专题01 矩形中的五种常考模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题01 矩形中的五种常考模型 目录 题型一：矩形中的翻折问题 1 题型二：矩形中的最值问题 7 题型三：矩形中的动点问题 14 题型四：矩形与等腰三角形问题 21 题型五：矩形与平面直角坐标系问题 30 题型一：矩形中的翻折问题 1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，长方形中，，，如果将该长方形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】先证，设，则，在中，由勾股定理得到，代入计算得到，再根据面积的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为，选项A符合． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，设，则，，，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 3．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，在长方形纸片中，点，分别在边和上，将该长方形纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为点，．若点恰好落在边上，且，则点之间的距离为___________． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，由折叠，得，继而由勾股定理求出，得到，再由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，如图 由长方形与折叠，得 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据长方形的性质以及翻折的性质求出相关角的度数，然后根据直角三角形的性质得出相关角的度数，得出，即可得出两直线平行． 【详解】证明：由长方形的性质以及翻折的性质，得， ，， 又， ． ， ． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 6．（25-26八年级上·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 题型二：矩形中的最值问题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．7 B．7.2 C．8.2 D．8.6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先利用勾股定理的逆定理证明△是直角三角形，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，再根据垂线段最短可得：当时，有最小值，最后根据面积法进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，， ， △是直角三角形， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值，即有最小值， △的面积， ， ， 解得：． 的最小值为7.2， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在四边形中，，，，，E，F是边上的两个动点，，连接．若，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据矩形的判定得出四边形为矩形，确定，，，连接，再由全等三角形的判定和性质得出，，最后根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为4， 故选：A． 3．（2025·四川德阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，是动点，将沿翻折，得到，则的最小值是_____________． 【答案】/-1+ 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，由矩形的性质可得，，结合题意得出，连接，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，结合得出当、、在同一直线上时，最小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 如图，连接， ， 由勾股定理可得：， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴当、、在同一直线上时，最小，为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，EF的长度最小值为 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短， （1）根据勾股定理的逆定理得到，根据矩形的判定定理得到四边形AEDF是矩形； （2）连接，根据矩形的性质得到，当时，最短，即的长度最小，根据三角形的面积公式即可得到结论；掌握矩形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：存在． 理由：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵当时，最短，即的长度最小， ∵， ∴， ∴， 即的长度最小值为． 5．（24-25九年级下·广东广州·月考）如图，已知矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，的对应点分别为点． (1)如图1，当点落在边上时，求的长； (2)当点，，在一条直线上时，设与的交点为，求的长； (3)如图2，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据两边之和大于第三边确定h的最大值成为解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，由勾股定理可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，根据矩形的性质可得，，，再运用勾股定理可得，然后根据折叠的性质可得、，最后由勾股定理可得，即，再证明可得，即，最后根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图：连接，作于点M，由折叠性质和矩形的性质可得，，，然后根据中点的定义以及勾股定理可得；当与共线且时，面积最大，先求出，进而求得面积的最大值． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点落在边上， ∴ ∴， ∴． （2）解：如图：连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，在一条直线上， ∴，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． （3）解：如图：连接，作于点M， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， 当与共线且时，面积最大， ， ， ∴的最大值为． 6．（2022·陕西西安·模拟预测）问题提出： （1）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点落在边上的点处，求的长． 问题解决： （2）如图，在中，，为斜边上的中线，将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，若，则的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值，并求出此时，的度数，如果不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）存在最大值，最大值为， 【分析】（1）翻折的对应边等，勾股定理计算，求出，再设，在三角形中用勾股定理建立方程计算即可求； （2）利用三角形中线和折叠得到、、、共圆，得到平行，′的面积转换为的面积，从而面积最值转换为角的最值． 【详解】解：（1）将沿所在直线翻折得， ∴，， 在矩形中，，， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， 设，则， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； （2）存在． 理由：∵，为斜边上的中线，， ∴， ∵沿所在直线翻折，点的对应点为， ∴，， ∴以为圆心，为半径的圆，、、、在同一圆上． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴与同底，等高， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，， 综上，′的面积存在最大值，最大值为，． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积等知识，四点共圆，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型三：矩形中的动点问题 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 2．（23-24八年级下·四川自贡·期末）如图．在四边形中，，，，．．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点P当到达点D时，两点停止运动．在此运动过程中，出现和的次数分别是(　　) A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，根据题意分别求得和的情形，分类讨论，即可求解． 【详解】解：设点P的运动时间为t， ∵，点P从点A出发，以的速度向点D运动，当点P当到达点D时，P、Q两点停止运动． ∴秒，，则， ∵，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动， ∴， 当时，则四边形是平行四边形， ∴， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：， 当时，点Q从B到C运动，， ∴， 解得：， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：， 当，点Q从B到C运动，， ∴，解得：(舍去)， ∴能出现三次， 如图所示，过点P，D分别作的垂线，垂足分别为F，E， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴中，， 当时， 在中，， ∴， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：或， 当时，点Q从B到C运动，， ∴，解得：或， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：或， 当，点Q从B到C运动，， ∴，解得：（舍去）或（舍去）， ∴能出现6次， 故选：A． 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在矩形中，，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形为矩形时，t的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的判定和动点问题，解题关键是利用运动速度和时间表示出线段长，根据矩形的判定列出方程即可求解． 【详解】解：当时，四边形为平行四边形， 因为， 所以四边形为矩形， 点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．设运动时间为t秒， 则，， ， 解得，， 故答案为：2． 4．（24-25八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】(1)从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 (2)从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． （1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 5．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①__________，__________； ②若t为何值时，四边形为矩形（写出过程）？ (2)若P点先运动3秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为__________时，三角形为直角三角形（直接写出答案）． 【答案】(1)①，；②5 (2)6或 【分析】（1）①根据速度与时间的积可求得，再由可求得； ②当时，四边形为矩形，分别表示出，解方程即可； （2）分和两种情况讨论，利用矩形的判定与性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①由题意知，， 则， 故答案为：，； ②∵， ∴； 当时，四边形为平行四边形； ∵， ∴四边形为矩形； 即当时，四边形为矩形； ∵，， ∴， 解得：； 当t的值为5时，四边形为矩形； （2）解：P点先运动3秒后停止运动，此时； 当时，，不可能是直角； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点Q作于M，则； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，当t为6或时，三角形为直角三角形． 故答案为：6或． 6．（22-23八年级下·云南怒江·期中）在中，，对角线、交于点，，点、在对角线上，点从点出发以每秒个单位的速度向点运动，到达点时运动停止，同时点从点出发，运动至点后立即返回，点停止运动的同时，点也停止运动，设运动时间为秒．    (1)若点的速度为每秒1个单位， 如图1，当时，求证：四边形是平行四边形； 点、运动的过程中，四边形可能出现的形状是______． A.平行四边形形B、矩形 (2)若点的速度为每秒2个单位，运动过程中，为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1)①见解析；②B (2)时，四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． （1）①证明，可得结论； ②根据矩形的判定方法，可得结论； （2）在点N的返回过程中，时，则有，解方程可得结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； ②解：点M、N运动的过程中，当时，，此时四边形是矩形． 故答案为：B； （2）解：在点N的返回过程中，时，则有， 解得：， 时，四边形是平行四边形． 题型四：矩形与等腰三角形问题 1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质以及等边三角形的性质得，结合是以为底边的等腰三角形，得，运用三角形内角和性质得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形的边上方作等边三角形， ∴，， 则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 则， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的边与角的特征是解题关键． 矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角中，使用勾股定理计算出，结合，计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．（2025九年级·河南·专题练习）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的点，且四边形为矩形，当的长度是______时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，由四边形是矩形，可得，，通过勾股定理得，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴由勾股定理，得， 要使是等腰三角形，分以下几种情况， 当时， ∵， ∴， ∴ 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点作于点， 则 ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上所述，若为等腰三角形，的长为或或， 故答案为：或或． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，， ． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，推出，由折叠的性质得，得到，即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，设，则，根据勾股定理得，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：矩形， ， ， 由折叠的性质得， ， ， 是等腰三角形； （2）解：四边形是矩形， ， ，， 设，则， 在中，，， ， 解得， ． 5．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图所示，在矩形中，的平分线交于点，，垂足为点，连结，若． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图所示，延长与交于点； ①求证：为的中点； ②若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，求得证明结论； 根据直角三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）①证明：，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； 解：，，为的中点， ， 设，则， 在中，， ， ， 矩形的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 6．（24-25九年级下·全国·开学考试）在矩形中，E为边上异于A、D的一个动点，将沿折叠，点A的对应点为F． (1)如图1，若设，则 （用含的式子表示）；当点F恰好是的中点时，则 度． (2)如图2，交于点M，且平分． ①求证：是等腰三角形． ②当时，求的长． ③若设，求证：． 【答案】(1)，30 (2)①见解析；②；③见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质得，再利用平角定义即可得；证明是的垂直平分线得，再利用三角形内角和定理即可解答； （2）①如图2，延长交于点N，证明得，然后证明即可证明结论；②设，则，如图2，过点E作于点Q，则四边形是矩形，根据，得，所以，利用勾股定理求出x的值即可；③根据勾股定理得，代入得进而证明结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵点F恰好是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴度． 故答案为：，30． （2）①证明：如图2，延长交于点N， ∵平分， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 如图2，过点E作于点Q，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴或（舍去）， ∴的长为． ③证明：由①得， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 题型五：矩形与平面直角坐标系问题 1．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，据此可得第二象限内的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故选：D． 2．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为。以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】∵点的坐标为，点的坐标为， ， ∵四边形是矩形， ∵将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 3．（23-24八年级下·河南南阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，是以点C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】过C作轴于点D，于点E，证，得，，结合点A的坐标为，点B的坐标为，四边形矩形，可解决问题．本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过C作轴于点D，于点E， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴ ， 解得， ∴， 故点， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)若点D落在边上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； (2)若旋转角为，直接写出点D的坐标_______，点E的坐标_______． 【答案】(1)图见解析，点D的坐标为， (2) 【分析】本题考查了作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理.解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意作出图形；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，由勾股定理即可得到结论； （2）作轴于点H，作于点M，结合旋转求出，进而求出即可求出点D坐标；求出，即可求出，进而求出结论． 【详解】（1）解：如图所示，矩形即为所求， ∵点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）解：作轴于点H，作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为 ， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·甘肃兰州·月考）图1，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，点与坐标原点重合．将纸片沿着折痕翻折后，点恰好落在轴上，记为． (1)求点的坐标； (2)将矩形水平向右移动个单位，则点坐标为，其中．如图所示，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】主要考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用勾股定理求出是解本题的关键． （1）根据四边形是长方形以及由折叠对称性得出，，进而求出的长，即可得出点的坐标； （2）分三种情况讨论：若，， ，利用勾股定理求出即可. 【详解】（1） D点坐标为 ，，， 由折叠：，， 在中，， ∴， 设，则， 在中， 即 解得： ∴点坐标为：， （2）分三种情况讨论： ①若， ∵， ∴， ∴， ②若，则， 解得：， ③若， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， 综上所述，若是等腰三角形，或． 6．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，直角坐标系下矩形，点A在x轴上，点C在y轴上： (1)如图1，将沿翻折得， ①若，，则______度，P点坐标为______； ②若，，则P点坐标为______； (2)如图2，点B和E的坐标分别为和．点F在线段上，将沿翻折，点O的对应点为P，若点P正好落在边上，求点F的坐标． 【答案】(1)①30，；② (2) 【分析】（1）①过点P作轴于点H，，由，得，即可求解；而，则， ∴，故； ②过点P作轴于点H，连接交于点K，设， 先，则由，求得 ， ∴，在中，由勾股定理得：, 在中，由勾股定理得，即, 解得：，因此，，所以； （2）过点E作于点K，设，，在中，，则，，在中，由勾股定理得：求解即可． 【详解】（1）解：①过点P作轴于点H， ∵矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵将沿翻折得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30，； ②过点P作轴于点H，连接交于点K，设， ∵将沿翻折得， ∴， 在中，， ∵，代入数据求解得： ， ∴， 在中，由勾股定理得：, 在中，由勾股定理得，即, 解得：，∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：过点E作于点K，∴， ∵点B和E的坐标分别为和， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折得， ∴设，， ∴在中，， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题是矩形背景下的翻折，考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01矩形中的五种常考模型 题型归纳 目录 题型一：矩形中的翻折问题 ..1 题型二：矩形中的最值问题.7 题型三： 矩形中的动点问题.14 题型四：矩形与等腰三角形问题.21 题型五：矩形与平面直角坐标系问题30 题型专练 题型一：矩形中的翻折问题 1.(25-26八年级上·广东梅州期中)如图，长方形ABCD中，AB=4,BC=8,如果将该长方形沿对角线 BD折叠，那么图中阴影部分的面积是() C E D A.10 B.15 C.20 D.25 2.(25-26八年级上河南洛阳月考)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,P为AD边上的一点，沿直线 BP将△ABP翻折至△EBP(点A落到点E处).如图PE与CD相交于点O,且OE=OD,则AP的长为() D A.4 B.5 C.4.8 D.2√7 D OH .DP=EH=6-x,CH=CD-DH=8-x,BH=BE-EH=8-(6-x)=x+2, 根据勾股定理，得(8-x)+62=(x+2), 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得x=4.8, 故AP=4.8 3.(25-26八年级上山西太原·期末)如图，在长方形纸片ABCD中，点E,F分别在边AD和BC上，将该 长方形纸片沿EF所在直线折叠，点A,B的对应点分别为点A,B.若点B恰好落在边AD上，且 AE=5,AB=12,则点B,B'之间的距离为 A 4.(25-26八年级上·山西晋中期末)如图，点F是长方形纸片ABCD的边BC上一点，将纸片的一角沿AF 折叠，使点B的折叠点E落在长方形ABCD外侧，∠ADB=26°，∠BAF=58°，求证：AE∥BD 5.(25-26九年级上河南周口期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边上的一点， 连接AE,将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B处，连接B'C· A D B (I)若点BB恰好落在AC上，求BE的长； (2)若CE=BE,判断△B'EC的形状，并说明理由。 3 6.(25-26八年级上河北保定·期末)综合与实践 如图，在长方形纸片ABCD中，AD=3,DC=4,P为长方形纸片ABCD边BC上的一动点，连接AP,将 △ABP沿AP折叠，点B落在点B处， B D C(P) B 图1 图2 图3 B (I)如图1，当点B落在边CD上时，CB的长为 2/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，连接AC,当点B落在AC上时，求PB的长 (3)如图3，当点P与点C重合时，AB与CD交于点E,求△ACE的面积. 题型二：矩形中的最值问题 1.(24-25八年级下山东临沂期末)如图，在ABC中，AB=9,AC=12,BC=15,P为边BC上一动 点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF的最小值为() E A.7 B.7.2 C.8.2 D.8.6 2.(25-26八年级上河南周口期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD,AC=BD, ∠ACB=30°，E,F是边AC上的两个动点，AE=CF,连接BE,BF.若AB=2,则BE+BF的最小值为() D A.4 B.5 C.1 D.6 2 3.（2025四川德阳模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E是AB的中点，F是动点，将 △AEF沿EF翻折，得到△A'EF,则A'C的最小值是 F D B 4.(23-24八年级下江苏连云港·月考)如图，在ABC中，AC=6,AB=8,BC=10,D为BC边上一 动点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. D (I)求证：四边形AEDF是矩形； (②)在点D运动的过程中，EF的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由， 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(24-25九年级下·广东广州月考)如图，已知矩形ABCD中，AB=4,AD=6,将矩形ABCD绕点B逆 时针旋转得到矩形GBEF,点C,D,A的对应点分别为点E,F,G. A R 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点E落在边AD上时，求DE的长； (②)当点D,E,F在一条直线上时，设BE与AD的交点为P,求AP的长； (3)如图2，设点H为边FG的中点，连接HE,HC,CE,在矩形ABCD旋转过程中，△CEH的面积是否 存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由 6.(2022陕西西安模拟预测)问题提出： (1)如图1，在矩形ABCD中，AB=8,BC=10,E是CD边上的一点，连接BE,将△BCE沿BE所在直 线翻折，点C的对应点落在AD边上的点F处，求EF的长. 问题解决： (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD沿BD所在直线翻折，点 A的对应点为，连接A'C,若AC=8,则△BCA'的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值， 并求出此时，∠BDC的度数，如果不存在，请说明理由. B B 图1 图2 备用图 题型三：矩形中的动点问题 1.(2025·黑龙江大庆.中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=20cm,动点P从点A开始沿AB边以 Icm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿 CD边以4cm/s的速度向点D运动.点P,点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之 停止运动.设动点的运动时间为s,当QP=QH时，t的值为() D A>P H←-B 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4月 B.4 C. D.20 2.(23-24八年级下四川自贡·期末)如图.在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8cm, AD=10cm,BC=12cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以 4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、Q两点停止运动.在此运动过程中，出现 PQ∥CD和PQ=CD的次数分别是() AP> A.3,6 B.3,7 C.4,6 D.4,7 3.(24-25八年级下·内蒙古通辽期中)如图，在矩形ABCD中，AD=6,点P从点A以每秒2个单位长度 的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动.当点P到达点D时，P, Q停止运动.设运动时间为t秒，则当四边形PDCQ为矩形时，t的值为 D B 4.(24-25八年级下河南开封期末)已知如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=24cm, BC=26cm.动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动：动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度 向点B运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. AP→ D B (1)从运动开始，运动几秒时，四边形PDCQ是平行四边形： (2)从运动开始，运动几秒时，四边形APQB是矩形 5.(24-25八年级下·河南许昌·期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，AB=12cm, AD=4cm,CD=15cm,点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以2cm/秒的 速度向点D运动.规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒. 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ←- A P→ B A P→ B 备用图 (1)若P,Q两点同时出发. ①CQ= cm,BP= cm: ②若t为何值时，四边形APQD为矩形（写出过程）？ (2)若P点先运动3秒后停止运动.此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时， 三角形DPQ为直角三角形（直接写出答案）. 6.(22-23八年级下，云南怒江·期中)在口ABCD中，AB≠AD,对角线AC、BD交于点O,AC=10, BD=16.点M、N在对角线BD上，点M从点B出发以每秒1个单位的速度向点D运动，到达点D时运动 停止，同时点N从点D出发，运动至点B后立即返回，点M停止运动的同时，点N也停止运动，设运动时 间为t秒. D 图1 备用图 (1)若点N的速度为每秒1个单位， ①如图1，当0<1<8时，求证：四边形AMCN是平行四边形； ②点M、N运动的过程中，四边形AMCN可能出现的形状是 A.平行四边形形B、矩形 (②)若点N的速度为每秒2个单位，运动过程中，t为何值时，四边形AMCN是平行四边形？ 题型四：矩形与等腰三角形问题 1.(2025辽宁辽阳一模)如图，在矩形ABCD的边BC上方作等边三角形EBC,连接AE,DE,若 △ABE是以BE为底边的等腰三角形，则∠EAD的度数为() E A.15° B.20° C.30 D.45° 2.(25-26九年级上陕西榆林·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E在AC上， 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接BE,△BCE是等腰三角形，CE=CB.若AB=6,BD=I0,则AE的长为 D E B 3.(2025九年级·河南·专题练习)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,P,E分别是边AC,BC上 的点，且四边形PEFD为矩形，当AP的长度是时，△PCD是等腰三角形 D P E 4.(24-25八年级下·江苏盐城期中)如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C处，BC'交AD 于点E,AD=8,AB=4. O B C (I)求证：BDE是等腰三角形； (2)求BE的长 5.(24-25八年级下·山东泰安期中)如图1所示，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AM交BC于点M, DE⊥AM,垂足为点E,连结BE,若AM=AD. B M 图1 图2 (I)求证：△ABE为等腰三角形： (2)如图2所示，延长BE与DM交于点G; ①求证：G为DM的中点： ②若MG=2,求矩形ABCD的面积. 6.(24-25九年级下·全国·开学考试)在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE折叠，点A的对应点为F. D 图1 图2 (I)如图l,若设LABE=a,则∠DEF=-（用含a的式子表示)；当点F恰好是BD的中点时，则Q=度， (2)如图2，EF交BD于点M,且BF平分∠DBC. ①求证：△EDM是等腰三角形. ②当AB=3,BC=4时，求AE的长. ③若设BE=a,BM=b,EM=c,求证：a2=b2+bc. 题型五：矩形与平面直角坐标系问题 1.(25-26九年级上广东江门期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,6)，点C的坐标为 (3,0),以OA、OC为边作矩形OABC,若将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，得到矩形0A'B'C',则点 B的坐标为() B B ● C A.-9,6) B.-6,2 C.（-6,4 D.（-6,3 2.(2025山东聊城二模)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-6,0)，点C的坐标为(0,3)。以 OA,OC为边作矩形OABC,若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C',则点B的坐标为 () B B C C” A.(6,-3) B.(3,6) C.(6,3) D.(6,3) 3.(23-24八年级下·河南南阳·月考)如图，在平面直角坐标系中，ABC是以点C为直角顶点的直角三角 形，且AC=BC,点A的坐标为-2,0)，点B的坐标为(0,8)，则点C的坐标为· 8/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C 4.(25-26九年级上·天津河西期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形A0BC是矩形，点0(0,0)，点 A5,0),点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分 别为D,E,F B O A (1)若点D落在边BC上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； (2)若旋转角为120°，直接写出点D的坐标 ，点E的坐标 5.(24-25九年级下.甘肃兰州月考)图1，在直角坐标系中，长方形纸片ABCD的边AD∥C0,D点坐标 为10,6)，B点与坐标原点O重合.将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F. D A D (BO B 图1 图2 (1)求点E的坐标； (2)将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为m,0),其中m>0.如图2所示，连接OA,若 △OAF是等腰三角形，求m的值. 6.(23-24八年级下广东广州期中)如图，直角坐标系下矩形0ABC,点A在x轴上，点C在y轴上： D B 图1 图2 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，将△AOC沿AC翻折得△APC, ①若OA=√5,0C=1,则∠ACB= 度，P点坐标为； ②若0A=4,0C=2,则P点坐标为； (2)如图2，点B和E的坐标分别为8,4)和(5,0).点F在线段0C上，将a0EF沿EF翻折，点O的对应点 为P,若点P正好落在BC边上，求点F的坐标. 10/10