质是解题的关键．根据菱形性质得到，进而求出旋转角，再由旋转性质得，从而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质得，． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·月考）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． （1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可； （2）过点作交的延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）过点作交的延长线于点，则， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴CF的长是． 题型04 利用菱形的性质与判定求线段长 【典例4】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 又，为的中点， ， 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ，，， ， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江西萍乡·月考）如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴，即， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 题型05 利用菱形的性质与判定求面积 【典例5】（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·山西太原·开学考试）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，交于点O，，则的面积等于______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据题意判定是菱形；在直角中，利用勾股定理求得的长度，继而利用菱形的面积公式作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，对角线，交于点O，， ∴是菱形， ∵， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为：． 故答案为：24． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理； （1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形； （2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可． 【详解】（1）解：连接与交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴菱形的面积是． 题型06 菱形中的动点问题 【典例6】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，菱形中，，点是边上一动点，点是对角线上一动点，当最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、轴对称的性质、垂线段最短、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明点Q关于的对称点在上，如图：作点Q关于的对称点，连接，则，即；再根据垂线段最短可知且于时，最小，有最小值；然后再根据直角三角形两锐角互余以及轴对称图形的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵菱形， ∴点Q关于的对称点在上， 如图：作点Q关于的对称点，连接，则， ∴， ∴且于时，最小，有最小值， ∵，， ∴， ∵，点Q关于的对称点， ∴， ∴， ∴当最小时，的度数为． 故选A． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形中，，，M是边上一动点，N是上的一个定点，在线段上有一动点．连接，． （1）菱形的面积为______； （2）的最小值为______． 【答案】 24 //4.8 【分析】本题考查了最短路径问题，菱形的性质，菱形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据菱形的面积公式即可求解； （2）设与交于点O，根据菱形的性质和勾股定理得到，作于Q，作于M，根据角平分线的性质得到，则有，分析可得当三点共线时，有最小值，最小值为，再根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）菱形的面积； 故答案为：24； （2）设与交于点O， 菱形中，，， ，，，平分， ； 作于Q，作于M， 平分，，， ， ， 当三点共线时，有最小值，最小值为， 此时， ， 即的最小值是， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P从A点以向B点运动， 时，， ， ； 故答案为：； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：， 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：， 由（2）知：，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【变式3】（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，矩形中，，，一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E连接，． (1)求证：； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由 (3)若动点Q从C点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当____时，有最小值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形能够成为菱形； (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由直角三角形的性质可得； （2）先证四边形是平行四边形，则当时，平行四边形是菱形，可得等式，即可求解； （3）根据对称性，可得时有最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， 由题意可得：，， ，， ， ； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ， 当时，四边形能够成为菱形； （3）解：如图1，过点P作于点F，作关于的对称点，连接，作关于的对称点，连接， 四边形是矩形， ， ， 当三点共线时,最小， 由题意可知，，，，则，（）， ， ， ， ， 当时，最小， 为的中点，为的中点 ，，， ， ， 此时， ， 解得， 当时，PQ+EQ有最小值． 故答案是：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键． 一、单选题 1．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，证明四边形是菱形，再根据为等腰直角三角形，可得，然后根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，    根据题意得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即重叠部分图形的面积是． 故选：C． 3．（22-23八年级下·湖北武汉·月考）如图，在菨形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分菱形内角，直角三角形两个锐角互余． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 5．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，，则的长是（   ） A．3 B．2.5 C．2.4 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理， 首先得到，证明出是菱形，然后证明出是的中位线，进而求解即可． 【详解】在中，对角线相交于点 ∴， ∴ ∴ ∴是菱形 ∴ ∵点是的中点，点是的中点 是的中位线 ． 故选：B． 二、填空题 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图画菱形，菱形的性质等知识，掌握这两部分知识是解题的关键；由作图知，四边形是菱形，则由，即可求解． 【详解】解：由作图知， 故四边形是菱形， 则，， ∴； 故答案为：． 7．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是________． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，菱形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行四边形的性质是关键． 分别连接，结合四边形是平行四边形，可得，，再由，从而，进而结合等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等逐个判断可以得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 又∵E是的中点， ∴BE⊥AC． 又∵G是的中点， ∴． 又∵与不一定相等， ∴①不正确． ∵E，F分别是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． ∴，故②正确． ∵四边形是菱形． ∴平分． ∵， ∴不平分，即③不正确． 由题意， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确． 综上，正确的有②④． 故答案为：②④。 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，与相交于点，，分别是，的中点．将菱形沿折叠，点恰好与点重合．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据菱形的对角线互相平分求出，再根据翻折的定义判断出是的中位线且垂直平分，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，最后根据阴影部分的面积等于两个菱形的面积的差列式计算即可得解． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∵，分别是，的中点，菱形沿折叠，点恰好与点重合， ∴是的中位线，垂直平分，，， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴阴影部分的面积： ． 即阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，菱形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，垂直平分线的性质等知识点．解题的关键是掌握：菱形的面积等于对角线长乘积的一半． 10．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为点．求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据“邻边相等的平行四边形是菱形”结合线段垂直平分线的性质即可证明是菱形． 【详解】证明：为对角线上的中点，， 垂直平分， ， ∵四边形是平行四边形， 是菱形． 12．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，   ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 13．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为菱形，证明见解析 【分析】（1）证明，，可得是的中位线，，，，证明，即可． （2）如图，连接，证明，可得，，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E、F、G分别为线段、、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴ 四边形为平行四边形． （2）解：四边形为菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （3）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题1.9菱形的判定 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点！菱形的判定 知识清单 题型1添加条件使四边形为菱形 题型2证明四边形是菱形 菱形的判定 题型3利用菱形的性质与判定求角度 题型精讲 题型4利用菱形的性质与判定求线段长 题型5利用菱形的性质与判定求面积 题型6菱形中的动点问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解并掌握菱形的三种判定方法，能准确说出定义判定、四边相等判定、对角线互 相垂直的平行四边形判定的条件。 教学目标 2.经历菱形判定定理的探究与证明过程，提升几何推理与逻辑表达能力。 3.能根据已知条件选择合适的判定方法，进行简单的证明与判断，区分菱形判定与性 质的不同用法。 教学重难点 1.重点 (1)掌握菱形的三个判定定理，明确判定的前提条件，区分是在平行四边形基础上 判定，还是在任意四边形基础上判定。 (2)能规范运用判定定理进行几何证明，正确书写推理步骤，解决与菱形判定相关 的基础几何问题。 2难点 (1)准确区分菱形判定与平行四边形、矩形判定的异同，不混淆条件，尤其是对角 线相关判定的适用前提。 (2)灵活综合运用平行四边形性质与菱形判定，解决多条件、多步骤的几何证明 1/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题，建立清晰的判定思路 知识清单 知识点01菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；· ②四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言：，AB=BC=CD=DA'.四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）. 几何语言：，AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形'.平行四边形ABCD是菱形 A D 菱形的判定与性质 (1)依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变，中点四边 形的形状始终是平行四边形. (2)菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形 的中点四边形定为菱形.)(3)菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它 是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四 边形的判定方法. 【即学即练I】1.在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形ABCD成为矩形的是() A.AC LBD B.AC=BD C.AB=DC D.∠A=∠C 2.如图，要使ABCD是菱形，需添加的条件是 B 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE. F E (I)求证：四边形AECF是菱形： (2)如果∠BCE=26°，求∠CAF的度数. 2/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01添加条件使四边形为菱形 【典例1】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在下列条件中，能够判定口ABCD为矩形的是() B A.AB=AD B.BD=2BC C.AB=AC D.AC=BD 【变式1】(25-26八年级下·全国·周测)如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件可以是() A.AB=AC B.AD=BD C.BE平分∠ABC D.BE⊥AC 【变式2】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O.请你添加一 个条件： (写出一种情况即可)，使四边形ABCD是菱形. A D B 【变式3】(25-26九年级上广东深圳期中)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、F 在AC上，且AE=CF,添加一个适当的条件，使四边形BEDF是菱形，这个条件可以是一·（填 一个正确条件即可) D B 3/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型02证明四边形是菱形 【典例2】(25-26九年级下·四川达州·开学考试)已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 E,作CF∥BD,DF∥AC,CF与DF相交于点F.求证：四边形DECF为菱形. 【变式1】(25-26九年级上·陕西榆林·月考)如图，在四边形ABCD中，AD川BC,BC=CD,对角线 AC,BD交于点O,AC平分∠BCD,过点A作AE⊥CB,交CB的延长线于点E,连接OE. D (I)求证：四边形ABCD是菱形， (2)若BC=3,OE=V5,求四边形ABCD的面积. 【变式2】(25-26九年级上·河北保定·期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对角线 AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE LAB,交AB的延长线于点E,连接OE. D (I)求证：四边形ABCD是菱形， (2)若OE=BD=2,求四边形ABCD的面积， 【变式3】(25-26九年级上·四川达州期末)如图，平行四边形ABCD,M,N分别是AD,BC的中点， ∠AND=90°，连接CM交DN于点O. M D (I)求证：四边形CDMN是菱形： (2)过点C作CE⊥MW于点E,交DN于点P.若PE=1,∠I=∠2，求AW的长. 题型03利用菱形的性质与判定求角度 【典例3】(24-25八年级下·辽宁大连期中)如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠4两边于 4/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 点M,N,再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B,连接MB,NB.若 ∠A=50°，则∠MBN的度数为() N A.40° B.50° C.60° D.130 【变式1】(2026九年级上·河北沧州·学业考试)如图，将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得到菱 形ABCD,连接AC,AC,若∠B=120°，∠BAD'=100°，则∠CAC'=°. D' 【变式2】(24-25八年级下，湖南娄底·期中)如图，小明同学按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAW: ②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM、AN于点B,D:③分别以点B,D为圆心，1个单 位长为半径画弧，两弧交于点C:④连接BC,CD,BD.若∠A=46°，则∠CBD的大小为 M A D N 【变式3】(25-26九年级上·广东深圳月考)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的 中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. B (1)求证：四边形ADBF是菱形： (2)若AB=6,∠FBD=120°，求CF的长， 题型04利用菱形的性质与判定求线段长 5/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】(25-26九年级上：四川巴中·期末)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,点E 为CD的中点.若平行四边形ABCD的周长为40，则OE的长为() D 10 A.10 B. D.5 【变式1】(23-24九年级上山东青岛·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=4,D 为AB的中点，AE∥CD,CE∥AB,则四边形ADCE的对角线ED的长为() 12 A.5 B.3 C.4 D.5 【变式2】(25-26九年级上·江西萍乡·月考)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, CE∥BD.DE∥AC.若AD=5,AB=I2,则四边形DOCE的周长为· E 【变式3】(24-25八年级下·全国·单元测试)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=2BC,E 为AD的中点，连接BD,BE,∠ABD=90°.连接AC,若AC⊥BE,BC=I,求BD的长. D 题型05利用菱形的性质与判定求面积 【典例5】(24-25九年级下·辽宁抚顺月考)如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC,BC与AD分别 重合，展开后得到四边形EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为() 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B H C A.8 B.6 C.4 D.2 【变式1】(25-26九年级上·山西太原·开学考试)“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着 对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若∠BAD=45°.重叠部分图 形的面积是36W2cm2,则丝带的宽为() B A.6cm B.12cm C.6v√2cm D.12v2cm 【变式2】(24-25八年级下·浙江温州期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O, AC⊥BD,BD=8,CD=5,则口ABCD的面积等于 B 【变式3】(25-26八年级上山东烟台·期末)如图，平行四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，且 BE=DE. D E B C (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=10,AC=12,求四边形ABCD的面积. 题型06菱形中的动点问题 【典例6】(24-25八年级下·湖北宜昌·期末)如图，菱形ABCD中，∠DAB=50°，点Q是边AD上一动点， 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点P是对角线AC上一动点，当DP+PO最小时，∠DPO的度数为() D A.50° B.25° C.100° D.90° 【变式1】(24-25八年级下·安徽阜阳·期末)如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,M是边BC上一 动点，N是CD上的一个定点，在线段BD上有一动点P.连接PM,PN. (I)菱形ABCD的面积为； (2)PM+PN的最小值为 【变式2】(24-25九年级上广东梅州·期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠ADC=90°， AD=12cm,AB=18cm,CD=23cm,动点P从点A出发，以lcms的速度向终点B运动，同时动点Q从 点B出发，以2cms的速度沿折线B-C-D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之 停止运动，设运动时间为秒. B 备用图 (I)用含t的式子表示PB=_· (2)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【变式3】(24-25八年级下·四川自贡·期中)如图，矩形ABCD中，CD=4,∠CAD=30°，一动点P从 A点出发沿对角线AC方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿CD 方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动， 设点P、Q运动的时间为t秒(t>O),过点P作PE LAD于点E连接EQ,P№ 8/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 O B (I)求证：PE=CQ: (2)四边形PEQC能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由 (3)若动点Q从C点出发沿CD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当1= 时，P+EQ有最小值. 强化训练 一、单选题 1.(2025湖南·中考真题)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边形 ABCD的周长为() 夕 D A.6 B.9 C.12 D.18 2.(25-26九年级上·广东佛山月考)“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋 的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD=45°，则重叠部分图 形的面积是() 9/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.18v2cm2 B.36cm2 C.36v2cm2 D.72cm2 3.(22-23八年级下·湖北武汉·月考)如图，在菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点， 已知∠A=134°，则∠BEC的大小为() E D A.67° B.57 C.33 D.23 4.(25-26八年级上江苏盐城月考)如图，口ABCD,对角线AC,BD交于点O,添加下列条件，能使 口ABCD变为菱形的是() A.AB=CD B.AC=BD C.∠ABC=90° D.AC⊥BD 5.(25-26九年级上山西晋中期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是BC的中 点.若AC=6,BD=8,AD=5,则OE的长是() D A.3 B.2.5 C.2.4 D.4 二、填空题 6.(2025·黑龙江哈尔滨·三模)如图，按如下操作步骤画出的四边形ABCD:(1)画∠MAN;(2)以 点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM,AW于点B,D:(3)分别以点B,D为圆心，1个单 位长为半径画弧，两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.若∠A=42°，则∠CBD的大小是。 10/13