专题1.8 菱形的性质（2大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题1.8 菱形的性质 教学目标 1. 理解菱形定义，明确菱形是一组邻边相等的平行四边形，理清菱形与平行四边形的特殊与一般关系。 2. 探索并证明菱形核心性质：四条边相等、对角线互相垂直平分且平分一组对角，掌握其对称性。 3. 能运用菱形性质进行简单计算与推理，解决边长、角度、对角线及面积等基础几何问题 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握菱形定义与核心性质，包括四条边相等、对角线互相垂直平分、轴对称与中心对称特征。 （2）熟练运用菱形性质进行基础证明与计算，能结合平行四边形、直角三角形知识解决简单几何问题 。 2.难点 （1）理解并证明对角线互相垂直、平分对角等特殊性质，区分菱形与平行四边形、矩形的性质差异。 （2）灵活运用菱形性质解决综合问题，如面积计算（对角线乘积一半）、多条件推理，建立几何转化思维。 知识点01 菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 【即学即练1】1．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 先根据，求出，再根据菱形的对角线平分对角求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质结合已知得出是等边三角形，，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，对角线与相交于点，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 3．如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，推出和都是等边三角形，再证，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 知识点02 菱形的面积 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 【即学即练2】4．若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是证明是等边三角形． 连接，由垂直平分线得到，可得，然后根据的直角三角形的性质以及勾股定理求解，即可求解，然后证明是等边三角形，再求出，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交对角线于点F， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴ ∴， ∵菱形中，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积 故选：D． 6．如图，的对角线相交于点，且．若，，则的面积为__________． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题的关键； 利用平行四边形的性质以及勾股定理求出另一边的长度，再根据平行四边形面积公式求解． 【详解】解：在中， ， 在中， ∴ 则 故答案为：24 ． 题型01 利用菱形的性质求角度 【典例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由菱形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 【答案】/46度 【分析】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等边对等角，利用折叠的性质得到等边对等角是解题的关键． 首先根据菱形的性质得出，再根据折叠得到，，即可将拆分为进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 利用菱形的性质求线段长 【典例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．20 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为40， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】添加辅助线：取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，， ， ， 如图，取中点，连接， 点为的中点，点为的中点， 是三角形的中位线， ，， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 题型03 利用菱形的性质求面积 【典例3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 【答案】A 【分析】本题考查菱形的面积计算，掌握菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 直接代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半， ∴该菱形的面积=， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，与交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理求出，进而得到，最后根据菱形的面积等于，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点O， 四边形是菱形， 、， 在中，由勾股定理得， ， ， 菱形的面积为， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是 故答案为：24． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理；由菱形的性质及直角三角形的性质得，由三角形中位线定理求得，由勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，， ∵为的中点， ∴， ∵，分别为，的中点，且， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 菱形的面积为． 故答案为：24． 题型04 利用菱形的性质求坐标 【典例4】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点，顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，点的坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的性质得，因为点C的坐标为，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点C作轴，如图所示： 设菱形的边长为， 则， ∵点C的坐标为， ∴， ∵轴， ∴在中，则， ∴， 解得， ∴， 即点B的坐标为， 故选：A． 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质和坐标几何的知识，通过坐标确定菱形的边长是解题的关键． 首先根据A、B两点坐标求出菱形的边长，再通过菱形的性质即可求出点C的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·月考）如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O． 则点C的坐标________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，求关于原点对称的点的坐标，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合题意即可求出结果． 【详解】解：四边形为菱形， ， 点O为坐标原点， 点A和点C关于原点对称， 点A的坐标为， 点坐标为， 故答案为：． 题型05 利用菱形的性质求最值 【典例5】（22-23八年级上·福建福州·期末）如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．0.5 【答案】D 【分析】找出点关于的对称点D，连接，则就是的最小值，进而可求出的值即可求出的最小值． 【详解】解：连接交于P，连接， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得关于对称，则， ∴，， 即就是的最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点 ∴， ∴（等腰三角形三线合一的性质） 在中，， ∴， ∴． ∴ 当时最小 ∵ ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的性质和利用轴对称求解的方法． 【变式1】（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、利用轴对称求最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，再结合垂线段最短的性质确定最小值的位置，通过构造直角三角形求解线段长度． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴平分，，． 作点关于的对称点， ∵是的角平分线， ∴点落在上，连接，则由轴对称的性质得， ∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值为， 而当时，的长度为最小的线段长，即此时取得最小值． 过点作于点， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 由勾股定理得， ∴(舍去负根)， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·山东滨州·月考）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键． 作于E点，连接，得到，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而得出结论． 【详解】如图，作于E点，连接， ∵菱形中， ∴， ∴为等边三角形 ∴,，， ∴， ∵ ∴ 根据垂线段最短，此时最短，即最小 ∴ ∴ ∴最小值为 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在菱形中，，P是菱形内部一点，且满足，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、两点之间线段最短等知识点，分别取的中点，连接，，作，可推出，且四边形为平行四边形，；进而得点在线段上运动；最后推出的最小值为线段的长度；即可求解； 【详解】解：分别取的中点，连接，，作，如图所示： 则，且四边形为平行四边形， ∴； ∵P是菱形内部一点，且满足， ∴点在线段上运动； 由菱形的对称性可知：点关于的对称点为点， ∴， 故：的最小值为线段的长度； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 题型06 利用菱形的性质求折叠问题 【典例6】（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， 由折叠知，垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东东营·期末）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据菱形及矩形的性质可得到的度数，从而根据直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 由折叠的性质可知，， 又， ， 在中，， 又，， ，， 中，， 故选：D． 【变式2】（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是_____________． 【答案】/80度 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形纸片中，，点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，求的度数． 【答案】 【分析】设交于点F，由是的垂直平分线，得，由菱形的性质得，，，则，求得，由折叠得，则，于是得到问题的答案．此题重点考查菱形的性质、翻折变换的性质、线段的垂直平分线等知识，求得是解题的关键． 【详解】解：设交于点F， ∵是的垂直平分线， ∴ ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠得， ∴． 题型07 利用菱形的性质证明 【典例7】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点是菱形内一点，连接、、，．求证：． 【答案】见详解 【分析】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解答此题的关键． 利用已知条件与菱形的性质，可证明，即可得证． 【详解】证明：∵菱形， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用菱形的性质证明，全等的性质和（）综合（或者）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用菱形的性质得出，再证明，从而可利用线段差求得． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， 即． 【变式2】（2023八年级下·湖北荆州·专题练习）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 【变式3】（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题主要考查矩形判定、菱形的性质，掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质可知，可证得，结合E为的中点，可利用证得结论； （2）证明时，四边形是矩形（根据对角线相等的平行四边形是矩形）即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形，证明如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形，E为中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 题型08 含60°角的菱形 【典例8】（2022·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据菱形的性质可得：，，推出、是等边三角形，得到，，证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 、是等边三角形， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（    ） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定、是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到，关键是由菱形的性质推出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃白银·期中）如图，在边长为1的菱形中，，连接对角线，以为边作第2个菱形，使，连接对角线，再以为边作第3个菱形，使按此规律所作的第2025个菱形的边长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合角构造直角三角形，通过勾股定理求边长，进而归纳规律． 先根据菱形四边相等和内角，判定含角的三角形为等边三角形；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，通过勾股定理求出下一个菱形的边长（即前一个菱形的对角线长度）；最后归纳边长的变化规律，代入序号求解． 【详解】解：∵四边形是边长为的菱形，， ∴（菱形四边相等）， ∴是等边三角形（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）． 连接，与交于点， ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴，，（等边三角形三线合一）． 由勾股定理得， ∴，即第2个菱形的边长为。 同理，四边形是边长为的菱形，， ∴，是等边三角形． 连接，与交于点， ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴，，． 由勾股定理得， ∴，即第3个菱形的边长为． 归纳规律：第1个菱形边长为，第2个为，第3个为，第4个为，……，第个菱形的边长为， 当时，边长为． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）首先证明，都是等边三角形，再证明，即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质可知，结合即可证明； 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．证得与是等边三角形，继而证得是关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）结论：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，掌握菱形的性质是解题的关键．首先求出，然后求出，得到即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 2．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形中位线的性质得到，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 四边形是菱形 菱形的周长． 【点睛】注意三角形中位线平行于底边且等于底边的一半． 3．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点A的坐标为，则菱形的周长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和菱形的性质，根据点A的坐标为，可以得到，根据，可以求出，根据勾股定理可以求出，最后由菱形的性质可以求出菱形的周长． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∵菱形的四条边相等， ∴菱形的周长为． 故选：D． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 5．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．60 B．78 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质．根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得，利用勾股定理求得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是边的中点，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是菱形的对角线上一点，于点，，则点到的距离为_____________． 【答案】 【分析】先利用菱形对角线的性质得出平分，再结合角平分线的性质，推导出点到的距离等于的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分． ∵于点，且点在上， ∴点到的距离等于的长度，即为2． 7．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键． 连接，与交于点，由四边形为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形的面积即可． 【详解】解：连接，与交于点， 四边形为矩形， ，，且，即， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ，，， ，且， 四边形为平行四边形， ，， ，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 则． 故答案是：． 8．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为56，则的长为______________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质． 由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则________ 【答案】4.8 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质和勾股定理得出，进而利用菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质． 根据菱形对角线互相平分可知，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，得到，根据，可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 12．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在菱形中，点在边上，点在边上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据菱形的性质，菱形的四条边相等且对角相等，可得到，；再结合题目已知条件，利用角角边的全等判定条件，即可证明与全等． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，， ∴． 13．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，菱形及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)如图1，若点P在上，请在上作出点Q，使． (2)如图2，若点P在菱形外，请在菱形外作点Q，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是作出菱形的对称中心，属于中考常考题型． （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求． （2）连接，交于点，延长交的延长线于，连接交的延长线于，连接，连接，延长交于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）如图所示，点即为所求． 14．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据菱形的性质，得，再根据“三个角是直角的四边形是矩形”即可求证； （2）根据菱形的性质，可得，，再根据勾股定理，可求，最后依据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”和矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，对角线，相交于点O，   ，即， ，， ，， ， 四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， E是边的中点， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．（25-26九年级上·江西上饶·期中）中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． (1)求证：． (2)当，求的度数． (3)当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用旋转的性质得，，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）利用，可得，再利用， 可得，最后由可得答案； （3）利用四边形是菱形得到，，则，可判断为等腰直角三角形，得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：∵绕点按顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为； （3）∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题1.8菱形的性质 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1菱形的性质 知识清单 知识点2菱形的面积 题型]利用菱形的性质求角度 题型2利用菱形的性质求线段长 菱形的性质 题型3利用菱形的性质求面积 题型4利用菱形的性质求坐标 题型精讲 题型5利用菱形的性质求最值 题型6利用菱形的性质求折叠问题 题型7利用菱形的性质证明 题型8含60°角的菱形 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解菱形定义，明确菱形是一组邻边相等的平行四边形，理清菱形与平行四边形的 特殊与一般关系。 2.探索并证明菱形核心性质：四条边相等、对角线互相垂直平分且平分一组对角，掌 教学目标 握其对称性。 3.能运用菱形性质进行简单计算与推理，解决边长、角度、对角线及面积等基础几何 问题。 教学重难点 1.重点 (1)掌握菱形定义与核心性质，包括四条边相等、对角线互相垂直平分、轴对称与 中心对称特征。 (2)熟练运用菱形性质进行基础证明与计算，能结合平行四边形、直角三角形知识 解决简单几何问题。 1/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2.难点 (1)理解并证明对角线互相垂直、平分对角等特殊性质，区分菱形与平行四边形、 矩形的性质差异。 (2)灵活运用菱形性质解决综合问题，如面积计算（对角线乘积一半）、多条件推 理，建立几何转化思维 知识清单 知识点01菱形的性质 (1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)菱形的性质， ①菱形具有平行四边形的一切性质： ②菱形的四条边都相等；· ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角：· ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. 【即学即练1】1.如图，在菱形ABCD中，连接BD,过点D作DE L AB于点E,若∠BDE=35°，则 ∠ADC的度数为()· A.95° B.100° C.110° D.120° 2.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,若∠ABC=60°，OA=1,则AB=一： 3.如图，在菱形ABCD中，∠B=6O°，点E、F分别在AB、AD上，且△ECF是等边三角形.求证： AE =DF. 2/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 F 知识点02菱形的面积 ①利用平行四边形的面积公式. 1 ②菱形面积2ab.(a、b是两条对角线的长度) 【即学即练2】4.若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为() A.8 B.12 C.20 D.24 5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,若AF=1, 则菱形ABCD的面积等于() D A.2 B.25 C.3 D.35 6.如图，口ABCD的对角线相交于点O,且AC⊥BD.若BD=6,BC=5,则口ABCD的面积为 题型精讲 题型01利用菱形的性质求角度 【典例1】(24-25八年级下·全国·单元测试)如图所示，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，则∠D的度 数为() 3/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D A.30° B.45° C.60° D.120° 【变式1】(25-26九年级上陕西铜川·期末)如图，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上的一点， BE=AD,连接AE,若∠C=I00°，则∠DAE的度数是() A.30° B.40° C.50° D.70° 【变式2】(25-26九年级上·甘肃张掖期末)如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE, 若∠ABC=40°，则∠AEB的度数为一· D 【变式3】(25-26九年级上·重庆开州期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E是 BC边上一点，连接OE,把△BOE沿直线OE翻折到菱形ABCD所在平面内得到△FOE,点F正好落在 DC的延长线上，若∠BAD=134°，则∠EFC的度数为 y D 题型02利用菱形的性质求线段长 【典例2】(25-26八年级上江苏宿迁·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AH⊥BC于点H,AC=6,BD=8,则AH的长为() 4/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B H A.6 B.4.8 C.9.6 D.10 【变式1】(25-26八年级下·全国·期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点H为 AD边的中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长为() A.4 B.5 C.8 D.20 【变式2】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，边长为5的菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O, E是AB的中点，则EO的长为 D C E B 【变式3】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, AC=8,BD=I2,点E在线段OA上，AE=2,点F在线段OC上，OF=1,连接BE,点G为BE的中 点，连接FG,则FG的长为 C 题型03利用菱形的性质求面积 【典例3】(25-26八年级上·江苏盐城期末)已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面 积为() A.6 B.11 C.16 D.9 【变式1】(25-26九年级上山西运城期末)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，AB=6,AC=10, 5/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则菱形ABCD的面积为() D A.51T B.30 C.1011 D.60 【变式2】(25-26八年级上江苏泰州·期末)中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福， 承载着人们对美好生活的祈盼.小敏家有一个菱形中国结装饰.测得AB=5cm,AC=6cm,则该菱形的 面积是 cm2. B 【变式3】(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在菱形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点，且 OE=2.5,EF=3,则菱形ABCD的面积为 E 题型04利用菱形的性质求坐标 【典例4】(25-26九年级上陕西咸阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的顶点O在原点， 顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为(9,3)，则点B的坐标为() B A.(5,0) B.(4,0) C.(3,0) D.(0,4) 【变式1】(2025辽宁·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为13，点B的坐标是 (8,12),点D的坐标是8,2)，则点A的坐标是() 6/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.(3,6) B.（-4,5 C.(-4,6) D.（-4,7 A E C 点 0 B(8,12)D(8,2 .BD‖y轴，E(8,7), 【变式2】(25-26九年级上·陕西咸阳·月考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为 (-2,0),点B的坐标为0,3)，则点C的坐标为 B D 【变式3】(24-25九年级上辽宁大连月考)如图，已知点A的坐标为-2V3,2,点B的坐标为-1，-√5， 菱形ABCD的对角线交于坐标原点O.则点C的坐标 B 题型05利用菱形的性质求最值 【典例5】(22-23八年级上·福建福州期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E是AB边的中点， P是AC边上一动点，PB+PE的最小值是V3,则PE的最小值为() 7/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D B A.2 B.5 C.1 D.0.5 【变式1】(2025九年级下·北京·专题练习)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的动点， P是对角线AC上的动点，若AD=4,∠D=45°，则PE+PF的最小值是() A.2 B.3 C.4 D.2√2 【变式2】(24-25八年级下山东滨州·月考)如图，已知菱形ABCD的边长为12，点M是对角线AC上的 一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是 D M 【变式3】(25-26九年级上·陕西咸阳·月考)如图，在菱形ABCD中，∠D=120°，P是菱形ABCD内部一 点，且满足S。c=4S装5D,若AD=4:则PB+PC的最小值为 4 D 题型06利用菱形的性质求折叠问题 【典例6】(25-26九年级上河南郑州月考)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=8,点E在边BC上， 连接AE,将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为() 8/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.8V2-8 C.4v2 D.8-4V2 【变式1】(24-25八年级上山东东营期末)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF. 若AB=3,则BC的长为() D --B A.1 B.2 C.2 D.5 【变式2】(2024广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为 CE,若∠D=80°，则∠BCF的度数是 A E 【变式3】(2025八年级下·全国·专题练习)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，将 菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C',且DC是AB的垂直平分线，求∠DEC的度数. D B 题型07利用菱形的性质证明 【典例7】(25-26九年级上·陕西西安期末)如图，点E是菱形ABCD内一点，连接AE、BE、 CE,CE⊥BC,AE⊥AB.求证：∠AEB=∠CEB 9/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式1】(25-26九年级上山东济南期末)如图，在菱形ABCD中，点E、点F在对角线AC上，连接 BE、BF,∠ABF=∠CBE.求证：AE=CF. D 70 【变式2】(2023八年级下·湖北荆州·专题练习)如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,过 点A作AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF. B (I)求证：四边形AEFD是矩形： (2)若BF=16,DF=8,求CD的长. 【变式3】(25-26九年级上·山东济南月考)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E是AD边的中点. 点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD的延长线于点N,连接MD,AN. B (I)求证：△NED≌△MEA: (2)当点M在什么位置时，四边形AMDN是矩形？请证明你的结论. 题型08含60°角的菱形 【典例8】(2022陕西西安·二模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别在边AB,BC上， ∠EDF=60°，BF=V6,BE=1,则AD的长为() 10/15