7.1.3 《两条直线被第三条直线所截》教学设计 2025-2026学年人教版七年级数学下册

7.1.3 两条直线被第三条直线所截 教材分析 本节课在学生已掌握相交线中对顶角、邻补角等有公共顶点的角关系基础上，引入“两条直线被第三条直线所截”这一新情境，通过观察无公共顶点的角的位置特征，抽象出同位角、内错角、同旁内角的概念，突出几何直观与位置关系分析。教学过程遵循“情境引入—图形观察—概念归纳—辨析应用”的逻辑展开。本节内容是平行线判定与性质的前置核心，为后续借助角的关系研究直线平行奠定基础；同时发展学生空间观念、几何语言表达能力和逻辑推理意识。 学情分析 七年级学生已掌握相交线中对顶角、邻补角的概念及性质，能识别有公共顶点的角的关系，具备初步的几何直观和简单推理能力；此阶段学生以形象思维为主，抽象概括能力正在发展，对无公共顶点的角的位置关系缺乏系统认知，易混淆同位角、内错角与同旁内角的判定条件；本节课要求学生在观察图形的基础上，准确识别 、 被 所截形成的八角中三类特殊角的位置特征，理解“同一侧”“之间”“两侧”“同一旁”等关键词的几何含义，借助分类比较提升空间观念和逻辑辨析能力，为后续平行线的判定与性质学习奠定关键基础，同时发展学生用数学语言描述几何关系的能力。 教学目标 1.能准确识别两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角，理解其位置特征，发展几何直观与空间观念，提升观察、比较和抽象概括能力。 2.能在复杂图形中正确找出三类特殊角，辨析其共性与差异，强化符号意识与逻辑推理素养，提高识图、析图及语言表达能力。 3.能结合具体图形描述角的位置关系，用规范数学语言说明判断依据，培养严谨的思维习惯和数学交流能力，增强学习几何的信心与兴趣。 重点难点 重点： 识别同位角、内错角、同旁内角的位置特征，准确判断三种角。 难点： 在复杂图形中区分截线与被截线，精准判定三种角。 课堂导入 同学们，我们先来看一个生活场景：学校的操场上，双杠的两条横杠被地面的一条跑道线穿过；还有我们课桌上的两条桌沿，被中间的一支铅笔隔开。这些场景里都出现了“一条直线和两条直线分别相交”的情况。 在数学里，这样的图形能构成八个角，除了我们已经认识的有公共顶点的邻补角、对顶角，那些没有公共顶点的角之间又藏着什么特殊的位置关系呢？今天我们就一起来探究这些角的命名和特点。 两条直线被第三条直线所截 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们一起来观察图7.1-12。在这幅图中，直线 、 被第三条直线 所截，形成了八个角。我们已经知道有公共顶点的角之间的关系，现在要重点研究那些没有公共顶点的两个角之间的关系。 首先来看 和 ，这两个角的位置有什么特点呢？它们分别在直线 、 的同一侧（上方），并且都在直线 的同侧（右侧）。我们把具有这种位置关系的一对角叫作同位角。 接下来观察 和 ，这两个角都在直线 、 之间，但分别位于直线 的两侧（ 在左侧， 在右侧）。这种位置关系的一对角叫作内错角。 再看 和 ，它们也都在直线 、 之间，但这次是在直线 的同一旁（左侧）。我们把这种位置关系的一对角叫作同旁内角。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果我们在图中找到 和 ，它们属于什么关系的角呢？为什么？ 学生思考后回答：它们是同位角，因为都在直线 、 的上方，并且都在直线 的左侧。 教师追问：很好！那么 和 又是什么关系呢？ 学生回答：它们是内错角，因为都在直线 、 之间，且 在直线 的左侧， 在右侧。 教师继续提问：如果改变图中直线 的位置，这些角的位置关系会发生变化吗？ 学生讨论后回答：只要保持三条直线的相交关系，这些角的位置关系定义不会改变，但具体哪两个角构成什么关系可能会变化。 （三）设计意图 通过直观的图形观察和具体的角的位置分析，帮助学生建立同位角、内错角和同旁内角的清晰概念。从具体到抽象的学习过程，培养学生的空间想象能力和几何直观素养。通过师生互动中的层层追问，引导学生深入思考角的位置关系，培养严谨的数学思维习惯。让学生在观察、比较、归纳的过程中，体会数学概念的精确性和逻辑性，为后续学习平行线的性质打下坚实基础。 新知应用 例题： 如图7.1-13，直线 、 被直线 所截。 (1) 指出图中 与 、 与 、 与 分别是什么位置关系的角； (2) 若 ，说明 与 的大小关系，以及 与 的数量关系。 解答： (1) 首先明确三线八角的基本结构： · 截线是直线 （即“第三条直线”）， · 被截的两条直线是 和 （即“同一平面内两条直线”）。 观察八个角的分布，以 为基准分析： · 与 ： 在直线 与 的交点处（顶点为 ），位于直线 的上方、直线 的右侧； 在直线 与 的交点处（顶点为 ），位于直线 的下方、直线 的左侧； 但注意：图中 实际是直线 与 相交形成的对顶角之一，结合标准标注（参考教材图7.1-13）， 与 分别位于截线 的两侧，且都在被截直线 、 的之间（即“内部”区域），因此它们是一对内错角。 · 与 ： 也在直线 与 的交点处（顶点为 ），与 互为邻补角； 和 都位于被截直线 、 的之间，且都在截线 的同一旁（即左侧），因此它们是一对同旁内角。 · 与 ： 在直线 与 交点处，位于直线 的上方、直线 的右侧； 在直线 与 交点处，位于直线 的上方、直线 的右侧； 二者分别在被截直线 、 的同一侧（上方），又都在截线 的同一侧（右侧），因此是一对同位角。 (2) 已知 ： ① 因为 与 是对顶角，根据对顶角相等的性质，有： 又已知 ，所以由等量代换得： 即 与 相等。 ② 又因为 与 是直线 与 相交所成的邻补角（构成平角），所以： 将 代入上式，得： 即 与 互补。 总结： 1.题目考查内容 ① “三线八角”中同位角、内错角、同旁内角的识别与定义； ② 对顶角相等、邻补角互补等基本几何性质的应用； ③ 等量代换在角度关系推理中的逻辑运用。 2.题目求解要点 ① 准确识别截线与被截直线，明确角的顶点及所在边的位置； ② 判断角的位置关系时，紧扣定义三要素： 　　- 同位角：在被截直线同侧、截线同侧； 　　- 内错角：在被截直线之间、截线两侧； 　　- 同旁内角：在被截直线之间、截线同旁； ③ 运用几何基本事实（对顶角相等、邻补角和为 ）进行严谨推理，每一步都要有依据，不跳步； ④ 等量代换是连接已知与结论的关键桥梁，需清晰写出中间等式。 新知巩固 题目： 直线 、 被直线 所截， 与 是同旁内角，若 ，且 与 不平行，则 的度数为（　　） A． 　　B． 　　C． 或 　　D．无法确定 解答： 我们按定义逐步分析： 第一步：明确同旁内角的位置特征 根据教材定义： · 同旁内角是指两个角都在两条被截直线之间（即在直线 与 之间）， · 并且在截线的同一侧（即都在直线 的左侧，或都在右侧）。 因此， 与 满足： · 顶点分别在 与 上（或其延长线上）， · 两边分别落在 、 和 上， · 二者位于 、 之间，且位于 的同一旁。 第二步：回顾同旁内角的数量关系前提 教材中指出： · 当 时，同旁内角互补，即 ； · 但本题明确给出条件： 与 不平行。 因此，不能使用“互补”这一性质。平行是同旁内角互补的前提条件，没有平行，就没有该数量关系。 第三步：分析已知信息能否唯一确定 已知： · ， · 与 是同旁内角， · 与 不平行。 但仅知道两个角是同旁内角，且其中一角大小、两直线不平行，无法推导出另一角的具体度数。 原因如下： · 不平行时， 与 的和可以是任意介于 到 之间的值（不包括端点，实际取决于夹角大小）， · 例如：当 与 夹角很小时， 可能接近 ；当夹角较大时， 可能接近 ； · 没有额外条件（如某对同位角相等、某对内错角相等，或某角与 构成邻补角等），无法建立方程求解。 因此， 的度数无法由已知条件唯一确定。 答案：D．无法确定 总结： 1.题目考查内容 · 同旁内角的定义与位置识别； · 平行线性质的适用前提（即“只有当两直线平行时，同旁内角才互补”）； · 对命题条件与结论逻辑关系的理解——强调“平行”是同旁内角互补的充分不必要条件，不可逆用。 2.题目求解要点 · 必须严格区分“定义”（位置关系）与“性质”（数量关系）： · 同旁内角是位置概念，只由三线八角的相对位置决定； · 互补是性质结论，仅在两直线平行这一特定条件下成立； · 题干中“ 与 不平行”直接排除了使用互补关系的可能性； · 在缺乏其他角度关系（如邻补、对顶、垂直等）或长度/斜率信息时，单凭一个同旁内角度数无法确定另一个。 3.同类型题目解题步骤 1. 标图识别：在图中标出三线（两条被截线、一条截线），确认 、 是否满足同旁内角的两个条件—— 　　① 都在被截两直线之间； 　　② 都在截线的同一侧； 2. 判断前提：检查题干是否给出“两直线平行”； 　　- 若平行 → 可用互补关系： ； 　　- 若不平行 → 互补关系不成立，不能使用； 3. 排查其他可用关系：观察是否存在： 　　- 对顶角（相等）、 　　- 邻补角（和为 ）、 　　- 同位角/内错角相等（可反推平行，但本题已否定平行）、 　　- 三角形内角和、外角性质等； 4. 结论判断：若无任何数量关系可建立，则答案为“无法确定”。 教学反思 本节课围绕“两条直线被第三条直线所截”展开，通过图7.1-12引导学生识别同位角（如 与 ）、内错角（如 与 ）和同旁内角（如 与 ），落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形的性质”与“空间观念”核心素养要求。教学目标基本达成，学生能结合位置特征准确辨识三类角，成功之处在于借助直观图示与结构化语言强化几何表征；不足在于对“截线”与“被截线”的角色辨析不够深入，部分学生混淆角的归属关系，且未及时关联后续平行线判定的逻辑起点。需在后续教学中加强变式训练与语言精准性指导，提升学生抽象概括与推理意识。 学科网（北京）股份有限公司 $